基于ADMM的壓縮感知圖像重建

李婷婷

（北京信息科技大學(xué)信息與通信工程學(xué)院 北京市 100101）

1 引言

不論是圖像傳輸還是本地存儲(chǔ)，在有限帶寬的信道上傳輸海量數(shù)據(jù)是非常困難的，通常采用壓縮的方法達(dá)到減少數(shù)據(jù)量的目的，但在壓縮過程中通常會(huì)丟失大部分冗余數(shù)據(jù)，只有少數(shù)關(guān)鍵數(shù)據(jù)留存,這種傳統(tǒng)的先采樣后壓縮的方法會(huì)造成較大的經(jīng)濟(jì)成本。壓縮感知（Compressed sensing, CS）的提出使得該問題得到了解決。壓縮感知是指如果信號(hào)是稀疏的或者具有可壓縮性，則可以用遠(yuǎn)低于奈奎斯特采樣頻率的速率采樣該信號(hào)，最后通過優(yōu)化算法高概率重建出原信號(hào)。壓縮感知將采樣與壓縮同時(shí)進(jìn)行的方法能夠降低采樣成本，具有十分重要的現(xiàn)實(shí)意義。

文章主要對(duì)壓縮感知圖像重建算法進(jìn)行研究。壓縮重建算法通常分為兩類：貪婪算法和凸松弛算法。貪婪算法采用有向隨機(jī)搜索策略在整個(gè)空間進(jìn)行全局最優(yōu)搜索，每一次迭代所做的選擇就是當(dāng)下最優(yōu)的選擇，能對(duì)非線性的復(fù)雜問題有較好的求解方法。常用算法有匹配追蹤算法(MP)算法；正交匹配追蹤算法(OMP)。凸松弛方法應(yīng)采用l0范數(shù)求解最優(yōu)化問題，但由于該問題是 NP-hard 問題，需要枚舉出所有的子集才能求解。于是常常采用非光滑但具有凸函數(shù)性質(zhì)的l1范數(shù)替代求解。這類方法包括基追蹤算法(BP)，梯度投影稀疏重構(gòu)算法 (GPSR)，迭代分裂閾值算法 (IST)等。

兩類壓縮重建算法都能有效的實(shí)現(xiàn)重建，但是還存在部分缺陷。比如：貪婪算法的計(jì)算復(fù)雜度較低 ，但重建性能不如l1范數(shù)最小化方法，重建精度較低；凸松弛法重建性能良好，但計(jì)算復(fù)雜度高，重建時(shí)間長(zhǎng)。針對(duì)以上問題，文章提出在壓縮感知的框架下，交替乘子方向算法和字典學(xué)習(xí)結(jié)合重建圖像的模型。首先通過 K-SVD字典學(xué)習(xí)對(duì)圖像進(jìn)行稀疏表示；其次通過交替方向乘子法求解l1范數(shù)問題實(shí)現(xiàn)圖像重建，最終通過圖像仿真證明文章提出模型的有效性和實(shí)用性。

2 壓縮感知基本理論

壓縮感知的標(biāo)準(zhǔn)表達(dá)式為：

式（1）是一個(gè)欠定方程，有無窮多解，通過觀測(cè)值y 重建出原始信號(hào)x 非常論難。壓縮感知理論以信號(hào)的稀疏性為前提，信號(hào)x 是稀疏的，即可求解x 的稀疏系數(shù)進(jìn)而恢復(fù)重建原始信號(hào)。通常選擇與測(cè)量矩陣不相關(guān)的變換基 對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行稀疏表示，得到稀疏稀疏矩陣：

圖1：模糊圖像

求解l0范數(shù)優(yōu)化問題是一個(gè)NP-hard 問題，在一定條件下l1范數(shù)優(yōu)化問題與l0范數(shù)優(yōu)化問題等價(jià)，因此將式（4）轉(zhuǎn)化為求解l1范數(shù)優(yōu)化問題：

3 ADMM算法

使用ADMM 算法求解基于壓縮感知圖像重建的數(shù)學(xué)模型為：

引入輔助變量Z：

其增廣拉格朗日函數(shù)為：

求增廣拉格朗日函數(shù)的最小值問題：

表1：重建算法信噪比及重建時(shí)間

圖2：BP 圖像重建

圖3：ADMM 圖像重建

其中ρ 為懲罰參數(shù)，λ 為平衡因子，用來控制兩個(gè)式子之間的權(quán)重那么ADMM 第k 次迭代形式為：

θ，z，u 隨著迭代逐次更新。

4 模型仿真驗(yàn)證

文章選取大小為512×512 的barbara 圖像進(jìn)行重建仿真驗(yàn)證。首先對(duì)圖像進(jìn)行模糊，添加高斯噪聲，得到的模糊觀測(cè)圖像如圖1所示。

基于ADMM 的壓縮感知圖像重建模型中參數(shù)設(shè)置為：ρ=1，平衡因子λ=15，選取常用的貪婪算法OMP 以及凸松弛方法BP 與文章提出的ADMM 算法模糊噪聲圖像重建進(jìn)行對(duì)比，重建結(jié)果分別如圖2、3 所示。表1 為OMP 以及ADMM 算法壓縮感知圖像重建的信噪比和重建時(shí)間。

對(duì)比圖2、3 可以看出OMP 算法重建效果一般，而ADMM 算法重建效果最好，通過表1 對(duì)比可知，OMP 算法圖像重建信噪比最低，但是重建時(shí)間短；文章提出的ADMM 壓縮感知圖像重建信噪比最高，并且重建耗時(shí)最短。

5 結(jié)論

文章提出了一種基于壓縮感知理論的ADMM 算法圖像重建模型，對(duì)比傳統(tǒng)的壓縮感知重建算法，ADMM 壓縮感知圖像重建性能更好，重建信噪比高、耗時(shí)短。具有重要的實(shí)際意義。另外，壓縮感知圖像重建以圖像的稀疏性為前提，圖像的稀疏表示對(duì)重建精度有很大影響，因此如何對(duì)圖像進(jìn)行更好的稀疏表示，是下一步的研究方向。