固著液滴的流固耦合模態(tài)仿真分析

石廣豐 霍明杰 王子濤

(長春理工大學(xué) 機(jī)電工程學(xué)院，吉林 長春 130022)

隨著社會工業(yè)的發(fā)展，廣為應(yīng)用的光學(xué)變焦系統(tǒng)對高性能變焦透鏡的需求越來越大，液體變焦透鏡[1]可以很好地彌補(bǔ)傳統(tǒng)變焦系統(tǒng)的不足完成其難以實(shí)現(xiàn)的功能，它通過改變液體表面曲率、液體折射率、介質(zhì)上電潤濕液體接觸角達(dá)到改變焦距的目的。其中,利用聲場激發(fā)液滴振動改變液滴表面曲率的方式,成為提高液體透鏡拍攝速度最具有前景的方法之一[2]。因此，研究液滴的共振頻率和共振振型具有至關(guān)重要的工程應(yīng)用意義。然而，目前國內(nèi)外對于流體模態(tài)分析的有限元仿真方法尚不成熟，對于流體模態(tài)分析仿真，大都采用將流體近似等效為彈性體的方法[3- 4]。這種傳統(tǒng)方法會導(dǎo)致以下問題：①液體本身沒有泊松比和彈性模量，強(qiáng)制賦予液體實(shí)驗(yàn)的近似參數(shù)，由于液體工況環(huán)境的復(fù)雜性，材料參數(shù)的時(shí)變性，材料參數(shù)的近似會引起結(jié)果的巨大偏差；②將液體處理為彈性體，忽略了液體的表面張力，但表面張力在流體動態(tài)特性分析中起著至關(guān)重要的作用。

為此，文中利用有限元仿真分析軟件建立固著液滴的有限元模型，對固著液滴進(jìn)行三維特性分析，通過固著液滴的模態(tài)分析得到其固有頻率及其對應(yīng)的固有振型；最后對仿真模態(tài)下的特征振型與試驗(yàn)特征模型圖[5]、固有頻率和質(zhì)心最大改變量理論值與仿真值進(jìn)行分析比較，以驗(yàn)證本建模分析方法的準(zhǔn)確性。

1 固著液滴理論建模方法

Rayleigh[6]在1879年推導(dǎo)出無束縛、無黏液滴在微小振幅振動時(shí)的固有頻率和振型，之后Lamb[7]推導(dǎo)出黏性自由液滴的振蕩模態(tài)。Trinh等[8]利用不混溶液滴實(shí)驗(yàn)證明了Rayleigh的預(yù)測，Anilkumar等[9]在微重力下利用自由液滴證明了Rayleigh預(yù)測。Rayleigh對于自由振蕩液滴的預(yù)測，對不完全自由振蕩液滴的理論計(jì)算也具有極大的指導(dǎo)意義，如懸浮液滴、混溶液滴或者附著在固體上的液滴[10- 13]。Strani等[14]推導(dǎo)出一個(gè)描述固著液滴共振頻率的理論模型，并利用矩陣定義了接觸角的本征值。

在毫米級的液滴中，早期的理論研究主要考慮了表面張力和慣性力的影響，而忽略了流體黏性的影響?；赗ayleigh特征自由振蕩球形液滴的固有頻率為

(1)

式中，σ為表面張力，R為未變形球形液滴的半徑，ρ為液滴密度，n為階數(shù)(n=0,1,2,…)。

根據(jù)文獻(xiàn)[15]得到固著液滴的動態(tài)特征方程為

(2)

(3)

μ=h/Ref

(4)

式中，p0為液面處壓力，ρe為液滴表面外流體密度，ρi為液滴表面內(nèi)液滴密度，Pk為勒讓德多項(xiàng)式，h為固著液滴的球冠高度，Ref為固著液滴與基面接觸的圓面的有效半徑。

由于解析求解過程復(fù)雜，不能準(zhǔn)確、全面地反映求解結(jié)果，因此文中采用有限元建模仿真的方法研究固著液滴的動態(tài)特性問題。

2 有限元模態(tài)分析

2.1 固著液滴的有限元模型

固著液滴模型初始狀態(tài)的球冠為曲率較大的自由曲面，為了保證模型的連續(xù)性和完整性，文中直接在經(jīng)典ANSYS中建立有限元模型，同時(shí)為了減少計(jì)算量，將液滴附著的基板簡化，基板厚1.00 mm，長和寬均為8.00 mm，半球液滴半徑為2.12 mm，如圖1所示。

2.2 單元類型及材料參數(shù)的選取

文中采用Solid185、Shell181、Fluid30三種不同類型的單元：選用Fluid30流體介質(zhì)單元劃分液滴結(jié)構(gòu)，用該單元模擬液體內(nèi)部惰性和液體黏度；選用Shell181殼單元劃分薄膜結(jié)構(gòu)，特別設(shè)置殼單元的勁度、積分項(xiàng)和本構(gòu)參數(shù)，用于表征自由界面的表面張力；選取Solid185固體單元劃分基板結(jié)構(gòu)，用該單元模擬液滴固著的板材。將Shell181殼單元的勁度設(shè)置為彎曲和薄膜屬性，積分項(xiàng)選擇縮減積分項(xiàng)，本模型中將殼單元設(shè)置為節(jié)點(diǎn)等厚度，殼單元厚度設(shè)置為整體球冠高度的4%(經(jīng)多次對比分析擬定的殼單元厚度)；根據(jù)文獻(xiàn)[16]和建模的實(shí)際參數(shù)，在有限元建模過程中設(shè)置阻尼比為0.002。同時(shí)，將流體介質(zhì)單元與殼單元結(jié)構(gòu)進(jìn)行節(jié)點(diǎn)流固耦合設(shè)置。有限元模型的材料參數(shù)見表1。

圖1 固著液滴建模示意圖Fig.1 Schematic diagram of sessile droplet modeling

表1 固著液滴有限元模型的材料參數(shù)

Table 1 Material parameters of the finite element model of sessile droplet

結(jié)構(gòu)彈性模量/GPa泊松比密度/(kg·m-3)材料基板1.50000.501000液滴1000水液膜 0.00360.49963

2.3 網(wǎng)格劃分

由于液滴和薄膜的形狀復(fù)雜，曲率變化大，節(jié)點(diǎn)梯度變化劇烈，四面體非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格比六面體結(jié)構(gòu)網(wǎng)格具有更好的適應(yīng)性和收斂性，更適合固著液滴的網(wǎng)格劃分，因此文中采用四面體非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格劃分固著液滴。同時(shí)，為了保證流體和固體兩相接觸邊界的節(jié)點(diǎn)數(shù)一致，兩相交界面上力-位移的相互傳遞，模態(tài)分析的收斂性和準(zhǔn)確性，基板同樣采用四面體非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格進(jìn)行劃分，始終保持流固邊界在一個(gè)時(shí)間步長內(nèi)的移動距離小于一個(gè)網(wǎng)格尺寸，即

(5)

式中，時(shí)間步長Δt取為0.1 ms，Δtint是流體和固體兩相邊界移動一個(gè)最小網(wǎng)格尺寸所需的理論時(shí)間，v是邊界移動速度，c是最小的網(wǎng)格尺寸。確定的最小網(wǎng)格尺寸如表2所示。

考慮到基板的粘附作用對液滴產(chǎn)生的固著影響，在基板網(wǎng)格和固著液滴網(wǎng)格之間設(shè)置流固耦合邊界條件，完成流體域和固體域之間力與位移的相互傳遞。選取固著液滴的球形液冠表面，利用已有網(wǎng)格屬性和材料設(shè)置生成一層類薄膜Shell單元，模擬液滴的表面張力。

表2 流體域、固體域的網(wǎng)格劃分參數(shù)Table 2 Meshing parameters of fluid and solid areas

圖2 基板、液滴及完整模型的有限元網(wǎng)格模型

Fig.2 Finite element meshing of base,plate droplet and whole model

2.4 計(jì)算求解與對比分析

通過模態(tài)分析，可以確定模型的頻率響應(yīng)和固有振型。由于本模型涉及流體，故選用非對稱法提取六階模態(tài)，頻率可用范圍為5～200 Hz。所得到的六階模態(tài)頻率見表3。

表3 模態(tài)分析得到的固有頻率Table 3 Natural frequencies obtained from the modal analysis

為了驗(yàn)證仿真方法的準(zhǔn)確性，采集固著液滴前幾階特征振型對應(yīng)的固有頻率，與采用Rayleigh模型計(jì)算得到的固有振型進(jìn)行比較。在Rayleigh模型中，n=0和n=1時(shí)的共振頻率是分別根據(jù)體積守恒原理和平移不變原理得出，因此固著液滴的共振頻率為0。文中將固著液滴2～5階Rayleigh理論固有頻率與仿真固有頻率進(jìn)行擬合分析，結(jié)果如圖3所示。由于固著液滴受到基面的粘附力作用，不是完全理想的Rayleigh模型;Bostwick等[17]證明了受束縛液滴的固有頻率比無束縛液滴的固有頻率大。因此，固著液滴的固有頻率應(yīng)該高于根據(jù)Rayleigh理論計(jì)算得出的固有頻率。

圖3 Rayleigh理論固有頻率與仿真固有頻率的比較

Fig.3 Comparison of natural frequency between Rayleigh theoretical values and simulated values

從圖3可知：利用文中的固著液滴建模仿真方法提取到的2～5階固有頻率都大于根據(jù)Rayleigh理論計(jì)算得到的固有頻率，與 Bostwick等[17]的理論計(jì)算結(jié)果相符；在n=2，3和μ>0的情況下，固有頻率在接近μ=0.5時(shí)會出現(xiàn)峰值；當(dāng)n=4，μ>0時(shí)，有兩個(gè)明顯的峰值點(diǎn)，分別在μ=0.4和μ=0.7附近；當(dāng)n=5，μ>0時(shí)，其峰值達(dá)到270 Hz左右。

3 仿真與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對比分析

3.1 特征振型比對

在Chang等[5]應(yīng)用正弦波諧振固著液滴的實(shí)驗(yàn)中，所取液滴為純水，體積為20 μL，基板為化學(xué)功能化玻璃(表面涂有APTES)，主要是為了保證液滴與附著板材之間的接觸角始終保持在60°～70°，在仿真中利用約束接觸線來控制接觸角的范圍；利用信號發(fā)生器和功率放大器通過機(jī)械振蕩器生成正弦波激勵固著液滴，用一臺高速攝像機(jī)捕獲固著液滴的立體圖像，搭建一個(gè)能夠捕獲上視圖和左右視圖的觀測臺，如圖4所示。為每一個(gè)圖像設(shè)定一個(gè)條件環(huán)境，并且記錄200個(gè)連續(xù)幀。在該實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷耐该鞑Ａ旅尜N著網(wǎng)格大小為50 μm的金屬網(wǎng)，金屬網(wǎng)格是通過上視圖能夠分辨網(wǎng)格變形的關(guān)鍵，如圖4所示。

文中通過ANSYS APDL有限元分析軟件,應(yīng)用上述方法進(jìn)行固著液滴的三維建模及有限元模態(tài)分析仿真，得到固著液滴的各階固有振型譜圖，如圖5所示，同時(shí)給出了文獻(xiàn)[5]中實(shí)驗(yàn)得到的固著液滴振型譜圖。從圖中可知，有限元模態(tài)分析得到的固有振型譜圖與文獻(xiàn)[5]得到的實(shí)驗(yàn)振型譜圖吻合度較高。

圖4 文獻(xiàn)[5]應(yīng)用正弦波諧振固著液滴的實(shí)驗(yàn)裝置Fig.4 Experimental device of applying sine wave to resonant sessile droplet in reference[5]

圖5 提取特征模態(tài)振型的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)與有限元仿真結(jié)果對比Fig.5 Comparison of extracting characteristic mode shapes between experimental data and finite element simulation results

由單個(gè)振動周期內(nèi)的等值線云圖可知，固著液滴在一定激勵下，該階模態(tài)中各個(gè)部分的位移情況(這里顯示的只代表相對大小，不是實(shí)際位移值)，可以由仿真軟件三維動態(tài)圖觀察整體振型。觀察網(wǎng)格變形圖，能夠發(fā)現(xiàn)各階振型的特征以及液滴表面各處的曲率變化，從而直觀地對比仿真網(wǎng)格與實(shí)驗(yàn)中金屬網(wǎng)格變化規(guī)律的異同點(diǎn)。利用速度矢量圖，能夠觀察到固著液滴振動周期內(nèi)液體的流動方向和運(yùn)動趨勢。

3.2 質(zhì)心振動最大改變量的比較

因固著液滴與基面接觸的有效半徑Ref遠(yuǎn)遠(yuǎn)小于聲源直徑，故可以將聲波看成平面波。在忽略重力作用及其他能量損失的條件下，聲源發(fā)出的能量(Eb)應(yīng)等于液滴表面張力所做的功(Eσ)，即Eb=Eσ。給予系統(tǒng)的驅(qū)動聲波為平面波[15]。液體透鏡中液體質(zhì)心的改變量為

(6)

式中，Rb為底部球缺半徑。

固著液滴的共振會引起其質(zhì)心的變化。換而言之，質(zhì)心的變化規(guī)律在一定程度上反映了固著液滴的振動頻率和振幅的規(guī)律。文中取μ=1時(shí)2～5階固著液滴的質(zhì)心振動最大位移的理論計(jì)算值與仿真提取值進(jìn)行比較，結(jié)果如表4所示。

表4 質(zhì)心振動最大改變量的理論計(jì)算值與仿真提取值對比

Table 4 Comparison of the maximum change of centroid vibration between the theoretical calculation values and the simulation extraction values

階數(shù)質(zhì)心振動最大位移/mm理論值仿真值20.080.1030.150.1740.270.3350.810.89

由表4可知，固著液滴質(zhì)心振動最大改變量的仿真值略大于理論計(jì)算值，相對誤差不超過25%,并且它們的增長趨勢基本相同。隨著階數(shù)的增大，固著液滴的質(zhì)心最大改變量上移，導(dǎo)致固著液滴的振幅不斷增大。

以上對特征振型、固有頻率和質(zhì)心最大改變量理論計(jì)算值和仿真值的分析比較，說明了應(yīng)用文中提出的有限元模擬仿真方法研究流體模態(tài)是一種非常有效的方法，文中提到的流固耦合分離建模方法和類薄膜結(jié)構(gòu)材料參數(shù)設(shè)置對于固著流體的模態(tài)求解具有很重要的應(yīng)用價(jià)值。

4 結(jié)論

文中利用流固耦合分離建模方法對固著液滴進(jìn)行有限元建模及分析，將流體的表面張力等效成類薄膜結(jié)構(gòu)，并利用ANSYS APDL中的節(jié)點(diǎn)流固耦合方式模擬液滴與基面的粘結(jié)作用。模擬實(shí)際的工況條件，給定結(jié)構(gòu)約束和耦合約束，得到固有頻率、特征振型和質(zhì)心最大改變量的仿真數(shù)值，然后比較仿真數(shù)值與理論數(shù)值，結(jié)果表明：液滴2～5階的仿真固有頻率均大于根據(jù)Rayleigh理論計(jì)算得到的結(jié)果，符合現(xiàn)有文獻(xiàn)的理論證明結(jié)果；有限元仿真得到的固著液滴四階振型譜圖與現(xiàn)有文獻(xiàn)得到的實(shí)驗(yàn)振型譜吻合；質(zhì)心振動最大位移仿真值與理論計(jì)算值的相對誤差不超過25%。今后可以通過研究聲學(xué)激勵后液滴形態(tài)的變化規(guī)律，優(yōu)化液滴搭載平臺，制作體積小、成本低、可靠性高的高速變焦液體透鏡。