量子力學(xué)教學(xué)中關(guān)于非守恒量期望值隨時(shí)間演變的討論

劉萬(wàn)芳，尹訓(xùn)昌，章禮華

（安慶師范大學(xué)物理與電氣工程學(xué)院，安徽安慶246133）

如果量子力學(xué)是物理學(xué)中的“黃山”，那么，有許多的“景點(diǎn)”是引人入勝的。在這座“黃山”之中，物理量通常用算符來(lái)表示，算符理論則是重要的“景點(diǎn)”之一。在一個(gè)量子體系中，由于體系的狀態(tài)一般是隨時(shí)間變化的，這就導(dǎo)致算符的取值概率及期望值一般會(huì)隨時(shí)間變化。但是，研究發(fā)現(xiàn)，在諸多物理量中，無(wú)論體系處于什么狀態(tài)，有可能存在一個(gè)或者幾個(gè)算符，它們的取值、取值對(duì)應(yīng)的概率及期望值是不隨時(shí)間變化的，這種特殊的算符稱之為守恒量[1-4]。在守恒量理論的教學(xué)中，更多是注重守恒量的判斷，學(xué)生如果掌握好守恒量的判斷條件，這對(duì)于處理量子問(wèn)題時(shí)的大局觀提升有較好的幫助，可以利用守恒量的特點(diǎn)初步判斷最終結(jié)果的可靠性。但是，勤于思考的同學(xué)在學(xué)習(xí)完本節(jié)內(nèi)容后，自然會(huì)提出一個(gè)問(wèn)題：當(dāng)量子態(tài)發(fā)生變化的時(shí)候（不僅僅是量子態(tài)多了一個(gè)相位因子），量子力學(xué)中的非守恒量，它的取值、取值對(duì)應(yīng)的概率及期望值就一定隨時(shí)間變化嗎？本人查閱了不少量子力學(xué)的教材，都沒有找到這個(gè)問(wèn)題相對(duì)完整的答案。這里通過(guò)兩個(gè)例子來(lái)對(duì)這個(gè)問(wèn)題做一些探討。

在薛定諤繪景下，量子態(tài)是隨時(shí)間變化的，通常記為ψ(t)。力學(xué)量有可能隨時(shí)間變化，也有可能不隨時(shí)間變化，隱去時(shí)間變量，通常簡(jiǎn)記為F^。那么，利用薛定諤方程及其共軛方程，可得到力學(xué)量期望值隨時(shí)間的變化[1-4]：

如果一個(gè)不顯含時(shí)間的力學(xué)量F^與H^ 對(duì)易，那么F^的平均值取值、取值對(duì)應(yīng)的概率及期望值是不隨時(shí)間變化的，即稱F^ 是守恒量，與體系處于什么樣的量子態(tài)無(wú)關(guān)。這里，通常將力學(xué)量不顯含時(shí)間與H^對(duì)易視作是守恒量的判別條件。這實(shí)際上是個(gè)充分條件，因?yàn)閷?duì)于含時(shí)不變量（也是守恒量），它卻是顯含時(shí)間的。

力學(xué)量F^ 在任意量子態(tài)上期望值不隨時(shí)間變化才是守恒量的充要條件。對(duì)于初學(xué)者，由于視野不夠、教師強(qiáng)調(diào)不夠、研究經(jīng)歷缺乏等原因，容易忽略掉前提條件“任意量子態(tài)”，將其期望值不隨時(shí)間的變化理解為守恒量的充要條件。為了澄清這一點(diǎn)，我們來(lái)討論非守恒量的取值、相應(yīng)的概率及其期望值隨時(shí)間的變化。為了簡(jiǎn)化問(wèn)題的討論，這里不涉及力學(xué)量F^ 顯含時(shí)間的情況，關(guān)于含時(shí)不變量的討論，參見文獻(xiàn)[2]。

例1 磁矩為μ=-αS 的電子在恒定外磁場(chǎng)B=Bex中運(yùn)動(dòng)（α 為大于零的實(shí)常數(shù)）。初始時(shí)刻電子處于Sz=?∕2的態(tài)上。求t ≥0時(shí)的平均值。

解 首先給出體系的哈密頓量：H =-μ·B=-αSxB，通過(guò)計(jì)算可得到電子自旋狀態(tài)：

例2 兩自旋粒子構(gòu)成的體系，初始時(shí)刻處于三重態(tài)之一的|1,-1＞態(tài)，兩粒子之間存在非線性相互作用，通常稱為一軸橫場(chǎng)扭曲模型[5]。體系的哈密頓量H =+ΩSz，Ω刻畫了橫場(chǎng)的強(qiáng)度。取自然單位?=1。試求：（1）兩粒子t ＞0時(shí)刻的狀態(tài)；（2）t ＞0時(shí)刻總自旋3個(gè)分量的取值、相應(yīng)的概率及期望值。

解 通過(guò)計(jì)算，可得到在S^z表象下兩粒子體系t ＞0時(shí)刻的狀態(tài)為[6]

對(duì)于自旋的3個(gè)分量，不難得到其取值分別為?、0、-?，并且，不會(huì)隨時(shí)間變化。對(duì)于S^x，與3個(gè)本征值對(duì)應(yīng)的3個(gè)本征態(tài)分別為

在ψ(t)態(tài)上測(cè)量3個(gè)可取值，相應(yīng)的概率為

在ψ(t)態(tài)上測(cè)量3個(gè)可取值，相應(yīng)的概率為

圖1 （a）S^y 3個(gè)取值的概率和（b） 3個(gè)取值的概率隨時(shí)間的演變

第2種情況，取Ω ≠0。此時(shí)，不同于第1種情況，自旋的3個(gè)分量都不是守恒量。對(duì)于自旋分量，3個(gè)取值±?和0，相應(yīng)的概率分別都隨時(shí)間作周期性變化，但是，取值為±?總是相等，從而保證其期望值還是為0，如圖2（a）中3條曲線所示。對(duì)于自旋分量S^y，3個(gè)取值±?和0，相應(yīng)的概率分別也都隨時(shí)間周期性變化，類似于。同樣，取值為±?總是相等，從而保證其期望值也還是為0。不同的是，概率p(Sy=0)和p(Sx=0)的單調(diào)性總是相反，p(Sy=±1)和p(Sx=±1)的單調(diào)性總是相反，分別如圖2（a）中3 條曲線和圖2（b）中的3條曲線所示。對(duì)于自旋分量，3個(gè)取值的概率與Ω =0時(shí)的曲線類似，不同的是，由于Ω的存在，不能處于三重態(tài)之一，如圖2（c）中3條曲線所示。本質(zhì)上是橫場(chǎng)的存在，提高了量子態(tài)的自旋相干性[7]。

綜上所述，在量子力學(xué)中，（1）無(wú)論是守恒量還是非守恒量，其取值一般不會(huì)隨時(shí)間變化，即本征值譜是靜態(tài)的，這個(gè)是由體系的結(jié)構(gòu)決定的，除非這個(gè)量顯含時(shí)間，例如，含時(shí)哈密頓量其本征值譜是動(dòng)態(tài)的。（2）一個(gè)物理量雖然不是守恒量，它的某個(gè)或某幾個(gè)取值對(duì)應(yīng)的概率有可能不會(huì)隨時(shí)間變化，該物理量的期望值隨時(shí)間變化。（3）一個(gè)物理量雖然不是守恒量，它所有取值對(duì)應(yīng)的概率有可能都隨時(shí)間變化，但該物理量的期望值卻不隨時(shí)間變化。（4）一個(gè)物理量雖然不是守恒量，其所有取值對(duì)應(yīng)的概率有可能不會(huì)隨時(shí)間變化，導(dǎo)致物理量的期望值也不會(huì)隨時(shí)間變化。值得說(shuō)明的是，在一個(gè)或者某幾個(gè)特殊的量子態(tài)上某個(gè)物理量的可取值、可取值對(duì)應(yīng)的概率及期望值不隨時(shí)間變化，從而將這個(gè)物理量視作守恒量是不對(duì)的。因?yàn)槭睾懔繉?duì)量子態(tài)沒有要求，即任意一個(gè)量子（束縛）態(tài)作為初始態(tài)[1-2]，其可取值、可取值對(duì)應(yīng)的概率及期望值都不隨時(shí)間變化，這恰恰是非守恒量不具備的條件。（5）定態(tài)是特殊的量子態(tài)，在該態(tài)上任意力學(xué)量（當(dāng)然包括守恒量和非守恒量）的可取值、可取值對(duì)應(yīng)的概率及期望值都不隨時(shí)間變化[1,2,4]。

圖2 （a）S^x算符3個(gè)取值的概率，（b）S^y算符3個(gè)取值的概率和（c）算符3個(gè)取值的概率隨時(shí)間的演變

在教學(xué)的安排方面，非守恒量的期望值問(wèn)題可以作為一個(gè)疑問(wèn)預(yù)先留在力學(xué)量期望值隨時(shí)間變化的教學(xué)的最后，等到自旋部分結(jié)束時(shí)，通過(guò)對(duì)上面兩道例題的解答和討論來(lái)給出答案。這樣不僅解決了問(wèn)題，鞏固了前面所學(xué)的知識(shí)，還將“黃山”中的幾個(gè)“景點(diǎn)”聯(lián)系了起來(lái)，這無(wú)疑對(duì)培養(yǎng)學(xué)生量子力學(xué)大局觀是有很大幫助的。