槽流的亞臨界轉捩與局地湍流

陶建軍

(北京大學 工學院 力學與工程科學系, 湍流與復雜系統(tǒng)國家重點實驗室, 北京 100871)

0 引 言

轉捩是指流動從層流態(tài)轉變?yōu)橥牧鲬B(tài)的過程，是生產(chǎn)生活中的常見現(xiàn)象。由于層流和湍流的動量、能量、質量傳輸特性有著很大不同，在工程設計中為了減阻、隔熱、降噪需要流場盡量保持在層流狀態(tài)，而在增混、促燃和強化換熱時又需要促進轉捩過程。因此，航空航天航海以及能源化工設備的優(yōu)化設計同層流-湍流轉捩的高效控制是密不可分的。轉捩研究可追溯至雷諾的管流實驗，而轉捩的起始與流場的失穩(wěn)密不可分[1]。亥姆霍茲、凱爾文、瑞利等人的早期穩(wěn)定性研究專注于流場對無窮小擾動的響應，通過線性化的控制方程求解不穩(wěn)定的簡正模態(tài)(normal mode),從而確定臨界控制參數(shù)。黏性剪切流最重要的控制參數(shù)即為雷諾數(shù)。對于小幅值擾動，一些流動如瑞利-貝納爾對流隨著控制參數(shù)的增加可經(jīng)歷一系列的超臨界分岔過程，分岔的臨界參數(shù)是可以精確確定的[2]。但對于邊界層流、黏性剪切驅動的槽流或壓差驅動的管流和槽流，其轉捩行為可明顯不同。它們的層流速度型在中等雷諾數(shù)時對小幅值擾動(線性擾動)是穩(wěn)定的[3-4]，但擾動幅值足夠大時可變?yōu)橥牧?，即發(fā)生亞臨界轉捩[5-6]。以管流為例，對于不同形式和強度的擾動，其轉捩臨界雷諾數(shù)的變化范圍可很大，如1700～100 000[7-8]。剪切流的亞臨界轉捩過程對外部擾動的敏感性給轉捩預測帶來極大困難。

在邊界層流中，人們發(fā)現(xiàn)一對斜Tollmien-Schlichting(TS)波的非線性演化對邊界層流的轉捩至關重要[9-10]；基于對轉捩過程中湍流間歇性的認識，構造了基于間歇因子輸運方程和當?shù)亓鲃幼兞康霓D捩模式[11]；實驗研究了壁湍流轉捩中的三維非線性波和二次渦環(huán)等結構[12]。對于光滑壁的平行剪切流，如管流，人們發(fā)現(xiàn)初始人為引入的大幅值流向渦擾動并不會完全衰減掉[13]，隨后的實驗研究顯示局地湍流(puff)[14-18]的瞬態(tài)增長特性和分裂對管流的亞臨界轉捩過程有重要意義。Eckhardt等和Mullin分別于2007年[19]和2011年[20]在流體力學年鑒(Annu. Rev. Fluid Mech.)中對管流亞臨界轉捩的研究進展進行了綜述，不斷涌現(xiàn)的成果相繼發(fā)表在了Science[21-23]和Nature[24-25]，引起廣泛關注。本文將重點討論平行平板間壓差驅動的平板泊肅葉流 (plane-Poiseuille flow，PPF)的亞臨界轉捩過程，同時簡述剪切驅動的平板庫埃特流(plane-Couette flow，PCF)和壓差驅動的圓管流動(Hagen-Poiseuille flow，管流)的相關研究進展。

1 槽流的亞臨界轉捩現(xiàn)象

能量穩(wěn)定性分析或能量法可以給出基本流失穩(wěn)的必要條件。對于槽流這類黏性剪切流而言，能量法所定義的臨界閾值遠遠低于實際的轉捩雷諾數(shù)[26-28]。由于線性穩(wěn)定性分析所得特征函數(shù)并不一定是兩兩正交的，初始擾動有可能經(jīng)歷瞬態(tài)增長[3,29]，因此人們寄希望于經(jīng)瞬態(tài)增長機制將小擾動放大至有限幅值后的非線性階段，也研究了槽流的最大瞬態(tài)增長模態(tài)和三維擾動瞬態(tài)增長的最大能量放大倍數(shù)[30-32]。需指出的是，由于擾動能量的增長機制是線性的，能量法和針對擾動方程線性算子的瞬態(tài)增長分析均與擾動的初始幅值無關。采用同倫分析的方法[33-36]、在小尺度周期盒子中用迭代法[37-38]或通過二分的邊界追蹤(edge-tracking)[39-40]等數(shù)值方法，人們可求得空間上有嚴格周期性的非線性解和有局地特性的邊界態(tài)(localized edge state)。盡管這些Navier-Stokes方程的解在中低雷諾數(shù)時會衰減掉，其流動結構、動力學和統(tǒng)計學特性對人們認識低雷諾數(shù)湍流是有益的[41]。近年來的一個重要研究進展是發(fā)現(xiàn)傾斜的大尺度的湍流帶同槽流的亞臨界轉捩進程直接相關。

對于平板泊肅葉流(PPF)，常用的雷諾數(shù)定義為Re=3Umh/(2ν)，其中h為半槽高，Um為截面平均流速，ν為運動學黏性系數(shù)。1928年，Davies和White實驗測量了不同橫截面寬高比的槽道流的壁面摩擦阻力系數(shù)與雷諾數(shù)的關系[42]。實驗結果顯示，摩阻系數(shù)在小雷諾數(shù)時同層流解相符，在Re高于某臨界值時開始高于層流解。更大的寬高比意味著更小的側壁影響，數(shù)據(jù)顯示臨界雷諾數(shù)隨著寬高比的增大而增大，當寬高比足夠大后則不再增加，維持在Re=667.5附近。這一臨界值在此前一直未受重視，因為隨后實驗發(fā)現(xiàn)的轉捩臨界值要高得多。1969年，Patel和Head[43]的槽流實驗發(fā)現(xiàn)當Re<1035時，流動維持在層流狀態(tài)；當10351350后流動變?yōu)槌掷m(xù)的湍流狀態(tài)。Nishioka和Asai[44]的實驗研究也發(fā)現(xiàn)在Re<1000時湍流態(tài)難以自維持。

Carlson等人通過流動顯示[45]發(fā)現(xiàn)，雷諾數(shù)在1000左右時壁面小孔的脈沖射流可激發(fā)出湍斑結構(見圖1a)，在往下游的發(fā)展過程中湍斑會發(fā)生分裂，如圖1(b)所示。當Re大于1200時，無需人工激勵即可由背景擾動隨機地形成湍斑。在Re<840時，激勵觸發(fā)的湍斑無法充分發(fā)展，最終衰減掉。由于這些實驗結果顯示可自維持的湍流要求雷諾數(shù)高于1000，隨后大量的實驗、理論和數(shù)值模擬工作主要集中在了Re>1000的湍斑研究上[46-50]。Alavyoon等人在實驗中也采用壁面小孔射流來激發(fā)湍斑[51]，他們發(fā)現(xiàn)在Re=1100附近可以觀察到未發(fā)展完全的湍斑；當Re<1100時，任意大幅值的擾動都無法產(chǎn)生湍斑；直到Re>1200時，才能觀察到完整的湍斑，即在展向有對稱的兩個分支的湍斑。隨著計算能力的提高，人們在Re≥1070的數(shù)值模擬中發(fā)現(xiàn)存在規(guī)則排列的被層流區(qū)間隔的湍流帶(turbulent stripe或turbulent band)結構[52,53]，隨后的實驗也證實了湍流帶結構的存在[54](見圖2)。實驗顯示在Re<1275時湍流帶會斷裂；在Re=1200時僅發(fā)現(xiàn)一兩個湍斑；在Re=975時流場為穩(wěn)定的層流[55]。以Re≥1567的層流場疊加擾動渦對作為初始場，分別在保持凈壓力梯度不變[56]和保持流量不變[57]的條件下進行的數(shù)值模擬發(fā)現(xiàn)，初始擾動誘發(fā)的湍斑均會擴展、演化。

(a) x/h=64, Re=1000

(b) x/h=260, Re=1000

(a) 數(shù)值模擬所得的流向擾動速度等值面, δ為半槽高, Re=1440

(b) 流動顯示，Re=1500

Tao等人重新分析了Davies和White的實驗數(shù)據(jù)[42]并將其分為三個區(qū)(見圖3)[58]。I區(qū)對應于層流，II區(qū)和III區(qū)的斜率明顯不同。II區(qū)隨著槽道高寬比的減小而減小，而III區(qū)的斜率并不隨高寬比變化，反映了在該區(qū)間不受高寬比影響的內(nèi)在的動力學特性。II、III區(qū)的分界線外插至層流態(tài)的臨界值估計為Red=1127或Re=845。采用大計算域的初步的數(shù)值模擬也顯示在雷諾數(shù)低至900時存在增長的湍斑，因此該閾值被解釋為可發(fā)展湍斑的臨界值[58]。這一閾值的提出提示人們在Re<1000的情況下，PPF有可能存在著可自維持的湍流態(tài)。

圖3 對Davies和White實驗數(shù)據(jù)[42]的分析[58]Fig.3 Analysis of the experimental data[42,58]

Tuckerman對PPF用傾斜的狹小計算域進行了數(shù)值模擬[59]，發(fā)現(xiàn)在雷諾數(shù)大于850時存在湍流帶。需注意的是，采用狹小計算域雖可大為節(jié)省計算資源并定性模擬局地湍流結構，但人為設定的計算域傾角和展向的周期邊界條件對轉捩過程及臨界閾值的確定有顯著影響[60]。為減少周期邊界條件對局地湍流結構的影響，2013年Tao等采用流向和展向尺度均很大的計算域數(shù)值模擬了PPF的亞臨界轉捩過程，發(fā)現(xiàn)存在湍流帶的雷諾數(shù)可低至720[61]；得到了孤立的湍流帶(見圖4)，即在計算域內(nèi)湍流帶周圍為層流，沒有其他的湍流結構。由于孤立的湍流帶遠離其他局地湍流結構從而大大減弱了同它們的相互影響，其存在為研究湍流帶自身的時空演化特性提供了可能。

根據(jù)數(shù)值模擬結果，存在統(tǒng)計定常態(tài)的轉捩階段被定義為平衡局地湍流態(tài)(equilibrium localized turbulence)[61]。根據(jù)全流場的耗散率特性定義的平衡局地湍流態(tài)的臨界值為Re=859，該閾值同之前分析Davies和White實驗結果所得閾值845[58]基本一致。數(shù)值模擬還發(fā)現(xiàn)在Re>950時湍流帶發(fā)生分裂的頻次增加從而大為促進湍流的擴展，由層流區(qū)間隔開的湍流帶結構最終會鋪滿整個流場；在Re>1300時層流區(qū)不再明顯，此時流態(tài)被定義為均勻湍流(uniform turbulence)[61]，如圖5所示。隨后，人們開始重視PPF在雷諾數(shù)低于1000的轉捩特性[62-63]。

(a)

(b)

(c)

(d)

通過對PPF在大計算域(流向和展向計算域尺度均為102h量級)進行系統(tǒng)的直接數(shù)值模擬，Xiong等人[64]發(fā)現(xiàn)，局地擾動誘發(fā)的湍斑要么演化為湍流帶，要么衰減掉，因此其自維持時間遠遠小于湍流帶的自維持時間；在中等雷諾數(shù)時，孤立的湍流帶會傾斜伸長(見圖6)；當Re<660時湍流帶擾動動能經(jīng)瞬態(tài)增長后會衰減掉，見圖6(a)(b)。另外，湍流帶周圍存在大尺度環(huán)流(見圖6c)，這些環(huán)流之間的相互作用會導致湍流帶的斷裂和衰減，而在適當?shù)臈l件下斷裂的湍流帶還會發(fā)生重連現(xiàn)象[65]。傾斜狹長的計算域無法模擬湍流帶的伸長現(xiàn)象，而小的計算域由邊界條件帶來的較強的環(huán)流相互作用會導致湍流帶的斷裂和衰減，從而無法準確獲得可自維持湍流帶的下臨界雷諾數(shù)。比如近期人們發(fā)現(xiàn)用小展向尺度的計算域進行的數(shù)值模擬只能得到最終衰減的類似于管流中puff的局地湍流結構[66]。綜上所述，在中低雷諾數(shù)發(fā)現(xiàn)的湍流帶結構使人們對槽流亞臨界轉捩的認識進入了一個新階段。

(a)

(b)

(c)

(d)

(a)

(b)

(c)

2 亞臨界轉捩的理論模型

為了理解亞臨界轉捩中局地湍流結構的生成與演化機理，人們建立了多種動力學模型。Barkley等借用化學中的反應擴散模型和生命科學中的神經(jīng)元模型來定性描述管流從puff的瞬態(tài)增長到最后全場湍流的整個亞臨界轉捩過程[67-70]。金融領域的極值理論(Extreme Value Theory)和生態(tài)捕食模型(predator-prey model)也分別被用來分析平板庫艾特流亞臨界轉捩閾值問題[71]和管流轉捩現(xiàn)象[72]。Pomeau在1986年將轉捩過程與定向逾滲(Directed Percolation，DP)的相變類型聯(lián)系了起來[73]。在定向逾滲理論中，一個活躍狀態(tài)可以通過相鄰的節(jié)點以一定概率p進行傳播。隨后人們對管流和平板庫艾特流轉捩過程的實驗和數(shù)值模擬數(shù)據(jù)用DP模型進行了擬合分析[74-76]。

對于PPF，2016年Sano和Tamai通過增加多孔板的方式提高試驗段入口流場的湍流度，并利用流動顯示技術觀測下游流動結構的變化，計算了流場中湍流占比與Reynolds數(shù)的關系[77]，如圖7所示，發(fā)現(xiàn)湍流占比(湍流區(qū)域所占的面積百分比)與參數(shù)ε= (Re-Rec)/Rec呈冪次分布，同DP模型相符，并通過外插法定義了PPF亞臨界轉捩的臨界雷諾數(shù)為830。但從圖7可以看出，在Re<830時湍流占比并不是零，即轉捩已經(jīng)開始，這是DP模型無法解釋的。實際上，用DP冪次關系外插實驗數(shù)據(jù)所得的轉捩閾值同之前依據(jù)早期實驗數(shù)據(jù)外插所得的閾值845[58]和由數(shù)值模擬數(shù)據(jù)定義的平衡局地湍流態(tài)的臨界值859[61]是符合的，反映的是存在統(tǒng)計定常態(tài)的局地湍流的臨界性質。在雷諾數(shù)低于830時，之前的數(shù)值模擬已經(jīng)表明湍流帶是可以增長演化的(如圖6)。近期在Re= 660～800范圍內(nèi)的數(shù)值模擬進一步表明，大計算域中的周期湍流帶是可以自維持的，這一階段每一雷諾數(shù)對應的湍流占比不唯一但存在一個統(tǒng)計上的最大值，即PPF在轉捩之初存在一種稀疏湍流態(tài)[65]。

圖7 實驗所得PPF湍流占比隨雷諾數(shù)的變化[77]Fig.7 Turbulent fraction obtained experimentally for PPF at different Reynolds numbers[77]

3 槽流轉捩的相似性

無論對管流還是槽流，如平板庫艾特流和平板泊肅葉流，局地湍流結構的產(chǎn)生與時空演化特征顯示亞臨界轉捩過程可包括不同的階段(見圖8)，而不同黏性剪切流的轉捩階段之間的相似性似乎預示它們遵循著相同的轉捩路徑[78-79]。但對這種相似性的量化分析是困難的，比如不同流動發(fā)生轉捩的雷諾數(shù)可相差巨大，因為雷諾數(shù)的定義中選取的特征長度和特征速度因流動不同而不同。那么不同的黏性剪切流是否可定義統(tǒng)一的穩(wěn)定性控制參數(shù)呢？對這一問題的研究已有六十年的歷史。

圖8 平行剪切流的亞臨界轉捩階段[79]Fig.8 Transition stages of the subcritical transition of parallel shear flows[79]

人們分別嘗試依據(jù)平均流特性[80-81]和流場的局部特性來定義有普適性的穩(wěn)定性參數(shù)。1959年，Ryan 和 Johnson[82]依據(jù)線性化的二維能量方程為管流提出了一個穩(wěn)定性參數(shù)Zmax，是“流體微團的能量輸入與能量耗散之比的函數(shù)”。Zmax代表著橫截面內(nèi)該能量比值的最大值。管流實驗數(shù)據(jù)顯示牛頓流體和幾種假塑性流體的轉捩臨界Zmax值是一致的，這在一定程度上證實了一個觀念：流態(tài)是由具有最大能量輸入與能量耗散之比的流體微團或局地穩(wěn)定性參數(shù)Zmax決定的。由于Zmax不依賴于邊界條件，僅取決于流場的局地特性，因此相較于傳統(tǒng)的雷諾數(shù)定義Zmax更能反映不同流場轉捩過程的共性。隨后Hanks[83]基于Navier-Stokes (NS)方程將這一觀念擴展到了槽流(PPF)，并給出了另一個局地控制參數(shù)K，其對壓力驅動管流和槽流的定義分別為：

(1)

普適的轉捩或穩(wěn)定性控制參數(shù)對不同的流動應具有統(tǒng)一的定義式。依據(jù)NS方程定義的局地雷諾數(shù)Rem反映了局地的非線性對流與黏性擴散效應之比[58]。與之前的穩(wěn)定性參數(shù)定義中的分母(dp/dx或μ2U)僅由基本流決定的情況不同，Rem定義中的基于物理模型所表征的黏性擴散項為包含了擾動成分。η是受擾流線的局地斜率，l是擾動的流向特征長度尺度。對于舒緩的擾動，η/l?1，擴散項的第二項相較于第一項(如在泊肅葉流中)可忽略；對于平板庫艾特流，其線性速度剖面使得擴散項中第一項為零，則包含η/l的第二項成為主導項。 受Ryan和Johnson工作的啟發(fā)，Tao等[79]依據(jù)動能方程定義了另一局地雷諾數(shù)ReL，用來表征受擾流體微團從基本流所獲能量與其能量耗散之比在截面內(nèi)的最大值，其定義式是：

(2)

Rh是水力半徑(截面積與濕周之比),τw是壁面切應力，x2是壁面法向坐標， “max” 代表截面內(nèi)最大值。傳統(tǒng)雷諾數(shù)的定義式包含的是反映流場平均特征的量，如截面平均流速和槽高，但這些平均量難以反映具有不同邊界條件的流場特性(如PCF和PPF)。盡管不同形式的流動有不同的邊界條件，但流體微團的動力學行為是統(tǒng)一的，其動量與能量控制方程是相同的，因此反映流體微團能量輸入與耗散特性的局地雷諾數(shù)ReL相較于傳統(tǒng)的雷諾數(shù)定義具有更好的普適性。另外，不同于之前的局地控制參數(shù) Zmax和K，ReL既適用于壓差驅動的泊肅葉流，又適用于黏性剪切驅動的庫艾特流，而且具有統(tǒng)一的定義形式。將管流、平板庫艾特流和平板泊肅葉流的基本流代入公式(2)所得的各類流動的ReL表達式同Rem的表達式是一致的；管流和平板泊肅葉流的ReL表達式同Hanks定義的K也是一致的[79]。

通過分析管流、PPF和PCF以往的實驗和數(shù)值模擬結果[79]并整理近期結果[77,86]，三種不同剪切流亞臨界轉捩的不同階段的ReL閾值基本相符，分別為：255～290(稀疏湍流)、320～340(平衡局地湍流)、380～394(空間間歇性分布但可自維持湍流)、500～520(均勻湍流)。采用傳統(tǒng)雷諾數(shù)定義的閾值則相差巨大，比如對于管流和平板庫艾特流，其平衡局地湍流的閾值分別為1750和325左右。顯然，采用基于流場局地信息定義的穩(wěn)定性參數(shù)是可以定量表征不同剪切流亞臨界轉捩過程的相似性的。當然，需要提及的是不同流動的轉捩過程也會有其特殊性。比如在轉捩的最初階段，管流中的puff結構是瞬態(tài)的，平板泊肅葉流中的湍流帶結構在較狹窄的流道或計算域中也是瞬態(tài)的[66]，但當這些局地湍流結構相距很遠時是可以維持傾斜伸長的。因此，亞臨界轉捩的最初階段被稱為稀疏湍流態(tài)。

4 結論與展望

剪切流的亞臨界轉捩是一個劇烈的過程，但人們通過研究局地湍流結構的產(chǎn)生、演化(如湍流帶的斷裂、伸長、分裂、重連)，認識到該過程仍可細分為不同的階段，而不同流動的轉捩階段是存在相似性的。這種內(nèi)在的相似性來自于流體微團受控于相同的動力學規(guī)律(方程)這一事實，而基于局地流場特性所定義的穩(wěn)定性參數(shù)揭示了不同流動在不同的轉捩階段具有相符合的臨界閾值，從而定量地反映了黏性剪切流亞臨界轉捩的統(tǒng)一性。盡管人們已經(jīng)取得了許多可喜的進展，但對于剪切流的亞臨界轉捩過程仍有許多重要問題有待解決。首先，對于槽道流亞臨界轉捩的實驗研究仍是不充分的，目前的認識多是來自于大規(guī)模的并行計算，局地湍流結構在各轉捩階段的臨界閾值仍需實驗確認，局地結構的演化特征(如湍流帶的傾斜伸長、分裂、重連)仍需相應的實驗研究[87]。其次，局地湍流結構的產(chǎn)生和演化機理仍需更為深入的探索。目前的動力學模型分析多是從類比、形似的定性角度來解釋現(xiàn)象，仍需直接根植于流動控制方程的機理研究[88]。另外，目前的亞臨界轉捩研究多是由強初始擾動觸發(fā)的，由復雜邊界觸發(fā)的亞臨界轉捩過程的相關研究仍有待深入。相信隨著實驗技術、計算能力、數(shù)值方法和穩(wěn)定性理論的發(fā)展，這些挑戰(zhàn)性的問題在不久的將來會被一一攻克，從而進一步優(yōu)化人們的轉捩控制方法、加強人們在工程實踐中的流動控制能力。