Schwarz不等式的5個(gè)推廣

陳亦佳，張會(huì)美

(玉溪師范學(xué)院 數(shù)學(xué)與信息技術(shù)學(xué)院,云南 玉溪 653100)

1 涉及的定理及引理

本文所涉及的定理及引理如下：

定理[1](Schwarz不等式)若f(x),g(x) 在 [a,b]上可積，且f(x)>0,g(x) >0，則

(1)

當(dāng)且僅當(dāng)b=ap-1時(shí)等號(hào)成立.

2 Schwarz不等式的推廣

定理1若f(x),g(x) 在 [a,b] 上可積，且f(x)>0,g(x) >0,則

所以

(2)

證明由引理1( Young不等式)得

兩邊在閉區(qū)間[a,b] 取定積分，有

故得

由數(shù)學(xué)歸納法

由以上兩式可得

所以對(duì)k=n時(shí)不等式也成立.

綜上所述,

兩邊在閉區(qū)間 [a,b]取定積分，得

所以

即

定理4 設(shè)f(x),g(x) 在 [a,b]上可積，則有閔可夫斯基(Minkowski)不等式.

證明由Schwarz不等式，得

故

即

因?yàn)椴坏仁絻蛇叾即笥诹?，并且不等式右邊的被積函數(shù)大于零，所以

定理5 設(shè)f(x),g(x) 在 [a,b]上可積，且f(x)>0,g(x) >0，p>1,則有

則有Holder積分不等式(2)，得

故有

3 結(jié) 論

本文主要對(duì)Schwarz進(jìn)行了推廣，得到運(yùn)用更為廣泛的Schwarz不等式，使Schwarz不等式得到了豐富.Schwarz不等式是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重要工具，在數(shù)學(xué)體系中占有極其重要的位置，并具有實(shí)際應(yīng)用的意義，能夠使數(shù)學(xué)中難以解決的問題簡(jiǎn)單化，使解題過程簡(jiǎn)潔明了.