廣義擬Sugeno積分的次可加性和自連續(xù)性

李艷紅

（遼東學(xué)院師范學(xué)院數(shù)學(xué)系，遼寧丹東118003）

0 引言

自1974年日本學(xué)者SUGENO[1]首次引入模糊測(cè)度概念以來(lái),模糊積分理論得到不斷豐富和發(fā)展，但由于模糊測(cè)度不具有一般可加性，因而無(wú)法建立類(lèi)似于經(jīng)典測(cè)度論的理論體系。為克服這一缺陷，許多學(xué)者在模糊測(cè)度限定條件下做了大量探究。1984年,WANG[2]首次提出集函數(shù)的自連續(xù)、偽自連續(xù)、零可加和偽零可加等概念,并依此討論了可測(cè)函數(shù)列和積分序列的收斂性。1987年，SUGENO 等[3]再次通過(guò)公理化方法引入擬加法和擬乘法，并初步建立了擬可加積分模型及其理論框架。1993年,蔣興 忠[4]基 于 文 獻(xiàn)[3]，引入 了2種算子(K和t算子)，建立了tK積分和Kt積分，并討論了這兩類(lèi)積分的基本性質(zhì)和收斂定理。1998年,王貴君等[5]將K算子和t算子統(tǒng)一化，提出誘導(dǎo)算子概念，并建立了K-擬可加積分，進(jìn)而討論這種積分的絕對(duì)連續(xù)性和自連續(xù)性[6]。2010年,李艷紅等[7]在K-擬加模糊測(cè)度空間上對(duì)廣義實(shí)函數(shù)建立了廣義Sugeno模糊積分，繼而通過(guò)誘導(dǎo)算子研究了廣義擬Sugeno模糊積分的3種確界式等價(jià)表示，并通過(guò)實(shí)例計(jì)算驗(yàn)證了該積分的等價(jià)性[8]。這些結(jié)果不僅豐富了模糊積分的研究領(lǐng)域，而且也為模糊積分的應(yīng)用提供了理論基礎(chǔ)。

此外，雖然已有文獻(xiàn)研究一些模糊積分的次可加性[9-10]，但其絕大多數(shù)都是針對(duì)被積函數(shù)的,即使考慮積分區(qū)域，也是以限定兩可測(cè)集不相交為前提?；谖墨I(xiàn)[7-8]，本文將廣義擬Sugeno積分整體看成取值于非負(fù)實(shí)數(shù)的集函數(shù)，突破以往兩可測(cè)集交為空集的約束條件，給出該集函數(shù)的次可加性，進(jìn)而利用次可加性討論廣義擬Sugeno積分的自連續(xù)性和零可加性。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)X是一個(gè)經(jīng)典集合，R+=[0,+∞],?是X上若干子集構(gòu)成的σ-代數(shù)，(X,?)代表給定的任一可測(cè)空間，N表示自然數(shù)集。

定義1[4-5]設(shè)K:R+→R+是嚴(yán)格增加的連續(xù)函數(shù)，且滿(mǎn)足條件:（i）K(0)=0,K(1)=1，（ii）則稱(chēng)K為R+上誘導(dǎo)算子，并約定(+∞)?0=0 ?(+∞)=0。

顯然，K的逆算子K-1仍遞增，且K-1也是誘導(dǎo)算子。詳見(jiàn)文獻(xiàn)[4-5]。

定義2[4-5]設(shè)K是給定誘導(dǎo)算子，?a,b∈R+，界定a與b的K-擬加運(yùn)算⊕與K-擬乘運(yùn)算?為:

故?a,b,c,d∈R+，不難得到以下結(jié)論:

（i）a⊕b=b⊕a,a?b=b?a,a?(b⊕c)=(a?b)⊕(a?c);

（ii）a⊕0=a,a?0=0,a?1=a;

（iii）若a≤b,c≤d,則有a⊕c≤b⊕d,a?c≤b?d;

（vi）K(a⊕b)=K(a)+K(b),K(a?b)=K(a)?K(b);

（v）K-1(a+b)=K-1(a)⊕K-1(b);K-1(a?b)=K-1(a)?K-1(b)；

定義3[3]設(shè)(X,?)是可測(cè)空間，K是誘導(dǎo)算子，若集函數(shù)?:? →[0,+∞]滿(mǎn)足：

（i）?(?)=0;

（ii）若A,B∈?,且

則稱(chēng)集函數(shù)?為K-擬加測(cè)度，相應(yīng)地稱(chēng)三元組(X,?,?)為K-擬加測(cè)度空間。

定義4[8]設(shè)(X,?,?)是K-擬加測(cè)度空間，K是誘導(dǎo)算子，f:X→[0,+∞]是非負(fù)可測(cè)函數(shù)，A∈?,令

注1實(shí)際上，擬加⊕和擬乘?算子均借助誘導(dǎo)算子K給出，特別地，當(dāng)K(x)=x時(shí)，顯然有a⊕b=a+b;a?b=a?b。故⊕和?算子分別是普通加法和乘法的推廣。此外,從基于值域 [0,+∞]來(lái)看，K-擬加測(cè)度μ?已不再具有模糊性，故所定義的積分也不必稱(chēng)之為模糊積分。另一方面,依據(jù)文獻(xiàn)[4-5]，顯然可得supK-1(?)=K-1sup(?)，再由定義2，立刻可得廣義擬Sugeno積分的另外2種等價(jià)表示：

其中μ(?)=K(μ?(?))恰是Lebesgue 測(cè)度。

下面,通過(guò)一個(gè)實(shí)例來(lái)計(jì)算這種廣義擬Sugeno積分的值，以便從中發(fā)現(xiàn)該積分的值是隨誘導(dǎo)算子的變化而變化的。

例1 給定一個(gè)非負(fù)可測(cè)函數(shù)f(x)=2x+3,x∈R+,取A=[1,3],?為K-擬加測(cè)度。取誘導(dǎo)算子:(i)K(x)=x2，(ii)K(x)=x3,分別計(jì)算積分值

解首先，依據(jù)截集定義，?α≥0，必有

因此,依據(jù)Lebesgue 測(cè)度可得

情況（i）K(x)=x2，由廣義擬Sugeno積分的等價(jià)表示式(2)，容易獲得

則式(3)為

情況（ii）K(x)=x3，由式(2)可得

因K-1(x)=x3，再由式(2)～(4)，立刻可得

顯然，在其他條件不變的情況下，不同誘導(dǎo)算子所對(duì)應(yīng)的廣義擬Sugeno積分的值不同。

下面，為了繼續(xù)討論廣義擬Sugeno積分的自連續(xù)性和零可加性，給出可測(cè)空間上集函數(shù)的零可加(減)和上(下)自連續(xù)的定義。

定義5[2]設(shè)(X,?)是任一可測(cè)空間，集函數(shù)μ:? →[0,+∞]。?A,B∈?，若滿(mǎn)足μ(B)=0 ?μ(A∪B)=μ(A)(或μ(A-B)=μ(A)),則稱(chēng)μ是零可加(或零可減)的。

定義6[2]設(shè)(X,?)是任一可測(cè)空間,集函數(shù)μ:? →[0,+∞]。若?{An}??,A∈?，滿(mǎn)足

則稱(chēng)μ是上自連續(xù)(或下自連續(xù))的。若μ既是上自連續(xù)的，又是下自連續(xù)的，則稱(chēng)μ是自連續(xù)的。

2 次可加性

若將廣義擬Sugeno積分的等價(jià)表達(dá)式(1)或(2)整體看成可測(cè)空間上的集函數(shù)，則可進(jìn)一步討論這種集函數(shù)的基本性質(zhì)，如次可加性。故為證明廣義擬Sugeno積分(看成集函數(shù))對(duì)任意2個(gè)可測(cè)集關(guān)于擬加法⊕滿(mǎn)足次可加性，首先給出一個(gè)引理。

引理1設(shè)(X,?,μ?)是K- 擬加測(cè)度空間，?A,B∈?，且A?B，則?(A)≤μ?(B)。

證明因當(dāng)A?B時(shí)，有B=A∪(B-A)，且由定義3 必有故K-擬可加測(cè)度?是單調(diào)遞增的。

推論1在定義4 條件下，若令v(A)=，則集函數(shù)v也是單調(diào)遞增的。

引理2設(shè)(X,?,?)是一個(gè)K-擬加測(cè)度空間，μ(?)=K(?(?)),A∈?，則廣義擬Sugeno積分內(nèi)部表達(dá)式在α≥0和α>0時(shí)的上確界相等，即

證明由定義1，誘導(dǎo)算子K滿(mǎn)足K(0)=0,則有

當(dāng)α=0時(shí)，即使μ(N0(f)∩A)=+∞，依定義1 約定也總有K(0)μ(N0(f)∩A)=0。

下面，在廢除2個(gè)可測(cè)集交為空的限定條件下給出重要結(jié)論:廣義擬Sugeno積分(看成集函數(shù))對(duì)任意2個(gè)可測(cè)集關(guān)于擬加法⊕滿(mǎn)足次可加性。

定理1設(shè)(X,?,μ?)是給定的K-擬加測(cè)度空間，?A∈?，若令，則?B∈?，集函數(shù)v必滿(mǎn)足v(A∪B)≤v(A)⊕v(B)。

證 明因A∪B=A∪(B-A),且A∩(BA)=?。由式(2)和Lebesgue 測(cè)度μ的可加性得

此時(shí)，由于對(duì)任意非負(fù)有界函數(shù)f(x),g(x)，總有sup(f(x)+g(x))≤supf(x)+supg(x),且B-A?B，更有μ(Nα(f)∩(B-A))≤μ(Nα(f)∩B)。再由K-1的遞增性可得

注2需要強(qiáng)調(diào)的是，雖然有些文獻(xiàn)討論了某模糊積分關(guān)于積分區(qū)域的次可加性，但大多是在A∩B=?情況下進(jìn)行的討論。而定理1 正是在2個(gè)可測(cè)集為任意的條件下獲得的廣義擬Sugeno積分(看成集函數(shù))的次可加性。當(dāng)然，上述次可加性v(A∪B)≤v(A)+v(B)也可等價(jià)表示為

3 自連續(xù)性

類(lèi)似第2節(jié)的方法，若仍將廣義擬Sugeno積分的等價(jià)表示式(1)整體看成可測(cè)空間上的集函數(shù)，則由這種集函數(shù)的次可加性還可繼續(xù)探究廣義擬Sugeno積分(集函數(shù))的零可加性和自連續(xù)性。

定理2設(shè)(X,?,μ?)是給定的K-擬加測(cè)度空間，?A∈?，若令則集函數(shù)v是零可加的，進(jìn)而v也是零可減的。

證明由定義5，若要證v是零可加的，只需證:若v(B)=0,則有v(A∪B)=v(A)。

事實(shí)上，由引理2和式(1)，若令

則對(duì)?α>0，必有

再由B-A?B，有

故K(α)K(μ?(Nα(f)∩(B-A)))≡0。

因K(α)>0,則有

由A∪B=A∪(B-A),且A∩(B-A)=?，?α>0，及定義3可得

再由式(1)立即可得

因此，集函數(shù)v是零可加的。

下證集函數(shù)v也是零可減的。

事實(shí)上，?A,B∈?，若設(shè)v(B)=0，則總有A=(A-B)∪(A∩B)，且A∩B?B。由推論1，有0≤v(A∩B)≤v(B)=0。故v(A∩B)=0。再 由 定理2中v的零可加性，自然有

v(A)=v((A-B)∪(A∩B))=v(A-B)。因此，集函數(shù)v也是零可減的。

定理3設(shè)(X,?,μ?)是K- 擬加測(cè)度空間，?A∈?，若令，則v是自連續(xù)的。

證明首先，證明集函數(shù)v是上自連續(xù)的。不妨設(shè)A∈?，集合列 {An}??，且滿(mǎn)足往證

事實(shí)上，依定理1(v的次可加性)及v的單調(diào)性，顯然有

由定義2（vi），顯然有

其次，證明v也是下自連續(xù)的。假設(shè)同前，只需往證實(shí)際上，?n∈N，總有A?(A-An)∪An，再由定理1，必有

因暫無(wú)法確認(rèn)數(shù)列{v(A-An)}的極限是否存在,故兩端不宜直接取極限。但由可得，?ε>0，?N∈N，當(dāng)n>N時(shí)，總有v(An)<ε。故有K(v(An))

由定義2,將式(5)等價(jià)變換為普通加法，然后進(jìn)行移項(xiàng)處理，即

再由A-An?A?v(A-An)≤v(A)?K(v(A-An))≤K(v(A))。

故有

令n→∞，由誘導(dǎo)算子K的連續(xù)性，易得

再基于式(6)和夾逼定理，知數(shù)列{K(v(A-An))}收斂，且滿(mǎn)足

由K的嚴(yán)格單調(diào)性(或K-1作用兩邊)，必有即集函數(shù)v也是下自連續(xù)的。因此，集函數(shù)v自連續(xù)，或者說(shuō)廣義擬Sugeno積分是自連續(xù)的。

注3在定理3中，若取An≡B，顯然可由v的上自連續(xù)推得v零可加，由v的下自連續(xù)推得v零可減。因此，此事實(shí)與集函數(shù)上(下)自連續(xù)蘊(yùn)含零可加(減)是一致的。

4 結(jié) 論

在廢除2個(gè)可測(cè)集交為空的限定條件下重新給出了廣義擬Sugeno積分(看成集函數(shù))關(guān)于擬加法⊕滿(mǎn)足次可加性，進(jìn)而利用次可加性證明此廣義擬Sugeno積分的零可加(減)性和上(下)自連續(xù)性，并給出自連續(xù)和零可加(減)的蘊(yùn)含關(guān)系。所得結(jié)果豐富了傳統(tǒng)非可加積分理論，為進(jìn)一步研究廣義擬Sugeno積分的特性提供了新的思路和方法。