徑流預(yù)報誤差的混合t Location-Scale分布模型及應(yīng)用

孫鳳玲，李繼清，張驗科

(華北電力大學(xué)水利與水電工程學(xué)院，北京102206)

0 引 言

徑流預(yù)報誤差分析研究主要根據(jù)其隨機(jī)特性進(jìn)行數(shù)理統(tǒng)計分析，包括[1]：一，誤差出現(xiàn)的不確定性與統(tǒng)計特性，對誤差的不確定度和置信概率給出合理的取值[2-5]；二，徑流預(yù)報誤差的分布，從整體把握預(yù)報誤差的分布規(guī)律。徑流預(yù)報誤差的分布規(guī)律研究主要采用單一分布和混合分布模型。目前，大多數(shù)文獻(xiàn)仍主要集中于建立不同預(yù)見期徑流預(yù)報誤差的單一分布模型，單一分布模型在一定條件下呈現(xiàn)出比較滿意的效果。Chen等[6]提出了一種基于Copula函數(shù)的不確定性演化模型來描述流量預(yù)測不確定性的演化規(guī)律，生成的預(yù)測不確定度序列在均值、標(biāo)準(zhǔn)差和偏度方面與觀測序列吻合較好；刁艷芳等[7]發(fā)現(xiàn)中國濕潤地區(qū)、半濕潤地區(qū)典型水庫的洪水預(yù)報誤差近似服從正態(tài)分布；劉招等[8]分別采用正態(tài)分布、指數(shù)分布、Gamma分布等10余種分布對陜西省安康水庫的預(yù)報誤差進(jìn)行分析，發(fā)現(xiàn)預(yù)報誤差規(guī)律符合Logistic分布；左保河[9]采用實測預(yù)報序列誤差分析與譜分析相結(jié)合的方法研究水文預(yù)報中的誤差特性，結(jié)果發(fā)現(xiàn)對數(shù)正態(tài)分布模型能較好的描述徑流預(yù)報誤差；董前進(jìn)等[10]研究了三峽水庫汛期入庫流量預(yù)報誤差資料，并利用統(tǒng)計圖形對三峽水庫汛期入庫流量預(yù)報誤差資料進(jìn)行了Laplace和Logistic的分布擬合，結(jié)果發(fā)現(xiàn)Laplace分布更適合描述其分布規(guī)律。然而，單一分布難以描述不同預(yù)見期的徑流預(yù)報誤差的特征多樣性。因此，需要建立徑流預(yù)報誤差的混合分布模型，這是具有極大發(fā)展?jié)摿Φ难芯糠较?。王軍等[11]將混合分布應(yīng)用于淮河流域的非一致性水文頻率分析；紀(jì)昌明等[12]基于高斯混合模型良好的自適應(yīng)性和高維meta-student t Copula函數(shù)的耦合性，建立了徑流預(yù)報誤差的GMM-Copula隨機(jī)模型，并將模型應(yīng)用于雅礱江流域錦屏一級水電站水庫?；旌戏植寄Ｐ妥鳛槎鄠€單一分布模型的凸組合，具有形狀靈活、結(jié)構(gòu)簡單、物理意義明確、模擬性能好等優(yōu)點。為此，本文基于tLocation-Scale分布良好的自適應(yīng)性，建立了徑流預(yù)報誤差的混合tLocation-Scale分布模型，利用k均值聚類法進(jìn)行模型求解，挖掘數(shù)據(jù)隱含結(jié)構(gòu)獲取良好聚類效果，將模型應(yīng)用于雅礱江流域官地水庫，建立了預(yù)見期為6、12、18 h和24 h的區(qū)間徑流預(yù)報誤差混合tLocation-Scale分布模型，并與tLocation-Scale分布、Stable分布和混合t-Stable分布模型進(jìn)行比較；最后，利用馬爾科夫蒙特卡洛方法(MCMC)產(chǎn)生隨機(jī)區(qū)間徑流預(yù)報誤差序列，并與原徑流預(yù)報誤差序列進(jìn)行比較分析，驗證模型的可行性與有效性。

1 混合t Location-Scale分布模型

針對單一分布模型對統(tǒng)計樣本分布特性依賴性強(qiáng)、分布形態(tài)單一[13]，且一旦樣本本身的分布特性超出所采用的分布模型的描述范圍會對預(yù)測結(jié)果的精度產(chǎn)生較大的影響的缺陷，嘗試建立混合分布模型?；旌戏植寄Ｐ蚚14]，即將多個高斯分布、瑞利分布或泊松分布等單一分布模型進(jìn)行線性組合，使其權(quán)重之和為1?；旌戏植寄Ｐ吞峁┝艘环N用簡單結(jié)構(gòu)模擬復(fù)雜密度的有效方法，是一個分析復(fù)雜現(xiàn)象靈活而強(qiáng)有力的工具，廣泛應(yīng)用于聚類分析問題[15]。結(jié)合tLocation-Scale分布良好的自適應(yīng)性，本文構(gòu)建了混合tLocation-Scale分布模型，主要包括模型的建立、求解、評價和應(yīng)用方法四個方面內(nèi)容，模型框架圖見圖1。

圖1 徑流預(yù)報誤差混合t Location-Scale分布模型框架

1.1 模型建立

tLocation-Scale分布是含有位置參數(shù)和尺度參數(shù)的t分布，即若X～tLocation-Scale(μ，σ，ν)，則(X-μ)/σ～t(ν)。其中，μ為位置參數(shù)；σ為尺度參數(shù)；ν為自由度。tLocation-Scale分布的概率密度函數(shù)為

(1)

單一tLocation-Scale分布模型常常用于描述呈正態(tài)分布的小樣本數(shù)據(jù)，當(dāng)樣本數(shù)據(jù)較大或呈偏態(tài)分布時，tLocation-Scale分布模型的擬合效果將會大大降低；不同預(yù)見期的徑流預(yù)報誤差序列，tLocation-Scale分布模型的擬合效果差異較大。徑流預(yù)報誤差單一分布模型只能描述特定分布形態(tài)的徑流預(yù)報誤差，且隨著預(yù)見期的不同，徑流預(yù)報誤差分布形態(tài)各不相同，擬合效果差異較大?；旌蟭Location-Scale分布模型較單一tLocation-Scale分布模型在結(jié)構(gòu)上相對復(fù)雜些，但混合tLocation-Scale分布模型具有靈活、適用性強(qiáng)等優(yōu)點。因此，適宜建立徑流預(yù)報誤差混合tLocation-Scale分布模型。

在滾動預(yù)報方式下，設(shè)xs(j)，t(i)為在作業(yè)預(yù)報時刻s(j)(1≤j≤N)預(yù)報未來時刻t(i)(1≤i≤n)來流所產(chǎn)生的誤差，采用相對誤差的形式表示徑流預(yù)報誤差，建立徑流預(yù)報誤差混合tLocation-Scale分布模型的概率密度函數(shù)。即

(2)

(3)

式中，q′s(j),t(i)、qs(j),t(i)分別為第t(i)時刻的預(yù)報徑流和實測徑流；wk為第k個tLocation-Scale分布權(quán)重；p[xs(j)t(i);μk，σk，νk]為第k個tLocation-Scale分布的概率密度函數(shù)。

1.2 模型求解

模型求解主要是對混合分布的各參數(shù)進(jìn)行估計，包括權(quán)重系數(shù)估計和概率密度函數(shù)估計，權(quán)重系數(shù)的估計主要采用聚類分析方法。聚類分析是數(shù)據(jù)挖掘技術(shù)的組成部分，k均值聚類是最著名的劃分聚類算法，具有挖掘數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)隱含結(jié)構(gòu)，簡便易實現(xiàn)、效率高，計算速度快等優(yōu)點，可以對多種數(shù)據(jù)進(jìn)行聚類。k均值聚類基于距離相似度判定，在給定k的條件下找到使組內(nèi)誤差平方和最小的劃分界，以達(dá)到組內(nèi)相似度高，組間相異度高。k均值聚類的算法過程如下：

(1)從n個樣本中選取k個作為初始聚類中心。

(2)對于剩下的樣本點，根據(jù)其與樣本中心的距離，分別分配給相應(yīng)類中心所在的類別。

(3)計算每個類別新的聚類中心。

(4)不斷重復(fù)步驟(2)、(3)，直到聚類中心或所有樣本點的分類不再改變?yōu)橹埂?/p>

通過k均值聚類法確定k個聚類樣本后，采用tLocation-Scale分布分別擬合k類樣本，進(jìn)而采用極大似然法估計相應(yīng)的參數(shù)[14]，k類樣本中樣本數(shù)占總樣本的比重即為混合分布中的權(quán)重，可求解徑流預(yù)報誤差的混合tLocation-Scale分布模型。

1.3 模型評價

誤差分布模型評價主要進(jìn)行擬合優(yōu)度的統(tǒng)計假設(shè)檢驗，檢驗觀測數(shù)據(jù)與依據(jù)某一假設(shè)或分布模型計算得到的理論數(shù)據(jù)之間的一致性[16]。徑流預(yù)報誤差分布模型的擬合優(yōu)度檢驗常常采用均方根誤差和判定系數(shù)進(jìn)行評價[12，17]。均方根誤差εRMSE是反映真實值與預(yù)報值之間的偏差的函數(shù)。判定系數(shù)ηCOD是表示回歸平方和占總離差平方和的比例[18]，即分布模型對因變量的解釋程度，其值的范圍為0-1。當(dāng)均方根誤差越小，判定系數(shù)越大時，模型性能越好。均方根誤差、判定系數(shù)的計算公式分別為

(4)

(5)

1.4 模型應(yīng)用方法

基于建立的混合tLocation-Scale分布模型，采用馬爾科夫蒙特卡洛(Markov Chain Monte Carlo，MCMC)方法產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)，進(jìn)而模擬一系列的徑流預(yù)報誤差。其基本思路是首先建立一個馬爾科夫鏈，使目標(biāo)分布為其平穩(wěn)分布，得到一系列的樣本作為來自目標(biāo)分布的樣本，馬爾科夫鏈運行比較穩(wěn)定時的目標(biāo)分布與平穩(wěn)分布比較接近。MCMC方法的抽樣方法[19]主要有Metropolis Hasting(MH)抽樣法和吉布斯(Gibbs)抽樣法。本文采用MH抽樣法[20]，主要步驟為：①輸入任意選定的馬爾科夫鏈狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣Q，平穩(wěn)分布π(x)，需要的樣本個數(shù)n。②從任意簡單概率分布采樣得到初始狀態(tài)值x0，此時t=0。③從條件概率分布Q(x|xt)中采樣得到x*。④計算MH比率R(xt，x*)=π(x*)Q(x*，xt)/π(xt)Q(xt，x*)，進(jìn)而計算接受概率α(xt，x*)=min{R(xt，x*)，1}。⑤產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)u～U(0，1)，抽取xt+1=x*，u≤α(xt，x*)；xt，u>α(xt，x*)。⑥令t=t+1；返回步驟③。

產(chǎn)生徑流預(yù)報誤差隨機(jī)數(shù)后，模擬誤差序列為X{xs(j)t(i)}，對徑流預(yù)報進(jìn)行修正，得到修正后的徑流預(yù)報序列Q″{q″s(j)t(i)}，其修正公式為

q″s(j)，t(i)=q′s(j)t(i)/(1+xs(j)t(i))

(6)

2 實例應(yīng)用

本文選取官地水庫2013年1月～2014年6月的區(qū)間徑流預(yù)報誤差分析官地水庫的徑流預(yù)報誤差特性，分別建立預(yù)見期為6、12、18 h和24 h的官地水庫區(qū)間徑流預(yù)報誤差分布模型。官地水電站壩址位于四川省涼山彝族自治州西昌市、鹽源縣的交界處，是錦屏一級水電站的又一補(bǔ)償電站，是雅礱江水電基地的“錦官電源組”5個梯級電站之一，主要向川渝和華東供電[21-22]。官地水庫的位置見圖2。官地水庫的入庫徑流主要包括2部分：一，來自上游錦屏水庫的出庫流量；二，上游支流九龍河的區(qū)間徑流。而不確定性主要是由于上游支流九龍河的影響；因此，研究官地水庫的區(qū)間徑流預(yù)報誤差特性能有效提高“錦官電源組”梯級水電站的穩(wěn)定性。

圖2 官地水庫位置

2.1 建立不同預(yù)見期徑流預(yù)報誤差混合t Location-Scale分布模型

針對官地水庫不同預(yù)見期的區(qū)間徑流預(yù)報誤差，應(yīng)用式(3)建立混合tLocation-Scale分布模型，并將tLocation-Scale分布、Stable分布、混合t-Stable分布作為比較模型。穩(wěn)定(Stable)分布是一類無窮可分分布，其特征函數(shù)一般由4個參數(shù)唯一確定[23]?；旌蟭-Stable分布模型是tLocation-Scale分布和Stable分布線性組合的混合分布，其權(quán)重由熵權(quán)法確定。各分布模型的統(tǒng)計參數(shù)估計值見表1。

表1 區(qū)間徑流預(yù)報誤差分布參數(shù)估計值

2.2 徑流預(yù)報誤差混合t Location-Scale分布模型適用性檢驗

應(yīng)用式(4)、(5)分別計算不同預(yù)見期徑流預(yù)報誤差各分布模型的均方根誤差εRMSE、判定系數(shù)ηCOD。不同預(yù)見期區(qū)間徑流預(yù)報誤差擬合曲線見圖3。

圖3 區(qū)間徑流預(yù)報誤差擬合曲線

由圖3可知，不同的預(yù)見期，徑流預(yù)報誤差序列均具有厚尾的特征，正誤差厚尾特征更加明顯。tLocation-Scale分布、Stable分布、混合t-Stable分布和混合tLocation-Scale分布對區(qū)間徑流預(yù)報誤差的峰部、尾部特征描述效果均較好。但仔細(xì)觀察發(fā)現(xiàn)，對于不同的預(yù)見期，混合tLocation-Scale分布能更好地描述徑流預(yù)報誤差的尾部特征，特別是正誤差的尾部特征與誤差分布直方圖的擬合效果較好。

不同預(yù)見期tLocation-Scale分布、Stable分布、混合t-Stable分布和混合tLocation-Scale分布的均方根誤差與判定系數(shù)擬合指標(biāo)值見表2。

表2 區(qū)間徑流預(yù)報誤差擬合指標(biāo)值

由表2可知，對于不同的預(yù)見期，官地水庫區(qū)間徑流預(yù)報誤差tLocation-Scale分布、Stable分布、混合t-Stable分布和混合tLocation-Scale分布模型的判定系數(shù)均在0.99以上，且混合tLocation-Scale分布模型的判定系數(shù)均明顯高于單一分布模型、混合t-Stable分布模型；同時，比較不同預(yù)見期的均方根誤差，發(fā)現(xiàn)對于預(yù)見期為6 h、12 h和18 h的區(qū)間徑流預(yù)報誤差分布模型，混合tLocation-Scale分布較tLocation-Scale分布、Stable分布、混合t-Stable分布的均方根誤差小；而對于預(yù)見期為24h的區(qū)間徑流預(yù)報誤差分布模型，均方根誤差最小的是Stable分布模型，均方根誤差為0.016 9，體現(xiàn)了單一分布模型隨著預(yù)見期的不同擬合效果差異較大的特點，而混合tLocation-Scale分布模型的均方根誤差為0.019 6，分析原因可能是預(yù)見期為24 h的區(qū)間徑流預(yù)報誤差不確定性較強(qiáng)導(dǎo)致的。結(jié)合不同預(yù)見期各分布模型的判定系數(shù)與均方根誤差，不難發(fā)現(xiàn)混合tLocation-Scale分布模型描述徑流預(yù)報誤差的效果較單一tLocation-Scale分布、Stable分布和混合t-Stable分布模型好。

對比不同預(yù)見期的官地水庫區(qū)間徑流預(yù)報誤差混合tLocation-Scale分布曲線見圖4由此發(fā)現(xiàn)不同預(yù)見期區(qū)間徑流預(yù)報誤差混合tLocation-Scale分布曲線均呈現(xiàn)出“高瘦型”，正誤差厚尾特征明顯的特征，且隨著預(yù)見期的增加，區(qū)間徑流預(yù)報誤差混合tLocation-Scale分布曲線的形狀雖整體上變化不大，但逐漸由“高瘦型”變?yōu)椤鞍中汀保€的最大概率密度值依次為0.013 3、0.012 8、0.012 6和0.012 4；隨著預(yù)見期的增加，零值附近的概率逐漸減小。這與隨著預(yù)見期的增加，不確定性增大的規(guī)律是一致的。

圖4 不同預(yù)見期區(qū)間徑流預(yù)報誤差混合t Location-Scale分布曲線

2.3 徑流預(yù)報誤差混合t Location-Scale分布模型應(yīng)用

基于建立的徑流預(yù)報誤差混合tLocation-Scale分布模型，利用MCMC方法模擬3 000組區(qū)間徑流預(yù)報誤差。計算模擬區(qū)間徑流預(yù)報誤差序列與實際區(qū)間徑流預(yù)報誤差序列的均值、變差系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)等特征值，結(jié)果見表3。

表3 模擬誤差與實際誤差特征值

由表3可知，對于不同的預(yù)見期，模擬誤差序列與實際誤差序列的集中趨勢相差不大，均值相對偏差絕對值不超過4%，模擬精度較高；模擬誤差序列與實際誤差序列的離散程度差異不大，變差系數(shù)的相對偏差絕對值不超過13%；模擬誤差序列與實際誤差序列的偏態(tài)系數(shù)均大于零，均為正偏，且相對偏差絕對值不超過29%。隨著預(yù)見期的增加，模擬誤差序列與實際誤差序列的均值逐漸減小，變差系數(shù)逐漸增大，變化規(guī)律一致。結(jié)合徑流預(yù)報過程，應(yīng)用式(6)對預(yù)報徑流進(jìn)行修正，便可得到更接近實際來水過程的徑流預(yù)報過程。

3 結(jié) 論

徑流預(yù)報是水庫制訂調(diào)度方案和實施優(yōu)化調(diào)度的重要理論依據(jù)，為提高徑流預(yù)報的精度，減輕徑流預(yù)報不確定性的影響，本文建立了描述徑流預(yù)報誤差統(tǒng)計多樣性的混合tLocation-Scale分布模型，并將模型應(yīng)用于官地水庫的區(qū)間徑流預(yù)報，主要得出以下結(jié)論：①對于不同預(yù)見期的官地水庫區(qū)間徑流預(yù)報誤差，混合tLocation-Scale分布模型較單一tLocation-Scale分布、Stable分布和混合t-Stable分布模型描述徑流預(yù)報誤差的峰部、尾部特征的效果均較好，擬合精度較高；②利用馬爾科夫蒙特卡洛(MCMC)方法產(chǎn)生的隨機(jī)區(qū)間徑流預(yù)報誤差序列與實際區(qū)間徑流預(yù)報誤差序列各特征值相差不大，且變化規(guī)律一致，說明了模型的可行性與有效性。通過疊加模擬的徑流預(yù)報誤差序列與徑流預(yù)報，可進(jìn)一步得到比預(yù)報來水更接近實際來水的徑流過程，為水庫水電站的運行管理提供更加豐富的參考信息。本文提出的混合tLocation-Scale分布模型較單一分布模型能更好地描述徑流預(yù)報誤差，還可根據(jù)不同分布模型的特性提出不同的混合分布模型描述徑流預(yù)報誤差的統(tǒng)計特性；另外，還可對水庫不同時期(汛期、枯水期和過渡期)不同預(yù)見期的徑流預(yù)報誤差建立不同的混合分布模型，為水庫的徑流預(yù)報和運行管理提供理論依據(jù)。