染色問(wèn)題新解

徐永毅

【摘 要】 染色問(wèn)題是高考和競(jìng)賽中的熱點(diǎn)問(wèn)題，不少同學(xué)望而生畏，束手無(wú)策。筆者將結(jié)合實(shí)例，幫大家巧解染色問(wèn)題。染色問(wèn)題的解題思路對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)非常重要，若能嫻熟掌握，類(lèi)似的數(shù)學(xué)問(wèn)題就能舉一反三，達(dá)到觸類(lèi)旁通的目的。

【關(guān)鍵詞】 數(shù)學(xué);染色問(wèn)題;舉一反三

求解染色問(wèn)題，基本思路如下：

第一，將各區(qū)域編號(hào);

第二，簡(jiǎn)化圖形，將相鄰部分用短線(xiàn)連接;

第三，將不相鄰的兩個(gè)編號(hào)寫(xiě)在一起，用顏色種類(lèi)的多少分析、分類(lèi)。

“實(shí)踐是檢驗(yàn)真理的唯一標(biāo)準(zhǔn)。”下面提供兩道典型例題，對(duì)以上三個(gè)解題步驟加以具體分析，化繁為簡(jiǎn)，輕松解決染色問(wèn)題。

例1：某城市中心廣場(chǎng)建造一個(gè)花圃，花圃分為6部分（如圖1所示）。現(xiàn)在要栽種四種不同顏色的花，每部分栽種一種且相鄰部分不能栽種同種顏色的花，不同的栽種方法有多少種？

分析：①將各區(qū)域編號(hào)，如圖2所示;

②化簡(jiǎn)圖形，如圖3所示;

③不相鄰區(qū)域的編號(hào)組有（2，4）、（2，5）、（3，5）、（3，6）、（4，6），由于用4種顏色的花栽6個(gè)區(qū)域，所以要有兩個(gè)不相鄰組（6-4=2）栽同色花，因此要將上述5組重新分組組合（含相同編號(hào)的不能分到同一組），即[（2，4），（3，5）]、[（2，4），（3，6）]、[（2，5），（3，6）]、[（2，5），（4，6）]、[（3，5），（4，6）]5組，現(xiàn)從這5組中任選一組，共有種選法，不妨設(shè)取出的是[（2，4），（3，5）]，此時(shí)將6個(gè)區(qū)域分成（2，4）、（3，5）、（1）、（6）四個(gè)區(qū)域，用4種顏色的花栽這四個(gè)區(qū)域有種可能，因此，此題總共有種不同的栽種方法。

例2：如圖4所示，將一個(gè)四棱錐每一個(gè)頂點(diǎn)染色，并使同一條棱上的兩端點(diǎn)異色，并只有5種顏色可供使用，則不同的染色方法總數(shù)有多少種？

分析：區(qū)域編號(hào)、簡(jiǎn)化圖形分別如圖5、圖6所示。

①當(dāng)5種顏色全部使用時(shí)，有種染法。

②當(dāng)用4種顏色染色時(shí)，只能有一個(gè)不相鄰組（5-4=1）染同色。而不相鄰組有（2，4）、（3，5）兩組，從兩組中選一組，有種方法，不妨設(shè)取出的是（2，4），此時(shí)將5個(gè)區(qū)域分成（1）、（3）、（5）、（2，4）四個(gè)區(qū)域，從5種顏色中取出4種顏色，有種方法，用這4種顏色染這四個(gè)區(qū)域，有種方法，因此，總共有種方法。

③當(dāng)用3種顏色染色時(shí)，必有兩個(gè)不相鄰組（5-3=2）染同色。而不相鄰組有（2，4）、（3，5）兩組，從兩組中任選兩組，有種方法，即取出（2，4）、（3，5），此時(shí)將5個(gè)區(qū)域分成（2，4）、（3，5）、（1）三個(gè)區(qū)域，從5種顏色中取出3種顏色，有種方法，用這3種顏色染這三個(gè)區(qū)域，有種方法，因此，總共有種方法。

由①②③知，共有++=420（種）染法。

通過(guò)對(duì)以上兩道例題的解析，相信大家對(duì)解決染色問(wèn)題的三個(gè)基本步驟有了更深的了解。其實(shí)表面上看很復(fù)雜、煩瑣的問(wèn)題，往往有“跡”可尋，只要認(rèn)真思考，掌握染色問(wèn)題的解題思路，這是解答染色問(wèn)題的關(guān)鍵。

通過(guò)以上兩例的分析，相信大家已經(jīng)掌握了“新”解染色問(wèn)題的方法，下面提供兩道習(xí)題操練一下吧！

練習(xí)：

（1）如圖7所示，用五種不同顏色分別給A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色，相鄰區(qū)域必須涂不同顏色，若允許同一種顏色多次使用，則不同的涂色方法有幾種？（答案：180種）

（2）如圖8所示，一個(gè)地區(qū)分為5個(gè)行政區(qū)域，現(xiàn)給地圖著色，要求相鄰區(qū)域不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的著色方法共有多少種？（答案：72種）

怎么樣，做起來(lái)是不是有種茅塞頓開(kāi)的感覺(jué)呢？其實(shí)還是那句古訓(xùn)“世上無(wú)難事，只怕有心人”。學(xué)習(xí)要善于總結(jié)和積累，題做得多了，自然熟能生巧，就能悟出“紙上得來(lái)終覺(jué)淺，絕知此事要躬行”的道理。

筆者為大家提供的染色問(wèn)題“新”解法，我們親切地稱(chēng)它為“染色三部曲”，該解法具有很強(qiáng)的普遍性，大多數(shù)染色問(wèn)題都可利用它來(lái)解決。通過(guò)以上分析解答，相信大家能掌握一些解決染色問(wèn)題的技巧，通過(guò)刷題提高分析推理能力，順暢解決染色問(wèn)題。