基于最速下降的矢量光刻模型掩膜優(yōu)化

(廣東工業(yè)大學(xué) 廣東 廣州 510080)

引言

傳統(tǒng)的光學(xué)鄰近校正技術(shù)已經(jīng)難以滿足生產(chǎn)的需要[3]，而作為最優(yōu)化算法的反向光刻技術(shù)，在理論上可以找到最佳的掩膜去補(bǔ)償圖案的畸變[4]，因此，運(yùn)用分辨率增強(qiáng)技術(shù)進(jìn)一步提高光刻系統(tǒng)的圖像精確度一直是該領(lǐng)域研究有效手段。最速梯度下降是是非線性最優(yōu)化常見的方法，它的主要思想是使用目標(biāo)函數(shù)和約束條件定義或推導(dǎo)出代價(jià)函數(shù)，通過計(jì)算代價(jià)函數(shù)的梯度和選擇合適的更新步長(zhǎng)來確定最優(yōu)化下降方向和大小。

一、光刻系統(tǒng)的矢量模型

光刻投影成像系統(tǒng)主要分為兩個(gè)部分：投影光學(xué)效果(耦合成像)和抗蝕效果。對(duì)于照明光源波長(zhǎng)為193nm且NA大于0.4的光刻系統(tǒng)，硅晶圓表面的成像過程必須考慮光波通過光學(xué)投影儀器元件時(shí)的偏振狀態(tài)，如圖1所示

圖1 矢量光刻模型系統(tǒng)

(1)

其中，J(αs,βs)是位于點(diǎn)(αs,βs)處光源的強(qiáng)度，且Jss=∑(αs ,βs )J(αs,βs)是所有對(duì)成像做出貢獻(xiàn)的點(diǎn)光源強(qiáng)度之和。且下式在投影光刻中通常被認(rèn)為是頻域等效低通濾波器[5]：

(2)

光刻膠抗蝕作用同樣使用sigmoid激活函數(shù)來描述[6]：

(3)

其中，a描述了激活函數(shù)的陡峭程度，tr表示激活的閾值。

二、反向光刻技術(shù)

一般來說，反向光刻技術(shù)ILT中的掩模合成包括兩步，第一步是對(duì)光刻系統(tǒng)成像形成過程的數(shù)學(xué)建模，第二步是迭代掩膜變量，尋找適當(dāng)設(shè)計(jì)的成本函數(shù)的最小值，以提高輸出圖像的保真度。因此，ILT的性能主要取決于成像地層模型的精度和優(yōu)化框架中反演成像計(jì)算的效率。光刻系統(tǒng)與NA小于0.4的標(biāo)量成像模型提供足夠的準(zhǔn)確性。從交叉領(lǐng)域來說反向光刻算法是基于非線性最優(yōu)化算法的一種凸優(yōu)化理論模型，自誕生以來就以其強(qiáng)大的尋優(yōu)能力著稱，然而由于計(jì)算機(jī)性能的限制，以前并沒有被廣泛運(yùn)用。而后，隨著計(jì)算機(jī)計(jì)算能力的大幅提高，反向光刻算法ILT備受關(guān)注。

三、最速梯度下降

最速梯度下降法的流程為：

第一步、定義代價(jià)函數(shù)F(x);

第二步、計(jì)算代價(jià)函數(shù)在當(dāng)前點(diǎn)的梯度dxk，其中x的上標(biāo)k代表變量在第k次對(duì)應(yīng)的信息;

第三步、算法更新規(guī)則：xk+1=xk-S?dxk,其中S是更新步長(zhǎng)，取值范圍通常在0.1至0.3;

第四步、計(jì)算xk+1處的代價(jià)函數(shù)，判斷是否符合條件，若不符合則不斷重復(fù)步驟第二步和第三步直到滿足條件為止；

其演變過程如圖4.1所示，若首次在x1點(diǎn)處計(jì)算出的梯度是dx1，選擇合適的步長(zhǎng)更新后變量假設(shè)位于點(diǎn)x2處，且x2處的代價(jià)函數(shù)F(x2)及梯度的絕對(duì)值|dx2|均小于在x1處的代價(jià)函數(shù)F(x1)和梯度的絕對(duì)值|dx1|。同樣的，變量可計(jì)算梯度并逐漸更新至x3、x4、x5,當(dāng)dxk處的值足夠小時(shí)(即梯度減小到接近零時(shí))，在理論上算法迭帶結(jié)束。但是，這樣只能確定在有限的區(qū)間內(nèi)代價(jià)函數(shù)達(dá)到最小值，即局部最小值。另一方面，若初次更新的位置處于x5且更新步長(zhǎng)S過大，變量更新則會(huì)由x5至x4,又因?yàn)閨dx4|>|dx5|，變量會(huì)逐漸由x4更新至x3、x2、x1，即優(yōu)化并沒有收斂反而發(fā)散。

四、實(shí)驗(yàn)結(jié)果

圖2 基于SGD逆優(yōu)化結(jié)果

如圖3所示，我們給出了基于分層模型的SGD逆優(yōu)化結(jié)果。其中，從左到右分別是照明光源、掩膜和投影物像，從上到下的兩組組實(shí)驗(yàn)是未優(yōu)化實(shí)驗(yàn)結(jié)果、使用SGD優(yōu)化的結(jié)果。值得注意的是，這兩組實(shí)驗(yàn)均使用相同的照明系統(tǒng)，用于逆優(yōu)化的初始化掩膜相同，且在本實(shí)驗(yàn)中我們僅優(yōu)化了主特征區(qū)域。觀察后兩組實(shí)驗(yàn)我們可以發(fā)現(xiàn)使用SGD算法的優(yōu)化結(jié)果還是比較明顯的。

五、結(jié)論

實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，SGD算法有明顯的的優(yōu)化效果。不過實(shí)驗(yàn)中根據(jù)該算法的代價(jià)函數(shù)總體趨勢(shì)是一個(gè)下降的過程，局部下降曲線不平滑的現(xiàn)象，SGD也存在步長(zhǎng)時(shí)小優(yōu)化速度慢，步長(zhǎng)大容易發(fā)散的缺點(diǎn)，因此想對(duì)優(yōu)化過程進(jìn)一步完善，接下來要從自適應(yīng)調(diào)節(jié)步長(zhǎng)以及擴(kuò)大每次迭代步長(zhǎng)入手。