基于云平臺的Lorenz混沌數(shù)值模擬實驗

黃六霞,程敏熙,林奇川

(華南師范大學 物理與電信工程學院，廣東 廣州 510006)

“計算機數(shù)值模擬實驗”是高校近代物理實驗課程的重要模塊[1]. 實驗要求學生在實驗室使用安裝有C語言的運行程序、配置有相應的運行環(huán)境的計算機進行單機實驗. 鑒于C語言語法較復雜、實驗環(huán)境不易維護、實驗場所固定等問題，本文將云平臺與教學需要相結合，采用語法簡明、易于上手的Python語言實現(xiàn)數(shù)值模擬，在平臺上設置交互(輸入?yún)⒘?、輸出圖像)，實現(xiàn)線上修改、編輯和運行代碼的功能，用任意移動終端通過瀏覽器就能訪問云平臺，學習數(shù)值模擬和繪制實驗圖像，不受時空和設備的局限，增強學習的自主性，減少人力物力的耗費.

云計算平臺提供了安全、快速、便捷、數(shù)據(jù)存儲和網(wǎng)絡計算的服務模式，用戶無需硬件設備投入和技術管理人員，無需購買單機版軟件，只需按月支付一定的服務費，即可通過互聯(lián)網(wǎng)以按需、易擴展的方式獲得系統(tǒng)平臺或程序軟件等資源，并能通過云計算平臺開發(fā)實驗數(shù)據(jù)處理、數(shù)值模擬計算、資源存儲等功能[2].

本文以Lorenz混沌模型為例，在云平臺上實現(xiàn)模擬計算和繪制圖形，觀察混沌狀態(tài).

1 實驗原理及實現(xiàn)條件

1.1 Python語言及Bokeh作圖庫

Python語言是一種計算機程序設計語言，作為可解釋性語言，具有易學、易讀、易維護的特點[3]，語法簡潔高效，自帶豐富的第3方庫和各種模塊，包含解決各種問題的類庫，在數(shù)據(jù)分析以及數(shù)據(jù)可視化上有突出表現(xiàn)，只需要很少的代碼量就可以實現(xiàn)強大的功能.

Bokeh是一款功能強大的數(shù)據(jù)可視化庫，支持繪制散點圖、折線圖、柱狀圖等二維圖形，支持現(xiàn)代化Web瀏覽器，可以快速創(chuàng)建交互式的繪圖，提供優(yōu)雅簡潔的圖形風格. 本文調用Bokeh庫實現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化，展示Lorenz混沌狀態(tài).

1.2 Lorenz混沌模型簡介

1)Lorenz混沌吸引子

以混沌吸引子的x-z“狀態(tài)空間(相空間)”圖像為例，圖像形似蝴蝶的翅膀，以2個環(huán)形嵌套，每個環(huán)形之外有無窮多層，左右環(huán)形之間是連通的回線，所有點的軌跡都不會離開曲面而是螺旋地趨近于中心，稱之為“奇異吸引子”. 洛倫茲方程解的代表點表現(xiàn)出的狀態(tài)為點由外向內繞若干圈轉到中心附近后, 將“隨機”地跳到另一環(huán)套上繼續(xù)向內繞， 再突然跳回原來的環(huán)套. 相軌道雖然不會冒出環(huán)套的邊界，卻不會自相重復，顯示出無序性. 總之，奇異吸引子是系統(tǒng)總體穩(wěn)定性與局部不穩(wěn)定性共同作用的產(chǎn)物[4].

2) 蝴蝶效應(初值敏感性)

氣象學家洛倫茲計算氣象模型時，在試圖探究方程解隨時間變化的長期行為過程中，偶然間發(fā)現(xiàn)了如果初值相差微小，得到的結果只有一小段與之前重復，隨后會發(fā)生越來越大的偏差，這不是計算機的故障，是方程對初值高度敏感的表現(xiàn). 隨后在一場報告中稱這種現(xiàn)象為“蝴蝶效應”，意思是：在南半球巴西的1只蝴蝶煽動翅膀，一段時間后有可能在美國德克薩斯引發(fā)一場龍卷風. 這印證了盡管氣象變化多端，但遵循經(jīng)典力學規(guī)律，也就是說只要設定必要的初始數(shù)據(jù)，便可以通過計算揭示出氣象規(guī)律，讓天氣或者氣象具有可預報性[5].

3)倍周期運動

在Lorenz混沌系統(tǒng)中，盡管方程反映的是非線性的混沌系統(tǒng)，但是實驗表明，在某些條件下，會得到周期性的相空間軌跡.

1.3 Lorenz吸引子的模擬計算

動力學理論用確定的微分方程或離散變量的映射來建立模型，在一定條件下會出現(xiàn)隨機性狀態(tài). 當系統(tǒng)處于既不是完全確定的，又不是完全隨機的形態(tài)，表觀的隨機性中又蘊含著規(guī)律和有序時[4],稱之為“混沌態(tài)”(Chaos)，混沌態(tài)有非線性、初值敏感性、奇怪吸引子、分岔等現(xiàn)象. Lorenz混沌系統(tǒng)是美國氣象學家洛倫茲(Lorenz)提出的第1個表現(xiàn)奇異吸引子的動力學系統(tǒng). 他定義了三維的常微分方程組，微分方程組描述為

其中,r(t)=r0+r1cos (ωt)，其他參量取值為：a=10.0,b=8/3,ω=7.62. 采用四階龍格-庫塔(Runge-Kutta)法求解方程組即可.

xinc1=f(x,y,z,t)dt

xn+1=xn+(xinc1+2*xinc2+2*xinc3+xinc4)/6,

其中,xn為第n個迭代點，dt為時間步長，固定步長值為0.001，根據(jù)上式，從初始值x(t=0)=x0,y(t=0)=y0,z(t=0)=z0開始,可以計算各個時間的x,y和z的值.

2 程序編程與數(shù)值模擬

2.1 程序編碼展示

1)編碼計算微分方程的部分代碼如下：

def fun X (x, y, z):

f=(a*y - a*x)*dt

return f

def fun Y(x, y, z, r):

f=(r*x-y-x*z)*dt

return f

f=(x*y-b*z)*dt

return f

x, y, z, T = [],[],[],[]

for i in range(DisplayAfter):

t=dt*i + t0

r=r0 + r1*(math. cos(w*t))

xinc1=funX(x0,y0,z0)

yinc1=funY(x0,y0,z0,r)

在語文教學活動中，學生的閱讀能力以及寫作能力的培養(yǎng)一直是教師所頭疼的問題。當今學生在閱讀語文經(jīng)典文章時，無法找到作者的主體情感，從而與作者產(chǎn)生不了思想共鳴，更了解不到其中的內涵。除此之外，學生在寫作時總是無從下筆。教師利用讀寫結合的教學方式幫助學生在閱讀時積累詞句，逐漸轉化為自己的語言，巧妙地運用到寫作當中去，以此提高學生的寫作興趣，儲備知識，為學生綜合性發(fā)展奠定了堅實基礎。

zinc1=funZ(x0,y0,z0)

xinc2=funX(x0+xinc1/2,y0+yinc1/2,z0+zinc1/2)

yinc2=funY(x0+xinc1/2,y0+yinc1/2,z0+zinc1/2,r)

zinc2=funZ(x0+ xinc1/2,y0+yinc1/2,z0+zinc1/2)

xinc3=funX(x0+xinc2/2,y0+yinc2/2,z0+zinc2/2)

yinc3=funY(x0+xinc2/2,y0+yinc2/2,z0+zinc2/2,r)

zinc3=funZ(x0+ xinc2/2,y0+yinc2/2,z0+zinc2/2)

xinc4=funX(x0+xinc3,y0+yinc3,z0+zinc3)

yinc4=funY(x0+xinc3,y0+yinc3,z0+zinc3,r)

zinc4=funZ(x0+xinc3,y0+yinc3,z0+zinc3)

x1=x0+(xinc1+2*xinc2+2*xinc3+xinc4)/6

y1=y0+(yinc1+2*yinc2+2*yinc3+yinc4)/6

z1=z0+(zinc1+2*zinc2+2*zinc3+zinc4)/6

此部分實現(xiàn)了洛倫茲微分方程的求解，即求解出x，y，z的值.

2) 實現(xiàn)數(shù)據(jù)可視化的部分代碼如下：

p=figure(title="x-t圖(初值x=y=1.z=1.001)",x_axis_label=′x′,y_axis_label=′y′)

p.line(x, z, line_width=1)

show(p)

此部分代碼調用Bokeh方法，將之前計算的結果轉化成為圖像，實現(xiàn)平臺上數(shù)據(jù)的可視化.

2.2 Lorenz混沌吸引子

學生瀏覽平臺界面，在界面分別輸入x=1,y=1,z=1,r0=26.5,r1=0等各項參量，點擊提交獲取z-x圖，即可獲得Lorenz混沌吸引子圖像(圖1).

圖1 Lorenz系統(tǒng)的混沌吸引子

2.3 混沌系統(tǒng)對初值的敏感性

平臺上設定不同初值得到不同圖像，即在輸入框中輸入初值時改變z的初值(從1改為1.001，其他條件不變)，分別提交獲取不同的圖像(x-t圖、y-x圖、z-y圖、z-x圖)，如圖2所示.

(a)x-t圖(x=y=z=1)

(b)x-t圖(x=y=1,z=1.001)

(c)y-x圖(x=y=z=1)

(d)y-x圖(x=y=1,z=1.001)

(e)z-y圖(x=y=z=1)

(f)z-y圖(x=y=1,z=1.001)

(g)z-x圖(x=y=z=1)

(i)z-x圖(x=y=1,z=1.001)

2.4 混沌系統(tǒng)的倍周期運動

Lorenz混沌系統(tǒng)的倍周期運動是系統(tǒng)在一定條件下處于的穩(wěn)定狀態(tài)，迭代一定次數(shù)之后相軌道成為穩(wěn)定的1條軌道或者幾條軌道. 當輸入的參量r1值從0增大至5，r0=26.5時，系統(tǒng)在經(jīng)過較長時間(DisplayAfter=50 000)迭代后的狀態(tài)會形成穩(wěn)定的單周期,也可以獲得穩(wěn)態(tài)的雙周期(r0=27.5)、4周期(r0=27.9)、64周期(r0=27.987). 在平臺上輸入相應參量并點擊“倍周期”的按鈕得到圖3，即可驗證混沌系統(tǒng)的倍周期運動.

此外，云平臺的交互界面中設置了“源代碼”按鈕，實現(xiàn)線上獲取代碼資源的功能，以供學習者參考.

(a)單周期

(b)雙周期

(c)4周期

(d)64周期

3 云平臺進行數(shù)值模擬實驗的優(yōu)勢

云平臺實現(xiàn)了線上交互、線上編程2大功能(如圖4所示). “交互界面”可以直接觀察混沌現(xiàn)象，“線上編程”提供了編程實現(xiàn)數(shù)值模擬的線上環(huán)境，用戶可以通過平臺在線上編輯、修改、運行代碼，達到數(shù)值模擬實驗的目的和效果.

圖4 線上編程界面

如表1所示，與傳統(tǒng)單機編程實現(xiàn)數(shù)值模擬相比，在教學中利用云平臺進行數(shù)值模擬實驗具有較強的優(yōu)越性. 在實現(xiàn)條件上，本實驗系統(tǒng)在云平臺只需每月支付一定的云服務費，無需單獨配置運行環(huán)境，減少教師對機房設備維護和配置的時間；不局限于在計算機上操作、不受時間地域的限制，用戶聯(lián)網(wǎng)訪問平臺即能達到數(shù)值模擬實驗的目的，完成實驗要求，擴寬了實驗的地域時間范圍；用戶通過線上操作，方便保存和分享實驗結果.

表1 單機實現(xiàn)數(shù)值模擬與云平臺的差異

4 結束語

運用Python語言編程實現(xiàn)在云平臺上的混沌現(xiàn)象的數(shù)值模擬，程序簡單、容易理解，有助于調動學習者學習的積極性. 區(qū)別于在單機上運行C語言的數(shù)值模擬方法，云平臺上的操作更簡單，維護更方便. 從單機操作轉變成為線上交互，把實驗室搬到移動終端，實現(xiàn)基于云平臺的數(shù)值模擬計算實驗的移動學習.