把習題變成問題，讓解題走向研究

摘要：人教版初中數(shù)學八年級下冊《一次函數(shù)》一章中沒有安排系統(tǒng)研究絕對值函數(shù)的內容，卻出現(xiàn)了有關絕對值函數(shù)的習題。于是，精心設計“一題一課”，從教材中的一道習題出發(fā)，引出研究絕對值函數(shù)圖像和性質的問題（課題），組織學生深度探究以及討論。相關教學思考有：理解教學內容，從低起點變式生長，放大功能;把握研究路徑，基于已有經(jīng)驗組織糾錯和優(yōu)化;精心設計板書，伴隨學習過程漸次生成和調整。

關鍵詞：習題講評問題探究《絕對值函數(shù)》結構化板書

習題講評是數(shù)學教學的常規(guī)課型。為了達到“思深悟透”的效果，超越習題解答、知識技能鞏固的追求，習題講評不能采取“題海戰(zhàn)術”，而宜做到“一題一課”，把一些值得研究的習題變成問題甚至主題，組織學生深度探究以及討論，從而掌握解決一類習題的通性通法。

筆者最近在江蘇省海安市南莫中學（一所農村學校）參加教研活動，注意到人教版初中數(shù)學八年級下冊《一次函數(shù)》一章中沒有安排系統(tǒng)研究絕對值函數(shù)的內容，卻出現(xiàn)了有關絕對值函數(shù)的習題。于是，精心設計“一題一課”，從教材中的一道習題出發(fā)，引出研究絕對值函數(shù)圖像和性質的問題（課題），組織學生深度探究以及討論。雖然課堂上表現(xiàn)得“到處碰壁”“錯漏連連”，但是在課后被一些教研專家、名師同行描述為“是一節(jié)真實的探究課”。現(xiàn)將該課的教學設計與思考整理出來，以供課例研討或借鑒。

一、教學設計

本課不使用課件、投影，也不使用“學案”，只需要傳統(tǒng)的黑板。課前，在黑板的主板區(qū)板書

（如下頁圖1所示，旁邊留有學生展示區(qū)）。另外，為了節(jié)約學生課上作函數(shù)圖像時畫平面直角坐標系的時間，讓學生提前備好網(wǎng)格紙。

（一）從習題出發(fā)，引出課題

習題數(shù)軸上的點A對應著數(shù)-3，點B對應著數(shù)x。

（1）當x=2時，AB=;

（2）當AB=3時，求x的值。

課始，教師先讓學生直接回答這道習題，然后預設過渡語：“同學們看到黑板上寫著‘函數(shù)兩個字，但這道習題卻是有關七年級的‘有理數(shù)加減法的，是老師弄錯了嗎？”在學生疑惑之際，教師給出變式。

變式數(shù)軸上的點A對應著數(shù)-3，點B對應著數(shù)x。記AB=y，則y與x之間具有函數(shù)關系嗎？如果有，寫出y與x的函數(shù)解析式;如果沒有，說明理由。

在學生結合函數(shù)的概念確認y與x之間存在某種函數(shù)關系之后，教師改編呈現(xiàn)習題的原有兩問：

（1）當自變量x=2時，函數(shù)值y=;

（2）當函數(shù)值y=3時，求x的值。

學生會發(fā)現(xiàn)這兩問與上面的習題是“一樣的”。教師順勢指出：“函數(shù)只是換了一種工具或角度研究以前熟悉的一些問題。如果只是研究前面的變式問題，則沒有什么趣味，因為函數(shù)具有更豐富的內涵和更強大的功能。比如，函數(shù)y=|x+3|并不是我們熟悉的一次函數(shù)，該給它取個什么名稱呢？”學生容易想到“絕對值函數(shù)”。教師讓學生上臺補充黑板上的標題，變“函數(shù)”為“絕對值函數(shù)”。接著，教師提問：“從哪些方面研究絕對值函數(shù)呢？”學生由之前學習函數(shù)的經(jīng)驗，可以說出“定義、圖像、性質、應用”。教師順勢把部分關鍵詞板書在黑板的主板區(qū)（如圖2所示）——由于不太好定義這類函數(shù)，就先寫出“研究對象”。

（二）新知探究

問題以y=|x+3|為例，研究這類函數(shù)的圖像和性質。

教師讓學生畫圖像，在巡視過程中，找出一些不正確的圖像，讓學生畫到黑板上，請其他學生評析、訂正和優(yōu)化。然后，教師安排畫圖成功的學生分享他們的畫圖經(jīng)驗，并對那些能結合函數(shù)解析式的特點認識圖像特征的學生特別表揚。在學生匯報函數(shù)圖像的特征與函數(shù)的性質時，教師做好梳理并有序板書在黑板的主板區(qū)。此時，主板區(qū)的板書如下頁圖3所示。

（三）初步應用

例題

（1）利用函數(shù)圖像解方程|x+3|=2;

（2）利用函數(shù)圖像解不等式|x+3|>3。

教師先讓學生獨立練習，然后安排學生

上臺演示如下頁圖4、圖5這樣的圖像分析法，并安排不同的學生再次上臺講解，促進更多的學生運用圖像看出方程的解及不等式的解集。

（四）回顧小結，拓展思考

教師引導學生回顧并小結本節(jié)課是如何提出問題、怎樣研究一類特殊的絕對值函數(shù)的，拓展思考課后可以繼續(xù)研究怎樣的絕對值函數(shù)，同步完善。最終，主板區(qū)的板書如下頁圖6所示。

最后，基于學生的拓展思考布置兩道作業(yè)題：

1.畫出函數(shù)y=|3x-2|、y=|x|-3的圖像，描述函數(shù)圖像的特征或函數(shù)的性質（至少3條）。

2.（挑戰(zhàn)題）在平面直角坐標系xOy中，點A（x1，y1）、B（x2，y2）在函數(shù)y=|x+b|（b為常數(shù)）的圖像上，若x1y2，借助圖像分析b的取值范圍。

二、教學思考

（一）理解教學內容，從低起點變式生長，放大功能

本節(jié)課的教學內容來源于人教版初中數(shù)學八年級下冊第19章《一次函數(shù)》復習題的第11題：（1）畫出函數(shù)y=|x-1|的圖像;（2）設P（x，0）是x軸上的一個動點，它與x軸上表示-3的點的距離為y，求y關于x的函數(shù)解析式，并畫出這個函數(shù)的圖像。筆者充分透析這道題，讓它上下勾連、前后貫通，從七年級上冊《有理數(shù)》一章的“數(shù)軸上兩點間的距離”這個熟悉的基礎問題出發(fā)，給學生一個低起點，通過函數(shù)視角的變式過渡到“絕對值函數(shù)的圖像與性質”這個陌生的值得深入探究的問題，放大其教學功能。這樣設計的教學過程自然而通透。

（二）把握研究路徑，基于已有經(jīng)驗組織糾錯和優(yōu)化

我們知道，面對一個新的數(shù)學對象，有一些相對固定的研究路徑。以代數(shù)對象為例，研究一類新的數(shù)時，要研究它的概念界定、相關概念，再研究它的運算法則或運算通性;研究一類新的函數(shù)時，要研究它的描述性定義，再從特殊（簡單）情況出發(fā)，研究它的圖像和性質，最后研究它的應用。本節(jié)課中，從學生熟悉的一道習題得到一類特殊的絕對值函數(shù)，進而組織學生基于已有經(jīng)驗探究這一類函數(shù)的圖像和性質。這里需要指出的是，八年級學生在探究絕對值函數(shù)的圖像時，依賴的往往是一次函數(shù)的學習經(jīng)驗，從而將絕對值函數(shù)的圖像“簡單化”，比如將其畫成一條直線或兩條直線。這種典型錯漏在學習過程中出現(xiàn)后，教師要將其放大，組織更多的學生參與討論、糾錯和優(yōu)化。這一過程既是新知識的完善，也可促進學生認識到已有經(jīng)驗的局限性。

（三）精心設計板書，伴隨學習過程漸次生成和調整

絕大多數(shù)數(shù)學課是離不開板書的，而板書設計往往彰顯一個數(shù)學教師的專業(yè)基本功。著名特級教師李庾南善于通過板書將數(shù)學知識結構化，她的板書的特點是隨著學習過程的展開，內容漸次生成：隨時抓取學生的一些關鍵詞句或圖形，寫在黑板上相應的位置（看似隨意的一些內容和布局，其實都來自課前精心的構思）;待到課堂小結時，一個完整、豐富的“結構化板書”就顯現(xiàn)全貌，讓人眼前一亮，常有驚艷之感。受到李庾南老師板書藝術的影響，筆者在本節(jié)課中也精心設計了板書的呈現(xiàn)，包括如何采集、調整和優(yōu)化的過程，都在上文以板書“分時圖”的方式做了呈現(xiàn)，相信會引發(fā)一些同行的共鳴。

*本文系江蘇省南通市教育科學“十三五”規(guī)劃課題“基于‘三學理念的初中數(shù)學課例研究”（編號：ZX2018007）的階段性研究成果。

參考文獻：

[1] 劉東升.我們需要怎樣的“問題”驅動課堂——由美國莎維女士執(zhí)教的函數(shù)圖像課說起[J].教育研究與評論（課堂觀察），2016（11）.

[2] 李庾南，劉東升.好課如詩：富于關聯(lián)，指向八方[J].中學數(shù)學教學參考（中旬），2014（5）.

[3] 劉東升.踐行“三學”，漸次生成“結構化板書”——以“分式單元起始課”教學為例[J].中學數(shù)學，2018（24）.