具有解析式正解的Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)的位移輸入?yún)f(xié)調(diào)關(guān)系

葉鵬達，尤晶晶,2*，沈惠平，吳洪濤，茹 煜

(1. 南京林業(yè)大學 機械電子工程學院，江蘇 南京 210037；2. 江蘇省精密與微細制造技術(shù)重點實驗室，江蘇 南京 210016；3. 常州大學 現(xiàn)代機構(gòu)學研究中心，江蘇 常州 213016；4. 南京航空航天大學 機電學院，江蘇 南京 210016)

1 引 言

1965年，STEWART首次提出含6條相同支鏈的機構(gòu)，學者們稱其為Stewart并聯(lián)機構(gòu)[1]。相比于串聯(lián)機構(gòu)，并聯(lián)機構(gòu)具有輸出精度高、結(jié)構(gòu)剛性好和承載能力強等優(yōu)點，成為國內(nèi)外機構(gòu)學研究熱點[2-3]。目前，大多數(shù)6自由度并聯(lián)機構(gòu)都是基于Stewart并聯(lián)機構(gòu)衍生而來，我們稱之為Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)，其在光學元器件、并聯(lián)機床和六維加速度傳感器等領(lǐng)域得到越來越多的應(yīng)用[4]。

然而，由于拓撲構(gòu)型較復雜，6自由度并聯(lián)機構(gòu)的精確實時控制一般很難實現(xiàn)。有研究發(fā)現(xiàn)[5-7]，基于并聯(lián)機構(gòu)的裝置性能主要與其正向運動學問題有關(guān)。正向運動學的研究方法主要有解析法和數(shù)值法兩種[8-9]。解析法主要包括消元法、Grobner基法和共形幾何代數(shù)等方法。文獻[10]基于計算機符號運算，利用矢量消元和Sylvester結(jié)式消元，得出一般6-4臺體型Stewart并聯(lián)機構(gòu)位置正解的一元32次方程；文獻[11]運用計算機代數(shù)系統(tǒng)中的分次字典序Grobner基算法，獲得一般6-6平臺型Stewart并聯(lián)機構(gòu)位置正解的一元20次方程且該機構(gòu)最多有40組解的結(jié)論；文獻[12]基于共形幾何代數(shù)建立運動學方程，并通過構(gòu)造9階Sylvester結(jié)式，得到一般6-6臺體型Stewart并聯(lián)機構(gòu)位置正解的一元40次方程。不難看出，這些方法最終都將并聯(lián)機構(gòu)位置正解表達為一個一元高次代數(shù)方程，其優(yōu)點是可以得到全部解，但消元和推導過程繁瑣，技巧性強，且計算量大，特別是針對臺體型Stewart并聯(lián)機構(gòu)。數(shù)值法是另一種求解并聯(lián)機構(gòu)正向運動學的方法，主要運用Newton-Raphson法(N-R法)等數(shù)值逼近迭代思路求解非線性方程組。文獻[13]針對6-6平臺型Stewart并聯(lián)機構(gòu)提出了利用位置反解逐步迭代的方法求解位置正解的思路，保證了實時性，但每次只能迭代計算一組解；文獻[14]針對6-3 Stewart平臺結(jié)構(gòu)提出了一種基于機構(gòu)簡化的位置正解數(shù)值方法，保證了實時性，但對機構(gòu)結(jié)構(gòu)具有一定的依賴性。不難看出，并聯(lián)機構(gòu)拓撲結(jié)構(gòu)變得復雜時，數(shù)值法對于精確解的收斂性較差[15-17]。文獻[18]引入傳感器提高了模型算法的收斂性，但由于引入傳感器而造成結(jié)構(gòu)上的復雜性，最終對算法的收斂性并沒有很大幫助。

考慮到并聯(lián)機構(gòu)位置正解的求解難度與機構(gòu)耦合度指標有關(guān)[19]，并且冗余驅(qū)動具有減少奇異位形和增加有效工作空間等優(yōu)點[20]，文獻[21]提出了一種低耦合度冗余驅(qū)動Stewart衍生拓撲構(gòu)型，由于尚未有與之相匹配的二重復合球鉸鏈，因而限制了其結(jié)構(gòu)模型的設(shè)計。鑒于此，本文設(shè)計了二重復合球鉸鏈。除此之外，還設(shè)計了可轉(zhuǎn)換主動、從動模式的移動副，該移動副可用于改變機構(gòu)的冗余度，實現(xiàn)變?nèi)哂囹?qū)動。

從以上分析可以看出，目前針對冗余驅(qū)動并聯(lián)機構(gòu)的研究主要集中在機構(gòu)內(nèi)力協(xié)調(diào)，而對于移動副位移協(xié)調(diào)以及驅(qū)動模式優(yōu)選方面的研究還較少，并且大多數(shù)研究的機構(gòu)都是具有確定的冗余度，而對于變?nèi)哂喽葯C構(gòu)的研究相對較少。本文推導并化簡了6個位移輸入?yún)f(xié)調(diào)方程，為了便于對其進行驗證，重新推導出機構(gòu)的位置正解；然后，分別運用N-R法和Broyden法求解了協(xié)調(diào)方程；進一步研究不同冗余度對冗余協(xié)調(diào)算法數(shù)值結(jié)果的影響；最后，總結(jié)出冗余驅(qū)動模式優(yōu)選的3點選取原則。

2 結(jié)構(gòu)模型及正向運動學

2.1 結(jié)構(gòu)模型

圖1 Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)模型

Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)的結(jié)構(gòu)模型和拓撲構(gòu)型分別如圖1和圖2所示。該機構(gòu)由1個邊長為2(n+L)的靜平臺、1個邊長為2n的動平臺、6個二重復合球鉸鏈、12個可轉(zhuǎn)換主動、從動模式的移動副和12個一般球鉸鏈組成。12個一般球鉸鏈與靜平臺相連，6個二重復合球鉸鏈與動平臺相連。初始狀態(tài)下，靜平臺與動平臺的中心重合，并且姿態(tài)相同。當驅(qū)動N(6≤N≤11)個移動副時，動平臺的位置和姿態(tài)發(fā)生變化，從而實現(xiàn)動平臺的六維運動。

圖2 Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)拓撲構(gòu)型

如圖3所示，為了降低機構(gòu)的耦合度，設(shè)計了一種二重復合球鉸鏈[25]，其主要由第一層鉸鏈、第二層鉸鏈和中心柱組成。第一層鉸鏈由第一套筒、內(nèi)叉和第一滑柱組成，第二層鉸鏈由第二套筒、外叉和第二滑柱組成。中心柱與動平臺相連，滑柱與移動副相連，兩層鉸鏈均具有3條互相垂直的轉(zhuǎn)動軸線，并且轉(zhuǎn)動軸線始終相交于點Bi(i=1,2,...,6)。

如圖4所示，為了改變機構(gòu)的冗余度，設(shè)計了一種可轉(zhuǎn)換主動、從動模式的移動副[26]，其主要由導桿、內(nèi)套筒、外套筒和轉(zhuǎn)換套筒組成。導桿與內(nèi)套筒之間滑動連接，內(nèi)套筒與外套筒之間通過螺紋連接。當轉(zhuǎn)換套筒和導桿通過螺栓螺母連接在一起時，隨著內(nèi)、外套筒之間發(fā)生相對轉(zhuǎn)動，移動副的長度也發(fā)生改變，此時，該移動副處于主動模式；當拆掉螺栓螺母時，導桿與轉(zhuǎn)換套筒分離，內(nèi)套筒與導桿之間可相對滑動，此時，該移動副處于從動模式。

圖3 二重復合球鉸鏈結(jié)構(gòu)模型

圖4 移動副的三維圖和剖面圖

2.2 正向運動學

并聯(lián)機構(gòu)的正向運動學是指：已知驅(qū)動副的輸入量，求解動平臺的輸出運動參數(shù)。慣性坐標系{O-XYZ}與靜平臺相連，動坐標系{M-UVW}與動平臺相連，如圖2所示，慣性坐標系的坐標原點位于初始狀態(tài)下的動平臺中心處。12個一般球鉸鏈中心點在慣性坐標系中的笛卡爾坐標可表示成矩陣形式：

[b1,b2,b3,b4,b5,b6,b7,b8,b9,b10,b11,b12]=

(1)

式中：b1～b12為同名點的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標；n為動平臺半邊長；L為移動副初始長度。

12個移動副長度可表示為：

(2)

式中：Bi為同名點的幾何中心在慣性系內(nèi)的笛卡爾坐標；|·|為矢量的模。

點M為動平臺的幾何中心，根據(jù)機構(gòu)拓撲構(gòu)型并且運用立體幾何知識可得出M點與Bi點之間滿足如下的關(guān)系：

B1+B4=B2+B5=B3+B6=2M，

(3)

B1+M=B2+B3，

(4)

(5)

為了便于計算，選取M，B1，B2和B34個點為待求量：

(6)

根據(jù)12個移動副的長度約束關(guān)系并結(jié)合式(5)，建立動平臺輸入、輸出量之間的位姿映射方程組。進一步分析后發(fā)現(xiàn)，同構(gòu)方程兩兩相減，能夠消去二次項，得到4組線性封閉方程：

(7)

(8)

(9)

(10)

其中：

再結(jié)合式(4)，得到剩余3個未知量的解析式：

(11)

至此，重新推導了新型并聯(lián)機構(gòu)的正向運動學，具體算法流程如圖5所示。

圖5 位姿正解算法流程圖

為了驗證位姿正解模型的正確性，在Mathematica中構(gòu)建了Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)的虛擬樣機，如圖6所示。其中，動平臺半邊長n和移動副初始長度L分別設(shè)置為15 mm和25 mm。虛擬仿真中，動平臺為剛體，并且不考慮球面副、移動副的摩擦和間隙。不失一般性，取機構(gòu)的初始狀態(tài)和任意狀態(tài)進行仿真，計算結(jié)果如表1所示。結(jié)果顯示，位姿正解的計算值與準確值完全一致。

圖6 Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)的虛擬樣機

表1 位姿正解模型驗證

3 協(xié)調(diào)方程的推導及求解

3.1 協(xié)調(diào)方程的推導

將動平臺視作剛性結(jié)構(gòu)，運動過程中位置點之間的相對距離保持不變。由并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)模型可知，移動副長度與位置點之間的尺度約束關(guān)系滿足如下關(guān)系式：

|B1-b1|2=x12+

[y1-(n+L)]2+(z1+n)2=l12，

(12)

|B2-b3|2=(x2+n)2+

[y2-(n+L)]2+z22=l32，

(13)

|B3-b5|2=(x3-n)2+

y32+[z3+(n+L)]2=l52，

(14)

|B1-M|2=(x1-x0)2+

(y1-y0)2+(z1-z0)2=2n2，

(15)

|B2-M|2=(x2-x0)2+

(y2-y0)2+(z2-z0)2=2n2，

(16)

|B3-M|2=(x3-x0)2+

(y3-y0)2+(z3-z0)2=2n2，

(17)

(18)

(19)

(20)

將式(7)～式(11)代入式(12)～式(20)，發(fā)現(xiàn)方程的最高次數(shù)達到8次，并且方程中所含高次項的項數(shù)也較多。為了降低方程的次數(shù)以及減少方程中高次項的項數(shù)，通過式(12)，式(15)相減、式(13)，式(16)相減、式(14)，式(17)相減、式(12)，式(13)，式(18)相減、式(13)，式(14)，式(19)相減、式(12)，式(14)，式(20)相減，得到如下6個位移輸入?yún)f(xié)調(diào)方程：

f(X)=2x1x0+2y1y0+2z1z0-x02-

y02-z02+3n2+(n+L)2-2y1(n+L)+

2z1n-l12=0,

(21)

g(X)=2x2x0+2y2y0+2z2z0-x02-

y02-z02+3n2+(n+L)2-2y2(n+L)+

2x2n-l32=0,

(22)

v(X)=2x3x0+2y3y0+2z3z0-x02-y02-

z02+3n2+(n+L)2+2z3(n+L)-

2x3n-l52=0,

(23)

u(X)=-2x1x2-2y1y2-2z1z2-2x2n+

2y2(n+L)-2n2-2(n+L)2+

2y1(n+L)-2z1n-(2n2-l12-l32)=0,

(24)

w(X)=-2x2x3-2y2y3-2z2z3-2x2n+

2y2(n+L)-2n2-2(n+L)2-

2z3(n+L)+2x3n-(6n2-l32-l52)=0,

(25)

h(X)=-2x1x3-2y1y3-2z1z3-2z3(n+L)+

2x3n-2n2-2(n+L)2+2y1(n+L)-

2z1n-(2n2-l12-l52)=0.

(26)

將式(7)～式(11)代入式(21)～式(26)可知，消除了式(21)、式(22)、式(23)中的8次方項以及式(24)、式(25)、式(26)中的6次方項?；喦昂蟮膮f(xié)調(diào)方程對比如表2所示。

表2 化簡前后的協(xié)調(diào)方程對比

Tab.2 Comparison of the compatibility equations before and after simplification

方程特征項化簡前化簡后數(shù)目96最高次數(shù)88最高次項數(shù)459

為了驗證協(xié)調(diào)方程的正確性，并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與2.2節(jié)中的參數(shù)一致，在Mathematica中仿真對比了6個協(xié)調(diào)方程在兩種不同狀態(tài)下的計算結(jié)果。表3列出了兩種狀態(tài)下協(xié)調(diào)方程的計算誤差，將6個協(xié)調(diào)方程誤差的平均值作為綜合誤差。誤差δ的表達式為：

δ=|F(X)*-F(X)*|,

(27)

其中：

F(X)=

式中：上標“*”代表仿真結(jié)果；下標“*”代表準確結(jié)果；X為從動副長度。

由表3可知，當移動副位于初始狀態(tài)時，計算結(jié)果沒有產(chǎn)生誤差；當移動副位于任意狀態(tài)時，計算結(jié)果產(chǎn)生較小誤差，該誤差可能是由計算機浮點運算中的舍入誤差和泰勒展開時的截斷誤差等因素造成，可以忽略不計。計算結(jié)果表明協(xié)調(diào)方程推導正確。

表3 協(xié)調(diào)方程的誤差統(tǒng)計

3.2 協(xié)調(diào)方程的求解

并聯(lián)機構(gòu)12個移動副之間滿足一定的位移輸入?yún)f(xié)調(diào)關(guān)系，由于協(xié)調(diào)方程的次數(shù)均高于4次，給定N個驅(qū)動副長度，可通過數(shù)值方法計算出其它(12-N)個從動副長度。求解非線性方程組的數(shù)值方法主要包括不動點迭代法、牛頓法和擬Newton法等方法，本文選擇其中的N-R法和Broyden法進行求解，其它方法將另文研究。

3.2.1 N-R法

N-R法是求解非線性方程組的經(jīng)典方法，因其收斂速度快和自校正等優(yōu)點，得到了廣泛的應(yīng)用。目前很多新的算法都是在此基礎(chǔ)上改進而來。

協(xié)調(diào)方程可以表示為：

F(X)=0.

(28)

泰勒公式展開：

F(Xk)+

F′(Xk)(Xk+1-Xk)+O(|Xk+1-Xk|2)=0,

(29)

其中：

式中：k為迭代步數(shù)；F′(Xk)為Jacobian矩陣。

忽略二階無窮小量可得到：

Xk+1=Xk-[F′(Xk)]-1F(Xk).

(30)

式(30)即為N-R法的迭代公式。N-R法是局部收斂的，只要初值選取得當，計算結(jié)果總能收斂到合理值。N-R法求解協(xié)調(diào)方程的算法流程如圖7中實線所示。

3.2.2 Broyden法

Broyden法是基于改進的N-R法發(fā)展而來，是求解非線性方程組的重要方法之一。它克服了N-R法需要求導、求逆等缺點，將Jacobian矩陣簡化為矩陣遞推關(guān)系式，這樣不僅簡化了計算過程，同時還能保證方法的超線性收斂速度[27]。當然，在改進的N-R法成立的前提下，Broyden法是計算修正矩陣ΔAk的一種方法，其它方法還包括Broyden第二方法、DFP秩2算法和BFGS秩2算法等。

Broyden首先對改進的N-R法提出了一種修正Ak的計算方案，它每步迭代只需計算n個分量函數(shù)值及O(n2)次算術(shù)運算，大大降低了計算量，其迭代公式為：

(31)

其中：

Sk=Xk+1-Xk

yk=F(Xk+1)-F(Xk).

(32)

式中：SkTBkyk≠0。逆Broyden秩1公式每步總計算量為n個分量函數(shù)值和O(n2)次算術(shù)運算。

式(32)即為Broyden法的迭代公式。Broyden法求解協(xié)調(diào)方程的算法流程如圖7中虛線所示。

圖7 兩種迭代算法流程圖

觀察圖7可以發(fā)現(xiàn)，與N-R法相比，Broyden法在迭代過程中不需要計算Jacobian矩陣，而是用當前函數(shù)值代替導數(shù)，避免了每次迭代過程中的求導，降低了計算量。

為了對比數(shù)值結(jié)果的精度和效率，將兩種算法編寫成Mathematica程序，并在軟件中通過Timing指令獲取算法的計算時間。不失一般性，任意給定動平臺一組位姿：x0=0.5 mm，y0=0 mm，z0=0 mm；λ1=-0.05，λ2=0.05，λ3=0.05，迭代精度控制為1.0×10-6，仿真結(jié)果如表4所示。表5列出了許可初值偏差從20%變化到25%時，計算結(jié)果收斂到給定位姿所運行的迭代步數(shù)和計算時間。

表4 協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果精度對比

表5 協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果效率對比

Tab.5 Efficiency comparison of numerical results of the compatibility equations

許可初值偏差/%N-R迭代步數(shù)時間/msBroyden迭代步數(shù)時間/ms205187.510156.3215203.110156.3225203.111156.3235203.111156.3246218.811171.9256250.012187.5平均值5.3210.910.8164.1

觀察并分析表4，5可知， N-R法數(shù)值結(jié)果的精度優(yōu)于Broyden法至少3倍，但效率較低。從迭代步數(shù)和計算時間可以看出，在相同許可初值偏差情況下，雖然Broyden法收斂到滿足精度要求的給定位姿所運行的迭代步數(shù)較多，但由于每一步迭代不需要構(gòu)造Jacobian矩陣，因此計算量較少，計算時間僅為N-R法的78%左右。

將兩種算法的許可初值偏差均取為30%，其迭代收斂性如圖8所示，其中綜合桿長表示計算桿長的平均值。為了更清晰地反映兩種算法的收斂性，選取圖中計算值與準確值較接近的部分曲線進行局部放大。從圖8中可以看出，使用Broyden法計算得到的桿長收斂曲線圍繞準確值的擾動較小，并且在迭代步數(shù)達到4步時，計算值與準確值基本吻合。因此，Broyden法的收斂速度較快，即收斂性較優(yōu)。

圖8 兩種迭代算法的收斂性

4 協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果的影響因素

通過切換移動副的工作模式，從而改變機構(gòu)的冗余度，實現(xiàn)6種驅(qū)動模式，如圖9所示，其中R代表機構(gòu)的冗余度。協(xié)調(diào)方程數(shù)值結(jié)果的影響因素主要包括許可初值偏差和并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)，針對各種驅(qū)動模式，分別對比分析這兩者對冗余協(xié)調(diào)算法的影響。

圖9 6種驅(qū)動模式

4.1 許可初值偏差

N-R法和Broyden法在計算協(xié)調(diào)方程時都需要給定算法迭代初值，如果初值選取不當，就會造成計算結(jié)果發(fā)散，失去有效性。并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)與2.2節(jié)中的參數(shù)一致，分別給定算法迭代精度為1.0×10-6與1.0×10-9，仿真結(jié)果如圖10和圖11所示。本文以一組結(jié)構(gòu)參數(shù)為例，給出了確定最佳冗余度的方法和思路，為類似并聯(lián)機構(gòu)驅(qū)動模式的選取提供參考。

圖10 許可初值偏差與迭代步數(shù)的關(guān)系(1.0×10-6)

圖11 許可初值偏差與迭代步數(shù)的關(guān)系(1.0×10-9)

觀察并分析圖10和圖11可知：

(1)隨著許可初值偏差的增大和迭代精度的提高，迭代步數(shù)呈上升趨勢。R=3時，冗余協(xié)調(diào)算法對初值的依賴程度較低；R=1時，Broyden法對初值的依賴程度較高；R=5時，迭代步數(shù)都較低，即實時性較優(yōu)。

(2)冗余度為0，1，3時，迭代步數(shù)對迭代精度的敏感程度都較高；特別地，對于N-R法，當R=0時，迭代步數(shù)對迭代精度較敏感，并且對許可初值偏差的要求較高，究其原因，這可能是由于Jacobian矩陣維數(shù)的增加導致計算量變大，以及更易產(chǎn)生奇異等原因造成的。

(3)隨著許可初值偏差的增大，N-R法的迭代步數(shù)變化較平緩，即穩(wěn)定性較優(yōu)，而對于Broyden法，當許可初值偏差接近最大許可初值偏差時，迭代步數(shù)產(chǎn)生較大波動，從波動的整個趨勢來看，呈上升態(tài)勢。

4.2 結(jié)構(gòu)參數(shù)

對于不同的驅(qū)動模式，冗余協(xié)調(diào)算法的最大許可初值偏差與并聯(lián)機構(gòu)結(jié)構(gòu)參數(shù)有關(guān)。不失一般性，取5～30 mm分別作為動平臺半邊長和移動副初始長度的變化范圍，均以5 mm作為變化步長，依次獲取每種結(jié)構(gòu)參數(shù)所對應(yīng)的最大許可初值偏差，仿真結(jié)果如圖12所示。其中黃色代表N-R法，藍色代表Broyden法。

圖12 結(jié)構(gòu)參數(shù)與最大許可初值偏差的關(guān)系

Fig.12 Relation ship between structural parameters and maximum admissible initial deviation

觀察并分析圖12可知：

(1)從整體趨勢來看，隨著動平臺邊長的增大和移動副初始長度的減小，最大許可初值偏差呈上升趨勢。

(2)R=5時，最大許可初值偏差的區(qū)間寬度都較小，分別為19%和0%，此時，最大許可初值偏差對結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度較低；R=2時，最大許可初值偏差的區(qū)間寬度都較大，分別為1 218%和1 174%，此時，最大許可初值偏差對結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度較高，即在該驅(qū)動模式下，通過合理選取結(jié)構(gòu)參數(shù)，能夠增大冗余協(xié)調(diào)算法的最大許可初值偏差。

(3)R=0時，最大許可初值偏差在移動副初始長度為15 mm左右出現(xiàn)凸峰，究其原因，這可能是由于算法在計算Jacobian矩陣時較易產(chǎn)生奇異所導致。

為了進一步定量地對比驅(qū)動模式對冗余協(xié)調(diào)算法產(chǎn)生的影響，運用區(qū)間分析理論，引入并定義擾動適應(yīng)性能評價指標，將6種驅(qū)動模式下的擾動適應(yīng)性能的平均值作為對應(yīng)算法的綜合擾動適應(yīng)性能。擾動適應(yīng)性能的表達式為：

(33)

顯然，擾動適應(yīng)性能P值越小，表明冗余協(xié)調(diào)算法的抗擾動性能越強。表6列出了不同驅(qū)動模式下冗余協(xié)調(diào)算法的擾動適應(yīng)性能。

表6 冗余協(xié)調(diào)算法的擾動適應(yīng)性能對比

Tab.6 Comparison of perturbation adaptive performance of redundant coordination algorithm

驅(qū)動模式(R)擾動適應(yīng)性能P/1N-RBroydenⅠ(5)0.360Ⅱ(4)2.051.84Ⅲ(3)0.600.43Ⅳ(2)4.394.54Ⅴ(1)0.911.00Ⅵ(0)5.082.76綜合擾動適應(yīng)性能2.231.76

觀察并分析表6可知：

(1)冗余度為1，3，5時，冗余協(xié)調(diào)算法的抗擾動性能較強，即最大許可初值偏差對結(jié)構(gòu)參數(shù)變化的敏感程度較低，從移動副的布局方式來看，冗余度為奇數(shù)時，至少存在1個二重復合球鉸鏈，其兩端連接的移動副由驅(qū)動副和從動副混連構(gòu)成，該構(gòu)成形式能夠?qū)崿F(xiàn)冗余協(xié)調(diào)算法的擾動補償。

(2)特別地，當R=5時，Broyden法的擾動適應(yīng)性能為0，在該驅(qū)動模式下，結(jié)構(gòu)參數(shù)的變化對最大許可初值偏差不產(chǎn)生影響。從綜合擾動適應(yīng)性能來看，Broyden法優(yōu)于N-R法1.27倍，即Broyden法的抗擾動性能較優(yōu)。

5 結(jié) 論

以具有解析式正解的Stewart衍生拓撲構(gòu)型為研究對象，為了降低機構(gòu)的耦合度，發(fā)明了一種二重復合球鉸鏈，還給出了可轉(zhuǎn)換主動、從動模式的移動副的一種設(shè)計方案，該移動副可以改變機構(gòu)的冗余度，從而實現(xiàn)驅(qū)動模式的切換。構(gòu)造了位置正解全解析算法，并驗證了位置正解模型的正確性，該方法同樣適用于動平臺上含3個以上二重復合球面副、球鉸中心不局限于動平臺棱邊中點且耦合度小于2的臺體型并聯(lián)機構(gòu)位置正解的求解。

根據(jù)位置點之間的幾何關(guān)系推導并化簡了6個位移輸入?yún)f(xié)調(diào)方程，分別對比分析了N-R法和Broyden法的數(shù)值性態(tài)，研究發(fā)現(xiàn)，N-R法的精度優(yōu)于Broyden法至少3倍，Broyden法的計算時間約為N-R法的78%，Broyden法的綜合擾動適應(yīng)性能優(yōu)于N-R法的1.27倍。同時，研究了許可初值偏差和結(jié)構(gòu)參數(shù)對冗余協(xié)調(diào)算法的影響。

Stewart衍生型并聯(lián)機構(gòu)在具體應(yīng)用場合需要合理選取驅(qū)動模式，其選取原則為：要允許有較大的最大許可初值偏差時，最佳冗余度為3；要使最大許可初值偏差對結(jié)構(gòu)參數(shù)變化較敏感時，最佳冗余度為2；對實時性和抗擾動性能要求較高時，最佳冗余度為5。

本文僅討論了N-R法和Broyden法的數(shù)值性態(tài)，對于其他算法是否會得到不同結(jié)論，該問題將另文研究。