基于二次型規(guī)劃函數(shù)的無功補(bǔ)償優(yōu)化方法

林 霞，宋慧杰，陳三波

（1.國網(wǎng)山西省電力公司，山西 太原 030021；2.萬家寨水務(wù)控股集團(tuán)有限公司，山西 太原030012；3.中國能源建設(shè)集團(tuán)山西省電力勘測設(shè)計(jì)院有限公司，山西 太原 030013）

0 引 言

隨著國民經(jīng)濟(jì)的快速增長，全社會(huì)用電負(fù)荷隨之增加，需要不斷加大電網(wǎng)建設(shè)投資以滿足快速增長的負(fù)荷需求。電網(wǎng)企業(yè)不僅要為用電企業(yè)提供可靠的電能供應(yīng)，還需確保其自身電網(wǎng)的安全經(jīng)濟(jì)運(yùn)行，提高電能的利用和轉(zhuǎn)換效率，避免電網(wǎng)建設(shè)的投資浪費(fèi)。隨著電力體制改革的日益深化，電網(wǎng)運(yùn)行的經(jīng)濟(jì)性成為電網(wǎng)建設(shè)的決定因素之一。合理配置無功補(bǔ)償裝置是電力系統(tǒng)經(jīng)濟(jì)運(yùn)行、減少電能損耗以及提高電網(wǎng)輸送效能的重要手段，對(duì)提高用戶用電質(zhì)量和提高電網(wǎng)企業(yè)的經(jīng)濟(jì)效益具有重大意義。

提高電壓水平及電能質(zhì)量的重要手段之一，是在相關(guān)站點(diǎn)的主變低壓側(cè)配置一定容量的無功補(bǔ)償裝置。該裝置實(shí)際運(yùn)行時(shí)根據(jù)電壓水平的高低決定分組投切的容量。但是，目前無功容量的配置原則主要通過長期運(yùn)行經(jīng)驗(yàn)和粗略計(jì)算，缺乏一定的理論支撐。配置過少，造成電壓水平過低、設(shè)備出力不足、損壞、損耗增加等問題；配置過剩，造成投資浪費(fèi)，無功補(bǔ)償裝置的投資不能獲得最佳回報(bào)。無功優(yōu)化計(jì)算正是解決上述問題的重要手段，通過優(yōu)化計(jì)算合理配置無功補(bǔ)償裝置，最大限度地優(yōu)化無功潮流分布，提高電壓水平和電能質(zhì)量。無功優(yōu)化問題難點(diǎn)主要集中在無功優(yōu)化模型的建立和無功優(yōu)化問題求解方法的研究?，F(xiàn)階段電網(wǎng)系統(tǒng)愈加龐大和復(fù)雜，對(duì)無功優(yōu)化問題的建模及求解方法提出了更高的要求[1]。

1 無功功率的補(bǔ)償及優(yōu)化

1.1 無功的補(bǔ)償方式

常見的低壓補(bǔ)償方式包括樞紐站集中補(bǔ)償、配電網(wǎng)分散補(bǔ)償以及用戶終端就地補(bǔ)償。針對(duì)城市低壓配電網(wǎng)，采用的補(bǔ)償方式是分散補(bǔ)償。分散補(bǔ)償是根據(jù)電力系統(tǒng)及用戶的需要，按照局部負(fù)荷大小配置無功補(bǔ)償容量，通常是在公用變壓器上安裝電容器組進(jìn)行無功補(bǔ)償。通過分散加裝補(bǔ)償裝置的方法，可以改善電網(wǎng)系統(tǒng)無功潮流分布，從而進(jìn)一步改進(jìn)設(shè)備的承載能力，提高電壓質(zhì)量，降低網(wǎng)絡(luò)損耗，是目前經(jīng)濟(jì)可行的補(bǔ)償措施，體現(xiàn)了無功“分散補(bǔ)償，就地平衡”的原則。

1.2 無功的優(yōu)化方法

在電力系統(tǒng)無功優(yōu)化領(lǐng)域，常規(guī)優(yōu)化方法主要有非線性規(guī)劃法、線性規(guī)劃法以及混合整數(shù)規(guī)劃法等。非線性規(guī)劃法是最先被應(yīng)用到電力系統(tǒng)無功優(yōu)化的方法之一，其中具有代表性的有簡化梯度法、牛頓法最優(yōu)潮流算法以及二次規(guī)劃法。二次規(guī)劃法是發(fā)展較為成熟的一個(gè)分支。因無功優(yōu)化中的目標(biāo)函數(shù)和約束條件常常是二次函數(shù)的形式，故二次規(guī)劃法常用于無功優(yōu)化的求解。本文采用基于MATLAB的二次規(guī)劃函數(shù)。

二次規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式為：

式中，H是m×m階矩陣；A是n×m階矩陣；Aeq是n×m階矩陣；x,f,lb,ub∈Rm；b,beq∈Rn。

MATLAB優(yōu)化工具箱中二次型規(guī)劃函數(shù)的用法：

返回一組具有上下限、滿足不等式約束及等式約束，且使函數(shù)f(x)最小的向量x以及f(x)的最小值fval[2]。

2 無功優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型

通常把無功優(yōu)化表示成含有約束條件的非線性數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)可以有多種選擇形式，如以線損最小、年運(yùn)行費(fèi)用最小、年支出費(fèi)用最小以及年經(jīng)濟(jì)效益最高為優(yōu)化目標(biāo)。本文采用年經(jīng)濟(jì)效益最高為目標(biāo)函數(shù)：

式中，Qc1,Qc2,…,QcNC為NC個(gè)無功補(bǔ)償點(diǎn)的補(bǔ)償容量；Ze為投入補(bǔ)償電容之后年節(jié)約電能費(fèi)用，單位為元；Zc為新裝電容器的年綜合造價(jià)，單位為元；ΔP0為補(bǔ)償前最大負(fù)荷下的有功損耗，單位為kW；ΔPΣ(Qc1,Qc2,…,QcNC)為補(bǔ)償后最大負(fù)荷下的有功損耗，單位為kW；τmax為最大負(fù)荷損耗小時(shí)數(shù)；β為有功電價(jià)，單位為元/（kW·h）；Ka為補(bǔ)償裝置的維護(hù)折舊率；Kc為安裝單位補(bǔ)償容量的綜合投資，單位為元/kvar。本文考慮的約束條件是支路功率因數(shù)約束和節(jié)點(diǎn)電壓約束：

式中，l=1,2,…,NF，NF≤NL，NL為系統(tǒng)總支路數(shù)；NF為功率因數(shù)約束支路數(shù)；k=1,2,…,KV，KV≤N，N為系統(tǒng)總節(jié)點(diǎn)數(shù)，KV為電壓約束節(jié)點(diǎn)數(shù)。VK為K節(jié)點(diǎn)的電壓值，cosφl為l支路的功率因數(shù)。

因無功補(bǔ)償而減少的年電能損耗費(fèi)用若大于投資安裝無功補(bǔ)償設(shè)備的年綜合造價(jià)，即節(jié)省的費(fèi)用超過投資的費(fèi)用，則認(rèn)為是劃算的，其差值為年經(jīng)濟(jì)效益，優(yōu)化目的是年經(jīng)濟(jì)效益最大。

二次型規(guī)劃函數(shù)quadprog()所得到的目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解是最小值，本文采用的目標(biāo)函數(shù)（年經(jīng)濟(jì)效益）的優(yōu)化目的是最大值，因此對(duì)目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行如下變形（即等式兩邊同取負(fù)值）：

進(jìn)而將目標(biāo)函數(shù)年經(jīng)濟(jì)效益最大轉(zhuǎn)換成求目標(biāo)函數(shù)FT的最小值。

式（5）中的第3項(xiàng)根據(jù)潮流計(jì)算得到。本文采用的潮流計(jì)算方法引入一個(gè)節(jié)點(diǎn)-支路關(guān)聯(lián)矩陣（不考慮源點(diǎn)），通過求得這個(gè)矩陣，根據(jù)已知的節(jié)點(diǎn)負(fù)荷求出支路功率，拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)如圖1所示。

圖1 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)圖

圖1中，數(shù)字0～5是節(jié)點(diǎn)編號(hào)，數(shù)字0是源點(diǎn)；P01～P35是各支路功率（待求量，下標(biāo)數(shù)字順序代表功率流向）；P1～P5是各節(jié)點(diǎn)功率（已知量，如果不是負(fù)荷節(jié)點(diǎn)，則為零）。因此，圖1的節(jié)點(diǎn)-支路關(guān)聯(lián)矩陣為：

矩陣中，1代表注入功率，-1代表流出功率。現(xiàn)在考慮式（5）的第1項(xiàng)和第2項(xiàng)，那么新的目標(biāo)函數(shù)可以寫成：

式中，ΔPΣ是補(bǔ)償前最大負(fù)荷下的有功損耗，具體表達(dá)式為：

式中，P1、Q1為無功補(bǔ)償之前各支路的有功、無功功率；R1為各支路的電阻；VN為線路額定電壓；Q1,c為線路l下游節(jié)點(diǎn)電容器補(bǔ)償容量之和，具體表達(dá)式為：

式中，α1,ci為0或1的變量。α1,ci=1表示線路l下游節(jié)點(diǎn)集合中含有電容器ci，α1,ci=0表示線路l下游節(jié)點(diǎn)集合中不含電容器ci。

本文算法只考慮了支路功率因數(shù)約束和節(jié)點(diǎn)電壓約束，具體描述為：

式中，Vs為電源點(diǎn)電壓；βk,1為0或1的變量。βk,1=1表示電壓約束點(diǎn)k的電壓與支路i的壓降有關(guān)，βk,1=0表示電壓約束點(diǎn)k的電壓與支路i的壓降無關(guān)，Rl為支路的電阻，Xl為支路的電抗。

結(jié)合式（7）～式（10）可知，無功補(bǔ)償容量的優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)和約束條件可描述為：

求出支路功率和α1,ci、βk,1后，式（11）中的變量就只有Q1,ci。

本文借助MATLAB優(yōu)化工具箱的二次型規(guī)劃函數(shù)進(jìn)行仿真計(jì)算，應(yīng)將目標(biāo)函數(shù)及其約束條件轉(zhuǎn)換成如式（3）所示的二次型規(guī)劃函數(shù)所要求的標(biāo)準(zhǔn)形式進(jìn)行計(jì)算。

經(jīng)過公式推導(dǎo)得到目標(biāo)函數(shù)及約束條件的標(biāo)準(zhǔn)形式如下：

式中，Qci是各無功補(bǔ)償點(diǎn)補(bǔ)償電容組成的NC維列向量；QciT為Qci的轉(zhuǎn)置；H是NC×NC階矩陣，具體表達(dá)式為：

式中，α是NC×NC階矩陣；diag(R1)是NL×NL階矩陣，矩陣內(nèi)元素為各支路電阻組成的對(duì)角矩陣?？梢钥闯觯繕?biāo)函數(shù)是一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)的二次型函數(shù)。

以上分析為后續(xù)的優(yōu)化計(jì)算做好了準(zhǔn)備。下面通過一個(gè)實(shí)際算例來驗(yàn)證數(shù)學(xué)模型和算法的有效性。

3 實(shí)際系統(tǒng)分析

如圖2所示，某地區(qū)城市配電網(wǎng)共24個(gè)節(jié)點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)1為電源點(diǎn)，額定電壓110 kV，24條支路，規(guī)劃的無功補(bǔ)償節(jié)點(diǎn)有15個(gè)。目標(biāo)函數(shù)為該地區(qū)局部配電網(wǎng)年經(jīng)濟(jì)效益，優(yōu)化目的是經(jīng)濟(jì)效益最高，以無功補(bǔ)償設(shè)備容量作為可調(diào)變量進(jìn)行優(yōu)化計(jì)算。

圖2 某地區(qū)城市局部配網(wǎng)示意圖

選取部分節(jié)點(diǎn)作為補(bǔ)償點(diǎn)，采用本文的數(shù)學(xué)模型及算法計(jì)算各補(bǔ)償點(diǎn)的無功補(bǔ)償容量。經(jīng)過計(jì)算可知，補(bǔ)償無功后，年電能損耗費(fèi)用較未補(bǔ)償無功之前減少了50萬元，大于無功補(bǔ)償設(shè)備的投資費(fèi)用，即節(jié)省的費(fèi)用超過了投資的費(fèi)用。補(bǔ)償無功后，各節(jié)點(diǎn)的電壓質(zhì)量得到了改善，補(bǔ)償前后節(jié)點(diǎn)電壓結(jié)果如表1所示。

表1 部分節(jié)點(diǎn)最優(yōu)無功補(bǔ)償容量及電壓優(yōu)化結(jié)果

4 結(jié) 論

采用上述方法安裝的無功補(bǔ)償裝置能夠降低網(wǎng)損，提高電壓質(zhì)量，且投資少，經(jīng)濟(jì)效益明顯。通過實(shí)際算例證明，優(yōu)化模型及算法具有合理性，二次型規(guī)劃算法是有效的。