組合式棚洞結構優(yōu)化及其計算方法

陳 飛，陳洪凱

(1.三峽大學水利與環(huán)境學院，湖北 宜昌 443002；2.棗莊學院城市與建筑工程學院，山東 棗莊 277000)

0 引言

我國是世界上崩塌災情最嚴重的國家之一，目前多采用棚洞結構防護頻發(fā)性、小粒徑崩塌落石災害。國內(nèi)外學者對棚洞結構進行了大量研究，如MOUGIN等[1]提出一種了阻尼板結構，通過阻尼板變形及結構的局部損傷來消能；DELHOMME等通過試驗發(fā)現(xiàn)在低強度沖擊作用下鋼筋混凝土板的受沖擊區(qū)域會產(chǎn)生嚴重開裂，邊緣也會產(chǎn)生翹曲變形[2-3]；PICHLER等研究了承壓板在沖擊荷載作用下的動力響應問題以及板體的塑性效應特征[4]；何思明等[5]利用能量法分析了新型耗能減震棚洞的抗沖擊特性。

傳統(tǒng)棚洞結構采用鋼筋混凝土構造，不僅造價高、工期長，而且在地震高發(fā)區(qū)余震不斷，傳統(tǒng)棚洞不能夠在短時間內(nèi)架設，對災害應急救援救災工作不利。鑒于此，陳洪凱等[6]提出了一種組合式棚洞結構，但其受荷性能尚未進行系統(tǒng)分析。本文基于組合式棚洞結構優(yōu)化及其受荷性能進行研究，其成果具有較重要工程實用性。

1 組合式棚洞結構簡介

組合式棚洞結構由現(xiàn)澆設置在路面以下的樁基和以下預制構件組合而成：設置于樁基上方的支柱、設置在支柱上方的支撐梁和支撐梁上方設置的防護板。在每根立柱的頂端安置消能支座，并將棚洞的橫梁、縱梁與支撐立柱組合，形成組合式落石消能棚洞支撐框架結構(圖1)。

圖1 組合式消能棚洞結構Fig.1 Combined energy dissipation shed structure

消能支座的結構[6]從上至下為：旋轉頂板連接板1-1、連接栓1-2、鋼球榫1-3、彈簧1-4、傳荷支架1-5、傳荷鋼板1-6和彈簧導桿1-7 ; 傳荷鋼板1-6為一個內(nèi)設有環(huán)形定位環(huán)1-8的圓筒結構(圖2)。

圖2 消能支座的結構示意圖Fig.2 Schematic diagram of the structure of the energy dissipation support

消能支座的設置使得危巖、落石滾落的巨大能量被消能支座所吸收，減少了對支柱和樁基的沖擊，提高了支柱和樁基的抗沖擊能力。

該棚洞的結構簡單、成本較低，且重量輕防護效果好；更重要的是本發(fā)明所用構件采用預制材料，使用時可車輛或人力迅速運到施工地點，采用組合式安裝，安裝速度快，能夠滿足如地震導致的山體連續(xù)滑坡等危急情況下，緊急架設棚洞保證交通的需要。

2 組合式棚洞優(yōu)化設計

2.1 棚洞頂板的優(yōu)化

針對組合式棚洞結構承沖系統(tǒng)玻璃鋼防護板玻璃鋼(FRP，即纖維強化塑料)在使用過程中剛性不足的問題[7]，將棚洞頂板優(yōu)化為聚氨酯彈性體鋼夾層板(SPS夾層板)，由三層性能不同、厚度不一的板件疊合而成，其中中間層剛度較弱但厚度較大，稱之為夾心，上、下兩層稱之為面板(圖3)。

圖3 聚氨酯彈性體鋼夾層板結構圖Fig.3 Polyurethane elastomer steel sandwich panel structure

2.2 二次消能裝置

由于金屬圓柱殼破壞模式穩(wěn)定，能夠以可控的方式吸收能量[8]。為了應對組合式棚洞結構消能支座的不足，增設了薄管耗能裝置，進行二次消能。在棚洞體系將發(fā)生塑性破壞時，薄管耗能結構通過可控的結構疊縮進行耗能。二次消能選用的LD2Y鋁合金是鋁-鎂-硅系可熱處理強化鋁合金，其疊縮破壞模式為軸對稱疊縮[8](圖4)。具體參數(shù)見表1。

表1 薄壁耗能裝置參數(shù)Table 1 Thin wall energy dissipation device parameters

圖4 薄壁耗能裝置軸對稱疊縮Fig.4 Axisymmetric retraction of thin-wall energy consuming devices

組合式棚洞優(yōu)化結構在橫梁與縱梁之間設置耗能薄壁管，同時將棚洞頂板更換為SPS夾層板(圖5)。

圖5 組合式棚洞優(yōu)化結構Fig.5 Optimal combined shed structure

3 棚洞結構頂板撓度計算

3.1 夾層板結構撓度計算方法

棚洞頂板為SPS夾層板[9]，為夾層結構，本文基于Reissner提出的夾層板理論簡化得出了力學等效模型，在計算夾層板撓度的過程中，分別計算構件受載時的彎矩和剪力，認為夾心材料僅承擔剪力作用，而表層面板僅承擔彎矩作用，分別計算夾心與面板的撓度，最終將各個部分撓度值進行疊加，得出棚洞頂板的撓度分布。

3.2 夾層結構上下面板撓度

現(xiàn)假定一個材料參數(shù)均與夾層板面板材料相同的等效薄板。等效薄板的剛度系數(shù)可以定義為：

(1)

式中：Dsp——等效薄板的剛度系數(shù)/(N·mm-1)；

Esp——等效薄板的彈性模量/MPa；

hsp——等效薄板的厚度/mm；

μsp——等效薄板的泊松比。

夾層板的上下面板單獨承擔彎矩作用，其抗彎剛度表達式[10]為：

(2)

式中：Drp——夾層板面板的剛度系數(shù)/(N·mm-1)；

Ef——上下層面板的彈性模量/MPa；

h——夾芯層厚度/mm；

t0——面板厚度/mm；

μf——面板材料的泊松比。

根據(jù)前文的假定，面板材料參數(shù)與等效薄板的相同，即：

μf=μsp,Esp=Ef

(3)

令Dsp=Drp，聯(lián)立式(1)、(2)得到hsp和h、t0的關系式：

(4)

帶入夾層板面板及夾芯厚度，可以得出等效薄板的厚度。在不考慮夾芯剪切變形時，夾層板面板的撓度，可以根據(jù)其在相同荷載作用下?lián)隙扰c等效薄板一致的特性計算。

在F(ζ,η)作用下夾層板面板僅承擔彎矩作用時的撓度計算式與厚度為hsp的等效薄板在F(ζ,η)作用下的撓度計算式相同，即：

ωm=ωsp

(5)

式中：ωm——夾層板面板在F(ζ,η)作用下僅承擔彎矩作用時的撓度/mm；

ωsp——等效薄板在法向集中荷載F(ζ,η)的作用下產(chǎn)生的撓度/mm。

3.3 夾心結構撓度

由于夾芯材料為質(zhì)地較軟的聚氨酯彈性體，可以忽略夾層結構平行于XY平面的應力，僅考慮其剪切變形。將夾芯部分的豎向撓度簡化為其在剪力作用下的剪切變形(圖3)，假設在XZ截面和YZ截面上的剪力為Qx和Qy，其剪切應變可以表示為：

(6)

式中：γxz——XZ截面上剪力引起的剪切應變/mm；

γyz——YZ截面上剪力引起的剪切應變/mm；

Gc——聚氨酯彈性體的剪切彈性模量/Mpa；

Qx——XZ橫截面上剪力值/N；

Qy——YZ橫截面上剪力值/N。

(7)

式中：ωsp——等效單層薄板在法向集中荷載F(ζ,η)的作用下產(chǎn)生的撓度/mm。

將式(7)帶入式(6)并積分可得XZ面和YZ面剪力引起的豎向變形Wcx和Wcy為：

(8)

(9)

式中：Wcx——xz面剪力引起的豎向變形/mm；

Wcy——yz面剪力引起的豎向變形/mm；

Gc——夾芯材料的剪切彈性模量/MPa。

夾芯材料在剪力作用下的撓度即為xz面和yz面剪力引起的豎向變形Wcx和Wcy之和：

(10)

式中：ωc——夾芯材料在剪力作用下的撓度/mm。

3.4 棚洞頂板總撓度

據(jù)上文的疊加思想，將棚洞頂板的面板撓度與夾芯撓度疊加，得到夾層板在沖擊荷載作用下的總撓度為：

(11)

式中：ω——棚洞頂板總的撓度值/mm。

通過上述方法，將集中力作用下夾層板結構撓度計算問題轉化為集中力作用下等效均質(zhì)薄板的撓度計算問題。將式(12)中ωsp的計算表達式帶入式(11)，即可得到夾層板結構任意位置的撓度值ω，后文通過ω求解棚洞頂板內(nèi)力表達式及頂板應變能。

本文通過疊加思想推導出的夾層板結構總撓度表達式與Reissner理論推導得出的最終撓度表達式相同[10]，說明本文夾層板撓度計算方法就是Reissner理論解之一。

3.5 等效薄板的撓度

等效薄板的撓度ωsp的計算即為簡支板在法向集中荷載F(ζ,η)作用下的撓度求解。由于均質(zhì)薄板撓度問題的求解方法較為豐富，有經(jīng)典的萊維方法與納維方法，基于變分原理的里茨法和加伽遼金法等，本文采用經(jīng)典納維方法得出的納維解[11]進行計算。

經(jīng)典納維方法撓度表達式[11]為：

(12)

式中：D0——等效薄板彎曲剛度/(N/m)；

F——法向集中荷載，即式(36)求得的最大沖擊力/N；

ζ、η——集中力在圖6坐標系中作用點的橫縱坐標；

a、b——等效薄板的長度與寬度，與棚洞板相同/mm。

4 棚洞結構頂板內(nèi)力計算

4.1 內(nèi)力表達式

棚洞頂板與橫梁為簡支搭接，將棚洞頂板簡化為單向簡支板(圖6)。圖中a為單向簡支板搭接長度(mm)，b為自由端寬度(mm)，t為簡支板厚度(mm)。

圖6 棚洞頂板簡化示意圖Fig.6 Simplified schematic of the roof of the shed

據(jù)彈塑性力學定義，棚洞頂板屬于薄板類型，薄板內(nèi)應力分量的表達式[10]：

(13)

式中：Mx——板垂直與X軸截面彎矩/N·m；

My——板垂直與Y截面彎矩/N·m；

Mxy——XY平面扭矩/N·m；

τxz——板垂直與X軸截面的剪力值/N；

D——板的彎曲剛度/(N·m-1)；

μ——板的泊松比；

E——板的彈性模量/MPa；

ω——頂板在集中荷載作用下的撓度/mm。

將式(11)得出的棚洞頂板的撓度值函數(shù)表達式帶入式(13)即可求解得出棚洞頂板在法向集中荷載F(ζ、η)作用下棚洞頂板的內(nèi)力表達式。

4.2 頂板應變能

通過薄板理論推導得出，薄板單位面積應變能公式為[10]：

(14)

式中：W——薄板單位面積應變能/J。

對單位面積的應變能在面上積分可得棚洞

板的整體的應變能公式為：

Dj:0≤x≤b,0≤y≤a

(15)

式中：U——棚洞頂板整體的應變能/J；

Dj——積分域；

ω——棚洞頂板的撓度值/mm。

將式(11)得出的棚洞頂板的撓度值函數(shù)表達式帶入式(15)，可以求解出在集中荷載F(ζ、η)的作用下，棚洞頂板整體的應變能。

5 梁的彎曲

落石沖擊力在作用到棚洞頂板后，頂板將其以剪力的形式傳遞給橫梁，橫梁通過豎向分布力對頂板起支撐作用[12]。

5.1 橫梁的剪力與彎矩

將板垂直與X軸截面的剪應力τxz沿厚度方向積分得到橫梁所受剪力，由式(13)中τxz的計算式可得橫梁剪力Q的公式為：

(16)

式中：Q——橫梁所受剪力值/N；

t——棚洞頂板的厚度/mm。

由于頂板兩搭接端受力對稱，在圖6取Y軸上微段dy為研究對象，橫梁剪力Q在Y方向上分布見圖7。

圖7 橫梁作用力分布圖示Fig.7 Schematic diagram of beam force distribution

縱梁對橫梁起支撐作用(圖7)，A端的作用力為橫梁剪力沿長度y方向的積分，可以表示為：

(17)

式中：F2——橫梁對縱梁的作用力/N。

同理，可得圖7中B端的反作用力F3。

縱梁下部的消能支座支撐上部結構，故F2可以表示消能支座支座反力的大小。當落石的沖擊速度小于第一界限速度V1或者大于第二界限速度V2時，由于連接在橫梁與縱梁之間的耗能薄壁管不發(fā)生疊縮，F(xiàn)2即為棚洞受到落石沖擊作用下，縱梁傳遞給消能支座的作用力。

橫梁受到縱梁的支撐力與棚洞頂板的剪力作用，故在圖6中橫梁上距離坐標原點為的L的任意截面的彎矩表達式為：

(18)

式中：L——圖6中Y軸上截面距原點的距離/mm。

5.2 縱梁支座反力

當沖擊力通過縱梁傳遞到消能支座后，消能支座以支座反力的形式作用于縱梁。選擇三跨縱梁分析[12]，假定F3>F2(如圖8所示，結構整體呈現(xiàn)左高右低，向右側傾斜)，進行受力分析。

圖8 縱梁內(nèi)力三跨示意圖Fig.8 Schematic diagram of the three-span internal force of the longitudinal beam

對縱軸力的平衡：

Kx1+Kx2+Kx3+Kx4=F2+F3

(19)

式中：F2、F3——縱梁受到橫梁的壓力/N；

x1、x2、x3、x4——彈簧1、2、3、4的變形量/mm；

K——消能支座內(nèi)部彈簧彈性系數(shù)。

對縱軸力矩平衡：

Kx2+2Kx3+3Kx4=F2+2F3

3Kx1+2Kx2+Kx3=2F2+F3

Kx1+F3=Kx3+Kx4

(20)

由式(19)、(20)可知此時該結構為二次超靜定結構，需補充方程進行計算。由于消能支座在荷載作用下發(fā)生位變，縱梁也會發(fā)生傾斜位變，彈簧的變形呈等差變化。通過彈簧結構變形協(xié)調(diào)可建立補充方程：

x2-x4=2(x3-x4)

x1-x2=x3-x4

(21)

聯(lián)立公式(25)(26)(27)可得：

(22)

帶入可得彈簧的支座反力為：

Fi=Kxi,i=1、2、3、4

(23)

通過式(23)可以分析立柱的受力情況。

6 二次消能裝置力學特性

LD2Y鋁合金的軸向壓縮破壞模式為軸對稱疊縮模式[8]，由于橫梁與縱梁之間存在緩沖消能支座，可以近似的認為金屬圓柱管消能器承受的是低速撞擊，因此本文通過靜力屈服分析近似替代實際沖擊過程中的動力屈服。

6.1 耗能薄壁管的變形

如圖4所示，耗能薄壁管結構不斷疊縮過程中，其承載力會出現(xiàn)周期變化特征，并存在一個相對穩(wěn)定的平均值，稱作平均壓垮荷載pm。其壓力變形模型可以簡化為[8]：

(24)

式中：p0——薄壁管承載力/N；

pm——平均壓垮荷載/N；

k0——材料的彈性系數(shù)/(N·mm-1)；

δD——首次疊縮破壞的臨界變形量/mm；

δy——薄壁管變形量/mm。

耗能薄壁管承載力與變形示意圖(圖9)。

圖9 金屬圓柱管軸向受力變形圖Fig.9 Axial deformation diagram of metal cylindrical tube

6.2 耗能薄壁管軸壓吸能的塑性鉸分析

金屬薄壁管軸壓吸能分析模型中，不考慮有效長度的直鏈型塑性鉸模型[8]的結果與實驗很吻合，同時具有簡單、易得的優(yōu)點，故本文據(jù)此進行分析計算。薄壁管軸對稱疊縮模式過程可簡化為圖10所示的模型。假設材料是理想鋼塑性的，其中已屈服部分是在管外側翻疊，此時管壁可以按照Timoshenko梁來分析。

圖10 軸對稱疊縮模型Fig.10 Axisymmetric collapse model

這種模式中能量的耗散由彎曲變形能和伸張變形能兩部分構成。假定彎矩和膜力之間沒有耦合，且tm和H0在變形過程都保持不變。在靜態(tài)壓縮下該模式一個疊縮吸收的彎曲變形能為：

E1=4πM0(πR+H0)

(25)

式中：E1——一次疊縮吸收的彎曲變形能/J；

M0——材料單位長度塑形極限彎矩/(kN·m)；

R——管的半徑/mm；

H0——待定的疊縮長度/mm。

該模式一個疊縮過程中的伸張變形能為：

(26)

式中：E2——一次疊縮吸收的伸張變形能/J；

σ0——材料的屈服強度/MPa；

tm——管的壁厚/mm。

軸對稱疊縮破壞過程中，一個疊縮過程的能量平衡有：

pm·2H0=E1+E2

(27)

由?(pm/M0)/(?H)=0可得：

(28)

式中：D2——管的外徑/mm。

由以上兩式可把平均壓垮荷載pm近似取為：

(29)

金屬薄壁管軸對稱疊縮破壞總的吸能公式為：

(30)

式中：E3——每個金屬薄壁管完全疊縮破壞后吸收的能量/J；

n——金屬薄壁管的軸對稱疊縮次數(shù)。

7 結構動力響應

落石對棚洞的沖擊能量主要轉化為棚洞板的彎曲應變能、消能支座的彈性應變能以及耗能薄壁管的塑性變形能。根據(jù)不同的落石沖擊速度對應的棚洞消能支座及二次消能裝置不同的工作狀態(tài)，本文將動力響應分為四個階段[13-15]，并通過能量守恒原理得出大致的界限沖擊速度，分別定義為第一、第二、第三界限沖擊速度為V1、V2、V3。

7.1 完全彈性應變階段

當沖擊速度小于第一界限速度V1時，落石的沖擊能量大部分被消能支座吸收，少部分被棚洞結構消耗，耗能薄壁管處在彈性應變階段，其吸能效果可以忽略不計。

此時沖擊能量完全由消能支座吸收，臨界狀態(tài)為落石最大沖擊力達到耗能薄壁管的最大承載力Py，據(jù)式(24)可得此時Py=k0δD，可得：

(31)

式中：M——落石質(zhì)量/t；

λ——拉梅系數(shù)，取1 000 kN·m-2；

H1——落石的等效自由高度/m ；

k0——LD2Y鋁合金[8]的彈性系數(shù)。

通過式(31)，計算得出該臨界狀態(tài)對應的落石等效自由高度H1。

忽略空氣等其他因素，落石下落過程中能量守恒：

(32)

式中：Hi——落石的等效自由高度/m；

Vi——落石的界限沖擊速度/(m·s-1)。

將H1帶入式(32)可得第一臨界速度V1。

7.2 塑形變形耗能階段

當沖擊速度達到第一界限速度V1時，耗能薄管渡過彈性屈服階段后，開始疊縮破壞，通過軸對稱疊縮破壞不斷吸收落石的沖擊能量。

臨界狀態(tài)為耗能薄壁管完全疊縮，參考相關實驗結果[8]，本文選用的LD2Y鋁合金薄壁管的疊縮次數(shù)n=7，棚洞頂板有四個耗能薄壁管與消能支座。

此時消能支座的變形公式為：

(33)

式中：H2——落石的等效自由高度/m；

K——消能支座內(nèi)部彈簧彈性系數(shù)；

落石的沖擊能量轉化為棚洞頂板的應變能U1、疊縮破壞的變形能E3和耗能支座的應變能，據(jù)能量守恒：

(34)

式中：U1——式(15)求得的落石等效自由高度為H2時棚洞頂板的應變能/J。

聯(lián)立式(33)、(34)求解H2，帶入式(32)，可得第二臨界速度V2。

7.3 薄管耗能結束階段

當沖擊速度達到第二界限速度V2時，金屬薄壁管完全疊縮破壞，此時結構消能主要依靠消能支座。臨界狀態(tài)為消能支座均達到允許最大位移，同上可得，據(jù)能量守恒：

(35)

式中：H3——落石的等效自由高度/m；

U2——式(15)求得的落石自由高度為H3時棚洞頂板的應變能/J；

xmax——支座的設計允許最大位移/mm。

計算得出H3，帶入式(32)，可得第三臨界速度V3。

7.4 結構塑性破壞階段

當落石的沖擊速度超過第三界限速度V3時，消能支座達到完全工作狀態(tài)。沖擊速度繼續(xù)增大，組合式棚洞結構整體將進入塑性破壞階段[14]。

8 實例分析

為驗證組合式棚洞優(yōu)化結構設計的合理性，以國道G318四川甘孜州折多山路段危巖崩塌防護工程為例。線路位于V型高深峽谷底部，兩側山體陡峻，構造發(fā)育，巖體破碎、風化強烈，位于金沙江地震帶，震后次生崩塌落石災害嚴重。鑒于該區(qū)特殊的地形地貌及災害特點，在需要應急搶險救援或者臨時通過時選用組合式棚洞優(yōu)化結構。棚洞內(nèi)側有一體積V=0.8 m3的危巖塊從H=6 m高處落下，其容重為γ=28 kN/m3，橫向方向落點位于距離外側立柱2.5 m處，縱向方向的落點位于跨中。

8.1 結構設計

選用的棚洞頂板參數(shù)為長a=5 000 mm，寬b=4 000 mm，芯材厚度h=50 mm，面板厚度t0=10 mm,鋼板彈性模量Ef=2.1×105MPa，泊松比μ=0.25，夾芯的剪切彈性模量Gc=800 MPa。

消能支座的彈簧長度[6]為L0=500 mm,剛度系數(shù)D1=6 000 kN/m，允許最大位移xmax=100 mm。

二次消能選用的LD2Y鋁合金是鋁-鎂-硅系可熱處理強化鋁合金[8]，含少量銅合金元素，具有中等強度和較高的塑形。具體參數(shù)：管的內(nèi)側半徑R=41 mm，管的外徑D=98 mm，壁厚tm=8 mm，待定的疊縮長度H0=10 mm，屈服強度σ0=206 MPa，單位長度塑形極限彎矩M0=59.5 kN·m，棚洞的其他部分采用C30混凝土，彈性模量E1=31.5 GPa；縱向方向(沿公路走向方向)棚洞總長為40 m共10跨。

8.2 結構的動力響應界限沖擊速度

通過前文的應變能公式，帶入案例數(shù)據(jù)可以得出當沖擊速度小于第一界限速度時，棚洞結構處于完全彈性應變階段[14]；當沖擊速度達到第一界限速度6.24 m/s時，耗能薄壁管開始疊縮耗能；達到第二界限速度13.5 m/s時，二次消能裝置進入完全工作狀態(tài)；達到第三界限速度15.2 m/s時，結構開始產(chǎn)生整體塑性破壞。

8.3 結構內(nèi)力計算

落石最大沖擊力按日本道路公團算法[13]計算：

(36)

式中：F——落石最大沖擊力/kN；

M——落石質(zhì)量/t;

λ——拉梅系數(shù)/(kN·m-2)；

H——落石的自由高度/m。

由式(36)求得最大落石沖擊力為105.6 kN，按照前文消能棚洞結構相對應的內(nèi)力計算方法，運用MATLAB計算軟件進行求解[16-17]，得出在最大沖擊力作用下組合式棚洞與組合棚洞優(yōu)化結構的橫梁、縱梁及立柱的內(nèi)力和彎矩(圖11～圖12)。

圖11 自重+落石沖擊力工況時組合式棚洞橫梁、縱梁與立柱的內(nèi)力Fig.11 Internal forces of beams, longitudinal beams and columns of combined shed before optimization under self-weight+falling rock impact condition

圖12 自重+落石沖擊力工況時組合棚洞優(yōu)化結構橫梁、縱梁及立柱的內(nèi)力Fig.12 The internal forces of beams, longitudinal beams and columns of combined shed after optimization under self-weight+falling rock impact conditions

在自重+落石沖擊力作用下，從圖(11)、圖(12)可以得出:優(yōu)化前后的組合式棚洞各處最大彎矩值見表2。

表2 棚洞最大彎矩值/(kN·m)Table 2 Maximum bending moment around the shed (kN·m)

綜上可知，優(yōu)化后的組合式棚洞結構在原設計的基礎上，棚洞結構橫梁最大彎矩以及縱梁上下側最大彎矩比優(yōu)化前分別降低了19.7%， 23.7%和10.2%。

9 結論

(1)優(yōu)化了組合式棚洞結構的承沖板，增設了薄壁管二次消能裝置。

(2)基于夾層板等效理論，建立了承沖板彎矩和剪力對面板與夾芯層撓度計算公式，據(jù)此得到承沖板各個位置的撓度計算式，利用薄板理論建立了棚洞頂板的內(nèi)力計算式。

(3)將組合式棚洞優(yōu)化結構在落石沖擊作用下的動力響應分為四個階段，建立了三個臨界沖擊速度的計算式。

(4)案例分析表明，優(yōu)化后棚洞結構橫梁最大彎矩以及縱梁上下側最大彎矩比優(yōu)化前分別降低了19.7%， 23.7%和10.2%；計算得出第一、第二、第三界限沖擊速度分別為6.24 m/s、13.50 m/s、15.20 m/s。