數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

(商洛學(xué)院 陜西 商洛 726000)

一、緒論

在二十年的發(fā)展歷程中，數(shù)學(xué)建模得到了良好的成效，基于其長(zhǎng)久的發(fā)展歷史，大部分研究人員開(kāi)始進(jìn)行深入的研究與總結(jié)。本文從數(shù)學(xué)建模眾多角度研究國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)建模的發(fā)展和使用現(xiàn)狀，進(jìn)而尋找到出現(xiàn)的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，為后續(xù)的發(fā)展準(zhǔn)備良好的借鑒。

二、數(shù)學(xué)建模在經(jīng)濟(jì)領(lǐng)域中的應(yīng)用

(一)構(gòu)建經(jīng)濟(jì)數(shù)學(xué)的一般步驟。要想使用數(shù)學(xué)模型來(lái)全面處理現(xiàn)實(shí)經(jīng)濟(jì)學(xué)問(wèn)題，重點(diǎn)被劃分成兩部分，首先要全面了解問(wèn)題出現(xiàn)的背景且了解具體情況，之后利用假定方式來(lái)了解目前的現(xiàn)實(shí)問(wèn)題，利用抽象和形象化模式創(chuàng)建符合需求的數(shù)學(xué)模型。使用數(shù)學(xué)知識(shí)與方式來(lái)敘述問(wèn)題內(nèi)變量參數(shù)間的緊密關(guān)系。如此就能得到眾多與之相關(guān)的經(jīng)濟(jì)類信息，之后把建模內(nèi)得出的數(shù)據(jù)和真實(shí)情況進(jìn)行對(duì)比與研究，最后得到結(jié)果。

例：設(shè)某產(chǎn)品可確保最低出售10000件，每件價(jià)格是50元。假如銷(xiāo)售量提高，可依照每銷(xiāo)售增加2000件，每件減少2元的比值適當(dāng)調(diào)低價(jià)格。目前制造此產(chǎn)品的固定費(fèi)用是60000元，可變成本是每件20元，假設(shè)此產(chǎn)品是以銷(xiāo)定產(chǎn)(也就是產(chǎn)量和銷(xiāo)售量均等)的。請(qǐng)問(wèn)產(chǎn)量是多少時(shí)，才可以得到最高經(jīng)濟(jì)效益？

解：設(shè)此產(chǎn)品的產(chǎn)量是X件，那么成本函數(shù)為T(mén)(x)=60000+20x，價(jià)格函數(shù)是，收入函數(shù)是D(x)=xP(x)，利潤(rùn)函數(shù)是L(x)=D(x)-T(x)，站在利潤(rùn)比低于零的角度分析利潤(rùn)函數(shù)的定義域，解得x超過(guò)1560，此外不大于38500，由于原題內(nèi)最少出售一萬(wàn)件的條件，假定產(chǎn)量x的范圍是大于等于10000，此外小于等于38500。讓D(x)=200，得出x=30000，此時(shí)D″(x)<0，此外D(x)在[10000,38500] 內(nèi)只存在單個(gè)駐點(diǎn)，則肯定出現(xiàn)對(duì)照收入最高的產(chǎn)量，根據(jù)數(shù)學(xué)分析內(nèi)導(dǎo)數(shù)的知識(shí)了解到此產(chǎn)品的產(chǎn)量是三萬(wàn)件得到最高效益。此外，讓L′(x)=0，得出x=20000，此時(shí)L″(x)<0，且L(x)在[10000,38500]內(nèi)只存在單個(gè)駐點(diǎn)，則肯定會(huì)出現(xiàn)對(duì)照于利潤(rùn)最高的產(chǎn)量，因此在產(chǎn)量是兩萬(wàn)件時(shí)效益最高。對(duì)比兩萬(wàn)件與三萬(wàn)件時(shí)的效益，明顯前者利潤(rùn)收益更高，因此產(chǎn)量確定城兩萬(wàn)件時(shí)可得到最高效益，最高效益是三十四萬(wàn)元。因此可知在現(xiàn)實(shí)管理中不能只尋求收入最高，而不思考利潤(rùn)怎樣，收入最大需要將利潤(rùn)最高當(dāng)做基礎(chǔ)要素。

現(xiàn)實(shí)運(yùn)作時(shí)期，利用對(duì)市場(chǎng)的深入調(diào)查和信息收集，且使用上述研究和統(tǒng)計(jì)，讓決策者按時(shí)調(diào)節(jié)生產(chǎn)和銷(xiāo)售方案，就可以全面的對(duì)市場(chǎng)開(kāi)展監(jiān)管和調(diào)節(jié)，其是經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)普遍使用的關(guān)鍵定義，在預(yù)估市場(chǎng)結(jié)果、研究市場(chǎng)受到干預(yù)時(shí)所出現(xiàn)變動(dòng)等部分具備關(guān)鍵影響，是公司管理層使用數(shù)學(xué)方式做出決策的重要研究工具。因此可知，“彈性”是調(diào)節(jié)供需關(guān)系的核心。

(三)應(yīng)用“拉格朗日乘數(shù)法”解決優(yōu)化問(wèn)題。對(duì)于函數(shù)u=f(x,y,z)，在條件m(x,y,z)=0,n(x,y,z)=0的條件下求最大值或最小值問(wèn)題，也就是在條件極值問(wèn)題。例如，一個(gè)工廠的收益是由其成木與價(jià)格以及其余相關(guān)因素確定的，此處就涵蓋比如人事支出成本、電費(fèi)、垃圾處置費(fèi)等眾多囚素，所以無(wú)直接利用售價(jià)減去費(fèi)用的運(yùn)算得出結(jié)果，此時(shí)要?jiǎng)?chuàng)建數(shù)學(xué)模型處理。在上述換機(jī)中，條件極值模型隨之出現(xiàn)。因此，我們需要?jiǎng)?chuàng)建輔助函數(shù)F(x,y,z,λ,μ)=f(x,y,z)+λm(x,y,z)+μn(x,y,z)

全部滿足此方程組的解(x,y,z,λ,μ)中(x,y,z)是在條件m(x,y,z)=0,n(x,y,z)=0下的可能極值點(diǎn)，最終在也許存在的極值點(diǎn)中得出最大值點(diǎn)或最小值點(diǎn)，具備優(yōu)化功能。

結(jié)論

本文研究數(shù)學(xué)建模對(duì)經(jīng)濟(jì)發(fā)展的影響，論述經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域內(nèi)的彈性模型與馬爾薩斯的人口模型的現(xiàn)實(shí)案例，此外深入研究數(shù)學(xué)建模能力相關(guān)標(biāo)準(zhǔn)，在現(xiàn)實(shí)使用中，數(shù)學(xué)建模需要對(duì)市場(chǎng)進(jìn)行相應(yīng)的調(diào)查和信息收集，且進(jìn)行深入研究和計(jì)算，讓管理層盡早調(diào)節(jié)生產(chǎn)和銷(xiāo)售計(jì)劃，如此才可以對(duì)市場(chǎng)開(kāi)展監(jiān)控和調(diào)節(jié)。然而數(shù)學(xué)建模在國(guó)內(nèi)經(jīng)濟(jì)行業(yè)內(nèi)始終位于發(fā)展早期，數(shù)學(xué)建模能力需要不斷提升。所以在國(guó)內(nèi)社會(huì)經(jīng)濟(jì)持續(xù)發(fā)展的時(shí)候，需要提升數(shù)學(xué)建模的教育水平。希望利用本文分析，能夠促使大眾更加重視數(shù)學(xué)建模，提高整體水平，進(jìn)一步加快國(guó)內(nèi)社會(huì)經(jīng)濟(jì)的發(fā)展。