壓電陶瓷復(fù)合換能器固有頻率的有限差分法?

張 超 姚春東 具自強(qiáng) 賈賀通 董子龍 武 勇

0 引言

超聲換能器是超聲振動(dòng)系統(tǒng)中最重要的部分之一[1]。在1880年居里兄弟發(fā)現(xiàn)壓電效應(yīng)以及1916年法國物理學(xué)家郎之萬發(fā)明壓電換能器之后[2]，壓電陶瓷換能器因其機(jī)電轉(zhuǎn)換效率高、成本低、容易成型等優(yōu)勢，已成為應(yīng)用最為廣泛的一種換能器。壓電陶瓷復(fù)合超聲換能器是近幾年國內(nèi)外專家學(xué)者的研究熱點(diǎn)。事實(shí)上，壓電陶瓷復(fù)合超聲換能器的結(jié)構(gòu)形式多種多樣，例如：壓電陶瓷圓管復(fù)合超聲換能器(由壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管組成)、鑲拼式復(fù)合壓電超聲換能器(由金屬預(yù)應(yīng)力管、可調(diào)柱形彈性脹套內(nèi)芯和柱面壓電陶瓷環(huán)組組成)、寬頻帶壓電陶瓷換能器(由兩個(gè)徑向增強(qiáng)復(fù)合振子沿軸向疊加組成)等[3?5]。該類換能器的結(jié)構(gòu)形式大多是在壓電陶瓷圓環(huán)(管)與金屬圓環(huán)(管)的復(fù)合結(jié)構(gòu)上進(jìn)行的進(jìn)一步改進(jìn)或集成。

為獲得換能器的最佳工作狀態(tài)，換能器的工作頻率需為其固有頻率，因此對換能器徑向振動(dòng)固有頻率的計(jì)算就顯得極為重要?？紤]到換能器中壓電陶瓷圓管與金屬外圓管復(fù)合結(jié)構(gòu)的典型性，本文以由徑向極化的壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管沿徑向復(fù)合而成的二元壓電陶瓷復(fù)合換能器為例，利用有限差分法，通過對其固有頻率的研究，以期說明有限差分法在計(jì)算壓電陶瓷復(fù)合超聲換能器固有頻率方面的可行性及準(zhǔn)確性。相關(guān)專家對上述結(jié)構(gòu)換能器的固有頻率進(jìn)行了大量研究。例如：文獻(xiàn)[6]基于薄殼理論，忽略了壓電陶瓷薄圓管中的徑向正應(yīng)力及剪切力，分析了壓電陶瓷薄圓管換能器的固有頻率。文獻(xiàn)[7]對由徑向極化的壓電陶瓷薄壁圓管和金屬薄壁預(yù)應(yīng)力管復(fù)合而成的換能器進(jìn)行了固有頻率的相關(guān)研究。文獻(xiàn)[8]研究了由壓電陶瓷薄壁圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管所復(fù)合而成的換能器，對其固有頻率進(jìn)行了相關(guān)計(jì)算。文獻(xiàn)[9]則研究了由徑向極化的壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管沿徑向復(fù)合而成的換能器，將其近似看成力學(xué)中的平面應(yīng)變問題，分析了其純粹的徑向振動(dòng)，得出了其等效電路及頻率方程。針對上文中所指出的幾種換能器的研究，都是基于本構(gòu)方程、相容方程、波動(dòng)方程，將換能器等效為等效電路圖，從而推導(dǎo)出換能器徑向振動(dòng)的頻率方程。這種方法可以對換能器徑向振動(dòng)的固有頻率進(jìn)行計(jì)算，但計(jì)算過程較為繁瑣，且不易于計(jì)算機(jī)實(shí)現(xiàn)。

與之相比，有限差分法是求解變系數(shù)微分方程的有效手段，具有適用性強(qiáng)、邏輯清晰、計(jì)算機(jī)可編程程度高等顯著優(yōu)點(diǎn)[10]。利用有限差分法對換能器固有頻率進(jìn)行計(jì)算，可以大大縮短數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，公式復(fù)雜程度也會(huì)得以簡化，還可進(jìn)一步簡化計(jì)算機(jī)編程過程。且有限差分法對換能器固有頻率進(jìn)行計(jì)算未見相關(guān)公開報(bào)道?；谝陨峡紤]，本文提出計(jì)算換能器固有頻率的有限差分法，希望能夠豐富換能器固有頻率的研究理論，以及提供一種新的計(jì)算方法供工程人員選擇。本文推導(dǎo)了該換能器徑向振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型及其有限差分形式，給出了對換能器徑向振動(dòng)固有頻率理論計(jì)算的有限差分方法，并分析了換能器徑向振動(dòng)固有頻率與其結(jié)構(gòu)尺寸的影響關(guān)系。本文所建立的換能器徑向振動(dòng)固有頻率的有限差分法具有一定的通用性，同樣適用于結(jié)構(gòu)形式相近的換能器及其他元器件。

1 換能器徑向振動(dòng)的有限差分形式

為便于研究，做如下假設(shè)：(1)換能器的軸向尺寸遠(yuǎn)大于其徑向尺寸，按照彈性力學(xué)中的平面應(yīng)變問題[11]，忽略其軸向振動(dòng)，將其看作純徑向振動(dòng)進(jìn)行分析。(2)忽略壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管之間過盈量的影響。

圖1為一個(gè)由內(nèi)部徑向極化的壓電陶瓷圓管和外部金屬預(yù)應(yīng)力管復(fù)合而成的壓電陶瓷復(fù)合超聲換能器，圖1(a)褐色部分為壓電陶瓷圓管，空白部分為金屬預(yù)應(yīng)力管。ra、rb分別為壓電陶瓷圓管內(nèi)外徑；rb、rc分別為金屬預(yù)應(yīng)力管內(nèi)外徑；h為換能器的高度；Er為外界激勵(lì)電壓。壓電陶瓷圓管和外部金屬預(yù)應(yīng)力管為過盈配合。工作時(shí)，給予壓電陶瓷圓管以外界電壓激勵(lì)，激發(fā)外部金屬預(yù)應(yīng)力管發(fā)生徑向振動(dòng)，從而沿徑向產(chǎn)生聲波輻射。

圖1 換能器結(jié)構(gòu)示意圖Fig.1 Schematic diagram of the transducer structure

1.1 換能器徑向振動(dòng)的力學(xué)模型

由換能器的結(jié)構(gòu)及工作原理，將換能器簡化為由壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管組成的組合厚壁筒力學(xué)模型。圖2為壓電陶瓷復(fù)合超聲換能器力學(xué)模型，Pe為換能器所受環(huán)境載荷。

圖2 換能器徑向振動(dòng)的力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of radial vibration of transducer

1.2 換能器徑向振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型

固有頻率是物體的固有屬性[12]，進(jìn)行換能器固有頻率計(jì)算時(shí)換能器應(yīng)處于自由振動(dòng)狀態(tài)，此時(shí)沒有外加電壓激勵(lì)和環(huán)境壓力。針對1.1 節(jié)所建立的力學(xué)模型，綜合壓電彈性力學(xué)、厚壁筒理論可推導(dǎo)出換能器徑向振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型為

其中，

式中，u1r、u2r分別為壓電陶瓷圓管、金屬預(yù)應(yīng)力管的徑向位移；分別為聲波在壓電陶瓷材料、金屬材料中的徑向傳播速度；ρ1、ρ2分別為壓電陶瓷、金屬材料的密度；σ1r、σ1θ、σ2r、σ2θ分別為壓電陶瓷圓管、金屬預(yù)應(yīng)力管的徑向、周向應(yīng)力；SE11、SE12、SE13、SE33分別為壓電陶瓷的彈性柔順常數(shù)；E、γ分別為金屬材料的楊氏模量和泊松比。

1.3 數(shù)學(xué)模型的有限差分形式

利用有限差分法進(jìn)行計(jì)算，需先建立換能器徑向振動(dòng)的離散模型。取r-z平面為研究平面，沿徑向?qū)Q能器進(jìn)行離散為I個(gè)節(jié)點(diǎn)，單元長度為dr。壓電陶瓷圓管內(nèi)壁處為第一個(gè)節(jié)點(diǎn)，壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管配合處為節(jié)點(diǎn)i0，金屬預(yù)應(yīng)力管外壁處為節(jié)點(diǎn)I。圖3為換能器徑向振動(dòng)的離散模型示意圖。

對位移函數(shù)進(jìn)行分離變量，有u1r=u1ejωt、u2r=u2ejωt，并由牛頓前差公式、中心差分公式，可得以下結(jié)論。

在壓電陶瓷圓管內(nèi)邊界處， 0 邊界條件σ1r|r=ra=0的差分形式為

壓電陶瓷圓管波動(dòng)方程的差分形式為

圖3 換能器徑向振動(dòng)的離散模型Fig.3 Discrete model of radial vibration of transducer

其中，

式中，k1=ω/V1為壓電陶瓷圓管振子徑向振動(dòng)的波數(shù)；

壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管連續(xù)處，節(jié)點(diǎn)i0的差分形式為

其中，

金屬預(yù)應(yīng)力管的波動(dòng)方程的差分形式為

其中，

金屬預(yù)應(yīng)力管外壁邊界處，邊界條件σ2r|r=rc=0的差分形式為

其中，

由以上結(jié)論，可以得到如下n階齊次方程組：

根據(jù)本文所建立的有限差分法，可以對式(2)～(6)進(jìn)行變形處理為

式(8)中的第1 式和第5 式分別對應(yīng)所建立力學(xué)模型的內(nèi)外邊界條件，在處理邊界條件時(shí)，可以引入有限差分法進(jìn)行邊界處的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算；第2 式、第3式和第4 式可以對內(nèi)部節(jié)點(diǎn)進(jìn)行數(shù)值計(jì)算。當(dāng)對時(shí)間同樣進(jìn)行離散處理時(shí)，并給定初始位移和初始速度時(shí)，可以根據(jù)所建立的有限差分法構(gòu)建如圖4所示的差分網(wǎng)格。

圖4 差分網(wǎng)格Fig.4 Difference grid

圖4中，矩形a 表示有限差分法進(jìn)行計(jì)算時(shí)內(nèi)邊界處(第1 個(gè)節(jié)點(diǎn))是如何進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的：首先假設(shè)內(nèi)邊界處節(jié)點(diǎn)位移為0；其次，根據(jù)初始條件計(jì)算出其他內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移；最后根據(jù)第2 個(gè)節(jié)點(diǎn)對內(nèi)邊界處節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行覆蓋計(jì)算。矩形b 表示有限差分法進(jìn)行計(jì)算時(shí)外邊界處(第I個(gè)節(jié)點(diǎn))是如何進(jìn)行數(shù)值計(jì)算的：首先，根據(jù)初始條件計(jì)算出其他內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的位移；最后根據(jù)第I-1個(gè)節(jié)點(diǎn)對外邊界處節(jié)點(diǎn)位移進(jìn)行計(jì)算。矩形c、矩形d 則表示內(nèi)部節(jié)點(diǎn)的數(shù)值計(jì)算路線：某內(nèi)部節(jié)點(diǎn)每一時(shí)刻的位移是由前一時(shí)刻的3 個(gè)節(jié)點(diǎn)位移及前二時(shí)刻的一個(gè)節(jié)點(diǎn)位移計(jì)算所得。

2 換能器徑向振動(dòng)的特征方程

式(7)為齊次線性方程組，其有非零解的條件是系數(shù)行列式為0，即：

矩陣Q為三對角矩陣，由高斯消元法對行列式|Q|進(jìn)行處理，可得

其中，

方程(10)即為換能器徑向振動(dòng)的特征方程，求解方程(10)即可得換能器徑向振動(dòng)的n-1階固有頻率。

3 計(jì)算實(shí)例1

對壓電材料為PZT-4 和金屬預(yù)應(yīng)力管為鋁合金的換能器進(jìn)行固有頻率計(jì)算，以期驗(yàn)證有限差分法的可行性及準(zhǔn)確性。其材料參數(shù)為：ρ1=7500 kg/m3，SE11=12.3×10?12m2/N，SE12=-4.05×10?12m2/N，SE13=-5.31×10?12m2/N，SE33= 1.55×10?12m2/N，ρ2= 2700 kg/m3，E= 7.15×1010N/m3，γ= 0.34。其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：ra= 21 mm，rb= 26 mm，rc= 31 mm，l1=l2=34 mm。

利用數(shù)值仿真軟件進(jìn)行編程，取不同的節(jié)點(diǎn)數(shù)以檢驗(yàn)是否滿足計(jì)算精度。節(jié)點(diǎn)數(shù)與固有頻率關(guān)系曲線如圖5所示。由圖5可以看出，隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，固有頻率也隨之變大，直至接近某一固定值。針對該計(jì)算實(shí)例，可以看出，節(jié)點(diǎn)數(shù)從2001 個(gè)開始，固有頻率變化非常緩慢，有限差分法達(dá)到一定的精度要求。為保證計(jì)算結(jié)果的準(zhǔn)確性，取計(jì)算節(jié)點(diǎn)為2501 個(gè)，如表1所示，計(jì)算結(jié)果ft與文獻(xiàn)[7]已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果fe相差4.2%，符合很好，滿足工程要求。

圖5 頻率與節(jié)點(diǎn)數(shù)關(guān)系曲線Fig.5 Relationship between frequency and number of nodes

表1 換能器固有頻率的理論計(jì)算值及實(shí)驗(yàn)測量值Table 1 Theoretical calculation and experimental measurement of the natural frequency of the transducer

4 計(jì)算實(shí)例2

為進(jìn)一步驗(yàn)證有限差分法的可行性及準(zhǔn)確性，對與計(jì)算實(shí)例1 尺寸不同的換能器進(jìn)行計(jì)算，其材料參數(shù)與計(jì)算實(shí)例1 完全一致，其結(jié)構(gòu)參數(shù)為：ra= 50 mm，rb= 58 mm，rc= 63 mm，l1=l2=84 mm。

該計(jì)算實(shí)例固有頻率與節(jié)點(diǎn)數(shù)的關(guān)系曲線如圖6所示。由圖6可以看出，固有頻率在節(jié)點(diǎn)數(shù)為1951,之后變化非常緩慢，并隨著節(jié)點(diǎn)數(shù)的增加，逐漸接近某一固定值。為保證計(jì)算精度，取節(jié)點(diǎn)為2601 個(gè)，如表2所示，計(jì)算結(jié)果ft與文獻(xiàn)[7]已有實(shí)驗(yàn)結(jié)果fe相差1.85%，符合很好，滿足工程要求。

圖6 頻率與節(jié)點(diǎn)數(shù)關(guān)系曲線Fig.6 Relationship between frequency and number of nodes

表2 換能器固有頻率的理論計(jì)算值及實(shí)驗(yàn)測量值Table 2 Theoretical calculation and experimental measurement of the natural frequency of the transducer

5 換能器徑向振動(dòng)的固有頻率與其結(jié)構(gòu)尺寸的關(guān)系

針對不同結(jié)構(gòu)尺寸的換能器，給出其徑向振動(dòng)固有頻率與其結(jié)構(gòu)尺寸之間的關(guān)系。換能器主要的結(jié)構(gòu)尺寸為壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管的內(nèi)外徑，即ra、rb、rc。利用數(shù)值仿真軟件進(jìn)行編程計(jì)算，通過換能器徑向振動(dòng)特征方程得出不同結(jié)構(gòu)尺寸下的換能器徑向振動(dòng)的固有頻率。

保持壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管的壁厚不變，只改變壓電陶瓷圓管的內(nèi)徑，即ra。取ra= 21～31 mm，壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管的壁厚為5 mm，計(jì)算結(jié)果如圖7所示。由圖7可以明顯看出：換能器徑向振動(dòng)的固有頻率隨壓電陶瓷圓管內(nèi)徑的增大而降低。

圖7 固有頻率與壓電陶瓷圓管內(nèi)徑的關(guān)系Fig.7 Relationship between natural frequency and inner diameter of piezoelectric ceramic tube

保持換能器總壁厚不變，只改變壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管套裝處尺寸rb，取ra= 21 mm、rc= 31 mm。引入壁厚比λ= (rb-ra)/(rc-ra)，壁厚比表示壓電陶瓷圓管厚度占換能器總厚度的比例。當(dāng)λ為0時(shí)，換能器就成為了一個(gè)金屬預(yù)應(yīng)力管；λ為1 時(shí)，換能器就成為了一個(gè)壓電陶瓷圓管。計(jì)算λ= 0～1 時(shí)，結(jié)果如圖8所示。由圖8可以明顯看出：換能器徑向振動(dòng)的固有頻率隨換能器壁厚比的增大而降低。這可能是因?yàn)閴弘娞沾刹牧系膹椥阅Ａ勘冉饘俨牧系膹椥阅Ａ恳?，?dāng)換能器的壁厚比變大時(shí)，相當(dāng)于換能器中壓電陶瓷材料所占比例變大，因此固有頻率會(huì)變小。

圖8 固有頻率與壁厚比的關(guān)系Fig.8 Relationship between natural frequency and radius ratio

6 結(jié)論

(1)本文以由徑向極化的壓電陶瓷圓管與金屬預(yù)應(yīng)力管沿徑向復(fù)合而成的二元壓電陶瓷復(fù)合換能器為例，驗(yàn)證了有限差分法在計(jì)算壓電陶瓷復(fù)合超聲換能器固有頻率方面的可行性及準(zhǔn)確性。有限差分法可以大大縮短數(shù)學(xué)推導(dǎo)過程，簡化公式復(fù)雜程度和計(jì)算機(jī)編程過程。

(2)推導(dǎo)了換能器徑向振動(dòng)的數(shù)學(xué)模型及其有限差分形式，給出了徑向振動(dòng)的特征方程。通過對計(jì)算實(shí)例固有頻率的計(jì)算驗(yàn)證可知：對換能器所取離散節(jié)點(diǎn)處越多，計(jì)算結(jié)果越接近真實(shí)值，但會(huì)增加計(jì)算時(shí)長，需取用合適的節(jié)點(diǎn)處進(jìn)行理論計(jì)算。

(3)通過對不同結(jié)構(gòu)尺寸的換能器徑向振動(dòng)固有頻率的計(jì)算可知：換能器徑向振動(dòng)的固有頻率隨壓電陶瓷圓管內(nèi)徑的增大而降低，隨換能器壁厚比的增大而降低。

(4)本文所建立的換能器徑向振動(dòng)固有頻率的有限差分法具有一定的通用性，同樣適用于結(jié)構(gòu)形式相近的換能器及其他元器件。