斜率概念教學(xué)的反思與重構(gòu)

郭紅清　李其龍

[摘要]斜率的概念是高中解析幾何的教學(xué)起點(diǎn).對斜率概念教學(xué)的重難點(diǎn)把握、反思具有十分重要的意義.針對斜率概念教學(xué)中的疑點(diǎn)和難點(diǎn)，梳理典型案例進(jìn)行反思，并根據(jù)反思進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，以使斜率概念的教學(xué)定位更明確、更科學(xué).

[關(guān)鍵詞]斜率;概念教學(xué);反思;重構(gòu)

[中圖分類號]G633.6? [文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A? [文章編號]1674-6058（2020）02-0003-03

講清概念是概念教學(xué)課的基本任務(wù).形式上的完成并不等同于教學(xué)目標(biāo)的實(shí)現(xiàn).對概念教學(xué)的反思、重構(gòu)是必要的，是提高概念教學(xué)水平的必要途徑.反思、重構(gòu)應(yīng)成為數(shù)學(xué)概念教學(xué)活動的自覺行為.斜率概念是解析幾何的教學(xué)起點(diǎn)，是“數(shù)刻畫形”“數(shù)描述形”的第一個案例，也是解析法生成的源頭.在教學(xué)過程中教師認(rèn)真組織好這一概念的教學(xué)，有助于解析方法在學(xué)生腦海里“生根發(fā)芽

一、概念定位和思想分析

數(shù)學(xué)概念教學(xué)應(yīng)體現(xiàn)概念建構(gòu)的必要性、合理性和嚴(yán)謹(jǐn)性.不但要關(guān)注概念的邏輯結(jié)構(gòu)，更應(yīng)關(guān)注研究問題的一般方法，關(guān)注概念生成過程中學(xué)生的思維方式.斜率概念的教學(xué)仍然存在切入點(diǎn)的爭議，也帶來了建構(gòu)過程的不同，教學(xué)素材的應(yīng)用也不盡相同.本文試圖就斜率概念教學(xué)中的疑點(diǎn)和難點(diǎn)，梳理典型案例進(jìn)行反思，并根據(jù)反思進(jìn)行教學(xué)重構(gòu)，力爭該概念的教學(xué)定位更明確、更科學(xué)、更具有實(shí)踐價(jià)值.

蘇教版教材斜率的產(chǎn)生過程體現(xiàn)了幾何對象的“數(shù)量化”過程，斜率是核心知識，傾斜角屬于從屬地位.而且斜率也和平均變化率、導(dǎo)數(shù)概念、曲線的切割線相關(guān)，相較傾斜角更為重要.如果一節(jié)課的內(nèi)容看作“連續(xù)的時間”前后呼應(yīng)，那么斜率應(yīng)是教學(xué)承前啟后的關(guān)鍵節(jié)點(diǎn).

二、概念教學(xué)過程

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

[案例1]同學(xué)們小時候都玩過蹺蹺板，如果把蹺蹺板抽象為一條直線，那么蹺蹺板在運(yùn)動過程中就形成了一系列的直線，這些直線方向各不相同，但都經(jīng)過同一個點(diǎn)，經(jīng)過一個點(diǎn)有無數(shù)條直線.如果經(jīng)過一個點(diǎn)，直線的方向又是確定的，那么直線是否確定呢？

生：經(jīng)過一個點(diǎn)，直線的方向又是確定的，那么直線確定.但我們怎樣刻畫直線的方向呢？

師：問得好，這就是我們這一堂課要解決的問題，即如何刻畫直線的傾斜程度.

[反思]數(shù)學(xué)課堂的情境可以是生活中的例子.生活中給予直線的直觀認(rèn)識的事物過于平常，想出更為奇特的例子并無必要，但作為普遍存在的數(shù)學(xué)抽象概念卻有深入研究的必要，應(yīng)強(qiáng)調(diào)直線研究的必要性.

直線在很多學(xué)生的印象中已經(jīng)和一次函數(shù)等同起來，而我們要學(xué)習(xí)的直線與一次函數(shù)既有區(qū)別又有聯(lián)系，所以教學(xué)中既要聯(lián)系學(xué)生的已有認(rèn)知，又要打破學(xué)生“直線即一次函數(shù)”的認(rèn)知.因此，本節(jié)課以初中的一次函數(shù)引入更好.

關(guān)于“一點(diǎn)加方向能否確定直線”的問題學(xué)生除了回答“能”或“不能”外，并不能給出更多的解釋.因此，課堂設(shè)計(jì)的問題應(yīng)該有利于教學(xué)處理.本課的教學(xué)目標(biāo)應(yīng)凸出“直線方向的數(shù)量化”，提出的問題必須緊扣主題.

[重構(gòu)]設(shè)計(jì)有邏輯關(guān)系的問題來展開教學(xué)，激活學(xué)生頭腦中原有的知識，建立新概念和原有知識的聯(lián)系.

（1）通過一次函數(shù)來提出直線的數(shù)量化，得到進(jìn)一步認(rèn)識直線的必要性.

（2）以生活中的樓梯帶出“坡度”的數(shù)學(xué)表示，并進(jìn)一步推廣到直線的傾斜程度.

[課堂實(shí)錄]

師：解析幾何的基本思想是引進(jìn)“坐標(biāo)”，并刻畫幾何對象.點(diǎn)是最基本的幾何對象，點(diǎn)P和有序?qū)崝?shù)對（x，y）形成了對應(yīng)關(guān)系.根據(jù)約定的法則，一個點(diǎn)唯一的對應(yīng)數(shù)對（x，y），而依據(jù)x和y給定的兩個數(shù)，找到的點(diǎn)也是唯一的.那么作為組成平面圖形的基本對象直線應(yīng)該怎樣“數(shù)量化”？我們是否已經(jīng)用代數(shù)形式表示了直線？

生：初中的一次函數(shù)就表示直線，形如y=ax+b.

師：形如y=ax+b的數(shù)學(xué)形式是否表示了所有直線？是不是所有直線都能表示成y=ax+b？數(shù)字a，b的不同，表示的直線又有什么不同？兩點(diǎn)確定了一條直線，過一點(diǎn)的直線則有無數(shù)條，這無數(shù)條又存在什么不同？又該用怎樣的數(shù)進(jìn)行刻畫？

師：如圖1，坐標(biāo)系中給定一點(diǎn)P（x1，y1），給出另一點(diǎn)Q（x2，y2），那么得到的斜線段會隨著Q的不同而傾斜程度不同.怎么計(jì)算斜坡的傾斜程度？你是否曾經(jīng)衡量過坡的陡峭程度？

設(shè)計(jì)意圖：兩點(diǎn)構(gòu)造了斜坡，坡度來自于生活化的斜坡，貼近學(xué)生熟悉的知識儲備，有助于從初中知識遷移至新的情境.類比坡度的計(jì)算引出數(shù)學(xué)表示，同時坐標(biāo)化會存在表示長度不加絕對值的問題，有助于學(xué)生良好思維品質(zhì)的培養(yǎng).

2.總結(jié)提煉，建構(gòu)概念

[案例2]在以上的分析中引導(dǎo)學(xué)生得出：

已知直線l上有兩點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），

（1）若x1≠x2，直線l的斜率為

（2）若x1=x2，直線l的斜率不存在.

提醒學(xué)生注意：（1）斜率與給定直線上所取兩點(diǎn)的位置和順序無關(guān);（2）給定直線若存在斜率，則斜率是一個定值;（3）所取兩點(diǎn)，當(dāng)x1=x2時，斜率不存在，直線垂直于x軸;（4）所取兩點(diǎn)，當(dāng)y1=y2時，直線的斜率為0，直線垂直于y軸.

[反思]本課的難點(diǎn)在于斜率公式的建構(gòu)，輕描淡寫使得學(xué)生不能養(yǎng)成從概念出發(fā)的思維品質(zhì)，我們從一個初步的公式推進(jìn)，通過不斷追問引發(fā)矛盾沖突，并不斷完善概念.一個概念的形成是螺旋式上升的，概念反映的是一個過程而不只是結(jié)果.

上述案例四個結(jié)論并非是概念建構(gòu)的自然結(jié)果，是提醒而不是生成.提出概念的文字?jǐn)⑹?，只是概念的表象，概念還需要進(jìn)一步琢磨、反饋加以完善.斜率的概念及基本公式不能簡單地作為事實(shí)來接受，應(yīng)該對概念做批判性檢查，對照以上四點(diǎn)注意深入挖掘.

（1）直線上不僅僅只有兩點(diǎn)，為什么任取兩點(diǎn)計(jì)算的結(jié)果不變？可以讓學(xué)生探究.

（2）這一點(diǎn)其實(shí)和（1）表達(dá)的是同一意思，真正有待解決的是斜率給定，是否唯一對應(yīng)了直線方向？

（3）斜率的計(jì)算是有條件的，斜率的有和無實(shí)質(zhì)是概念定義的分類討論.

（4）斜率為0的情況在概念中并無獨(dú)立提出的必然性.可以納入到應(yīng)用環(huán)節(jié)，根據(jù)數(shù)值的符號及大小認(rèn)識直線的方向，屬于反向理解并應(yīng)用概念.

[重構(gòu)]通過引入部分得到的初步結(jié)果，深入探索，分析不足并加以完善，直到提出斜率概念文字表述，對概念反復(fù)推敲.認(rèn)識直線方向和斜率的一一對應(yīng)，體會幾何對象的數(shù)量化，認(rèn)識數(shù)和形的統(tǒng)一.從一一對應(yīng)關(guān)系深化概念理解，作為數(shù)學(xué)建構(gòu)的嚴(yán)謹(jǐn)化，這是必要的，這樣的教學(xué)示范也潛移默化地影響著學(xué)生的概念觀.

[課堂實(shí)錄]

師：作為坐標(biāo)表示運(yùn)算，用做結(jié)果需要注意什么？

生：除法運(yùn)算應(yīng)該考慮到分母不能為0，也就是x1≠x2.

師：傾斜程度與直線方向是否有區(qū)別，值確定，是否表示了唯一的方向？

生：遞增和遞減的直線相同，不能加以區(qū)別，應(yīng)去掉絕對值得.

設(shè)計(jì)意圖：從近似的形式逐步演化得到，找到注意點(diǎn)x1≠x2，為建構(gòu)斜率的概念鋪平道路.解釋了坡度和斜率的聯(lián)系與區(qū)別，可以說，直線斜率就是推廣了的坡度，將已有坡度概念遷移到坐標(biāo)背景下，遷移到更高數(shù)學(xué)抽象直線中，展示了數(shù)學(xué)概念的嚴(yán)謹(jǐn)化過程.

師：直線上有無數(shù)個點(diǎn)，任意取兩點(diǎn)計(jì)算得到的是同一結(jié)果嗎？同一個方向是同一個斜率嗎？

生：直線確定，取不同兩組點(diǎn)相當(dāng)于構(gòu)造兩個相似的直角三角形，算出的比值相等.

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步理解概念，而且回答了以上問題，確定了直線，斜率無論采用哪些點(diǎn)計(jì)算都為同一數(shù)值.直線方向確定，其斜率必唯一.學(xué)生可以從圖形直觀地給出解答.

師：應(yīng)用斜率公式有怎樣的要求，相應(yīng)圖形特征是什么？包含著怎樣的數(shù)學(xué)思想方法？

生：x1≠x2是應(yīng)用公式必然要求，也就是豎直直線不存在斜率，非豎直直線存在斜率，包含了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法.

設(shè)計(jì)意圖：針對結(jié)論中的注意點(diǎn)，是“聽到背住”還是“親口總結(jié)”，效果天壤之別，充分發(fā)揮學(xué)生的主體作用，提高學(xué)生對概念的認(rèn)識，使學(xué)生能自發(fā)自覺地從分類討論的層面認(rèn)識斜率概念和使用斜率公式.

3.探索深化，應(yīng)用概念

[案例3]

[例1]直線l₁，l₂，l₃都經(jīng)過點(diǎn)P（3，2），又l₁，l₂，l₃分別經(jīng)過點(diǎn)Q₁（-2，-1），Q₂（4，-2），Q₃（-3，2），試計(jì)算直線l₁，l₂，l₃的斜率.

師：大家畫出直線，看看直線的斜率和直線的方向有怎樣的對應(yīng)關(guān)系？

生：斜率等于0，直線和x軸平行;斜率大于0，直線自左下方向右上方傾斜;斜率小于0，直線自左上方向右下方傾斜.

[例2]經(jīng)過點(diǎn)P（3，2）畫直線，使直線的斜率分別為.

生1：可利用斜率就是增量的比值，就是把P（3，2）變化到點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的增量為3，橫坐標(biāo)的增量為4后點(diǎn)Q（7，5）仍在直線上，所以，即可畫出過這兩點(diǎn)的直線.

生2：同樣，把P（3，2）變化到點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)的增量為-4，橫坐標(biāo)的增量為5或者縱坐標(biāo)的增量為4，橫坐標(biāo)的增量為-5后，點(diǎn)Q都在直線上.

[反思]概念教學(xué)中，例題教學(xué)起著理解概念的內(nèi)涵與外延的作用，還起著把知識轉(zhuǎn)化為能力的作用.教材選擇的兩個例題是為了配合本課概念的教學(xué).例1的設(shè)計(jì)是為了依據(jù)斜率符號做簡單分類，例2的設(shè)計(jì)是用一點(diǎn)加方向確定直線.同時從概念出發(fā)理解斜率的幾何意義.就題論題是不夠的，斜率的數(shù)值大?。ú粌H僅是符號）是怎樣刻畫了直線的傾斜程度.比如斜率為和的直線又是怎樣的方向？

[重構(gòu)]通過對教材例題的處理，在斜率概念的應(yīng)用環(huán)節(jié)，我們的設(shè)計(jì)應(yīng)達(dá)到以下目的：

（1）通過例1計(jì)算的結(jié)果，熟悉斜率公式.聯(lián)系數(shù)值相應(yīng)的直線方向，配合斜率概念，進(jìn)一步根據(jù)斜率符號將直線分類.

（2）鑒于“數(shù)刻畫形”，通過對斜率數(shù)值的分析，結(jié)合概念作出直線，作出的圖形帶來傾斜程度的直觀感受.變化斜率的值，分析出數(shù)值的大小與傾斜程度的聯(lián)系.

[課堂實(shí)錄]

對例1，師：通過本題的計(jì)算，三個不同的數(shù)值代表的直線有什么典型的幾何特征？

生：斜率符號有正負(fù)，數(shù)值0，再考慮斜率不存在的情況將直線分為四類：斜率不存在的豎直直線、斜率為0的水平直線、斜率為正的上升直線和斜率為負(fù)的下降直線.

對例2，師：已知一點(diǎn)和直線斜率，是否能確定直線并畫出它？

生：再得到直線上另一點(diǎn)，根據(jù)公式，滿足條件的（x，y）很多，不妨?。?，5），通過兩點(diǎn)畫出直線即為所求.

師：，可以理解為橫坐標(biāo)增加了4個單位，縱坐標(biāo)增加了3個單位;也可以理解為橫坐標(biāo)減少了4個單位，縱坐標(biāo)減少了3個單位.如此，直線的方向比較直觀.再分別考察斜率為和，你能得出什么結(jié)論？

生：直線斜率k的符號決定了直線上升還是下降，同時|k|到越大，直線越陡.

設(shè)計(jì)意圖：斜率作為推廣了的坡度，斜率為正相當(dāng)于上升的坡，斜率為負(fù)相當(dāng)于下降的坡.通過斜率的數(shù)值就能感受直線的方向，同時體會到斜率值與坡的陡峭程度的聯(lián)系.這道題的解決回答了一點(diǎn)和直線方向能確定直線，也從數(shù)的角度把握了直觀的方向.當(dāng)然看到直觀的圖形也能估計(jì)斜率數(shù)值的大小.

三、類比延伸，反思教學(xué)

本節(jié)課的斜率概念有助于滲透數(shù)形結(jié)合、歸納類比的數(shù)學(xué)思想.鑒于該概念的核心地位，反思優(yōu)化、重構(gòu)斜率概念的教學(xué)有著重要價(jià)值.教師只有從實(shí)踐中反思，重構(gòu)教學(xué)過程，才能找到恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)方法.

[參考文獻(xiàn)]

[1]程仕然，蔣智東.蘇教版《普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（必修）數(shù)學(xué)》中核心概念認(rèn)知情況的調(diào)查報(bào)告[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2019（5）：8-10.

[2]吳曉紅.數(shù)學(xué)課堂教學(xué)反思[M].上海：華東師范大學(xué)出版社，2014.