幾何光學(xué)問題分類剖析

張大洪

光學(xué)是人教版高中物理教材《選修3-4》中的一個(gè)板塊,也是高考的必考內(nèi)容,現(xiàn)對近幾年高考中涉及的幾何光學(xué)問題進(jìn)行分類剖析.

1 簡單的折射光路計(jì)算問題

圖1

(1)求桅桿到P點(diǎn)的水平距離;

(2)船向左行駛一段距離后停止,調(diào)整由P點(diǎn)發(fā)出的激光束方向,當(dāng)其與豎直方向夾角為45°時(shí),從水面射出后仍然照射在桅桿頂端,求船行駛的距離．

點(diǎn)評 對于單純光的折射情況,按題目要求正確作出光路圖,正確理解折射率公式中與光傳播方向?qū)?yīng)的相關(guān)角度(入射角、折射角),再利用幾何關(guān)系及折射率公式即可順利解題.

2 光在等邊三棱鏡中的折射問題

例2(2018年全國卷Ⅲ) 如圖2-甲所示，某同學(xué)在一張水平放置的白紙上畫了一個(gè)小標(biāo)記“·”(圖中O點(diǎn)),然后用橫截面為等邊三角形ABC的三棱鏡壓在這個(gè)標(biāo)記上,小標(biāo)記位于AC邊上,D位于AB邊上;過D點(diǎn)作AC邊的垂線交AC于F,該同學(xué)在D點(diǎn)正上方向下順著直線DF的方向觀察,恰好可以看到小標(biāo)記的像;過O點(diǎn)作AB邊的垂線交直線DF于E,DE=2 cm、EF=1 cm.求三棱鏡的折射率.(不考慮光線在三棱鏡中的反射)

解析 過D點(diǎn)作AB邊的法線NN′,O點(diǎn)發(fā)出經(jīng)過D點(diǎn)的光線即為OD,其在D點(diǎn)的入射角∠ODN=α,設(shè)該光線在D點(diǎn)的折射角為β,如圖2-乙所示.根據(jù)折射定律

①

點(diǎn)評 對于光線經(jīng)過等邊三棱鏡折射的情況,按題目要求和題意正確作出光路圖是解題的關(guān)鍵.本題抓住等邊三角形的特殊角,利用幾何關(guān)系找準(zhǔn)入射角與折射角,正確理解折射率公式中與光傳播方向?qū)?yīng)的相關(guān)角度即可順利解題．

3 光在圓球形介質(zhì)中的折射、反射問題

例3(2017年新課標(biāo)卷Ⅰ) 如圖3-甲所示，一玻璃工件的上半部是半徑為R的半球體,O點(diǎn)為球心;下半部是半徑為R、高為2R的圓柱體,圓柱體底面鍍有反射膜．有一平行于中心軸OC的光線從半球面射入,該光線與OC之間的距離為0.6R．已知最后從半球面射出的光線恰好與入射光線平行(不考慮多次反射)．求該玻璃的折射率．

圖3

解析 根據(jù)球體的對稱性及光路的可逆性,要使平行于中心軸OC從半球面射入的光線最后從半球面射出時(shí)恰好與入射光線平行,則只能使光線經(jīng)過球面第一次折射后恰好經(jīng)過底面的C點(diǎn),其完整的光路如圖3-乙所示.設(shè)此光線在半球面的入射角為i,折射角為r,由折射定律得

①

由幾何關(guān)系知

sini=0.6, cosi=0.8,

②

sinr=2(sinicosr-cosisinr).

③

將式②代入式③解得

④

將式②④代入式①得玻璃的折射率

得r=30°,因而折射光線MN必垂直平分半徑OA，且光線在N點(diǎn)對AB面的入射角∠MNE=30°,利用反射定律作出光路圖如圖4-乙所示，因MN垂直平分OA且∠MNA=∠MNO=60°，知反射光線NO必經(jīng)過球心O點(diǎn),那么反射光線NO再次經(jīng)過半球面時(shí)的入射角為0°而將沿直線射出.由圖可知MA∥NE且∠ONE=30°,故該光線從球面射出的方向即NO相對于其初始入射方向的偏角

θ=180°—∠ENO=150°．

圖4

點(diǎn)評 對于光線經(jīng)過圓球形光學(xué)元件折射的情況,抓住球的對稱性及半徑與法線的相關(guān)性,據(jù)題意正確作出光路圖是解題的關(guān)鍵.例3、例4充分應(yīng)用平面幾何知識準(zhǔn)確找出入射角、折射角、反射角及其相互之間的關(guān)系,利用折射率公式、三角函數(shù)相應(yīng)關(guān)系(如正弦定理等)進(jìn)行分析處理．

4 光的全反射與平面幾何知識關(guān)聯(lián)問題

4.1 全反射位置不明確的探究類問題

圖5

①

又由于臨界角為r，則折射率為

②

點(diǎn)評 對于可能發(fā)生全反射的問題需注意以下幾點(diǎn): 1) 明確光線傳播的方向及將要經(jīng)過的各個(gè)界面；2) 判定是否發(fā)生全反射,討論發(fā)生全反射的可能范圍；3) 完整分析并作出不同區(qū)域的光線經(jīng)過各界面的傳播光路圖,找到所求區(qū)域；4) 正確作出必要的輔助線，充分運(yùn)用平面幾何、三角函數(shù)等知識,找準(zhǔn)入射角、反射角、折射角,關(guān)注光的傳播方向并正確運(yùn)用折射定律完成解答．

圖6

例6如圖6所示，一半徑為R的玻璃半球,O點(diǎn)是半球的球心,虛線OO′表示光軸(過球心O與半球底面垂直的直線).已知玻璃的折射率為1.5,現(xiàn)有一束平行光垂直入射到半球的底面上,有些光線能從球面射出(不考慮被半球的內(nèi)表面反射后的光線)．求:

(1) 從球面射出的光線對應(yīng)的入射光線到光軸距離的最大值;

圖7

4.2 有明確的全反射位置問題

例7(2018年全國卷Ⅱ) 如圖8所示，△ABC是一直角三棱鏡的橫截面,∠A=90°、∠B=60°,一細(xì)光束從BC邊的D點(diǎn)折射后,射到AC邊的E點(diǎn),發(fā)生全反射后經(jīng)AB邊的F點(diǎn)射出.EG垂直于AC交BC于G,D恰好是CG的中點(diǎn).不計(jì)多次反射.

(1) 求出射光相對于D點(diǎn)的入射光的偏角;

(2) 為實(shí)現(xiàn)上述光路,棱鏡折射率的取值應(yīng)在什么范圍?

圖8

圖9

結(jié)合上述分析可得i2=r2=60°，r1=i3=30°，i1=r3;再由幾何關(guān)系得F點(diǎn)的出射光相對于D點(diǎn)的入射光的偏角為δ=β+α,其中α=r3-i3，由三角形內(nèi)角和等于180°可得β=180°-(i2+r2)-(i1-r1),再結(jié)合相應(yīng)的角度值可得δ=60°．

點(diǎn)評 對明確發(fā)生全反射位置類問題應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 1)正確認(rèn)識并讀懂光路圖;2)正確作出必要的輔助線，充分運(yùn)用平面幾何、三角函數(shù)等知識,找準(zhǔn)入射角、反射角、折射角;3)準(zhǔn)確運(yùn)用光在相應(yīng)界面處的折射定律(注意光的傳播方向及對應(yīng)公式中的角度)與反射定律完成解答;4)對于物理量的范圍問題,要抓住產(chǎn)生此范圍的原因，再利用相關(guān)數(shù)學(xué)知識進(jìn)行有效處理．

5 不同色光(不同頻率的光)在同種介質(zhì)中的折射、全反射作圖類問題

圖10

例8虹和霓是太陽光在水珠內(nèi)分別經(jīng)過一次和兩次反射后出射形成的,可用白光照射玻璃球來說明.兩束平行白光照射到透明玻璃球后,在水平的白色桌面上會形成MN和PQ兩條彩色光帶,光路如圖10所示.M、N、P、Q點(diǎn)的顏色分別為( ).

A. 紫、紅、紅、紫

B. 紅、紫、紅、紫

C. 紅、紫、紫、紅

D. 紫、紅、紫、紅

解析 白光中的可見光部分從紅到紫在同一介質(zhì)中的折射率大小關(guān)系為n紫>n紅,由折射定律知紫光的折射角較大,由光路可知紫光將到達(dá)M點(diǎn)和Q點(diǎn),而紅光到達(dá)N點(diǎn)和P點(diǎn),故選A.

點(diǎn)評 不同頻率的色光在同種介質(zhì)中的折射率與偏折程度不同,在可見光中從紅光→紫光:光的頻率增大、在同一介質(zhì)中的折射率增大、偏折角增大、傳播速度減小、產(chǎn)生全反射的臨界角減?。⒁飧鶕?jù)折射定律、反射定律正確作出光路圖來分析處理．

6 光的折射實(shí)驗(yàn)類

例9(2016年四川卷) 某同學(xué)通過實(shí)驗(yàn)測定半圓形玻璃磚的折射率n．如圖11-甲所示,O是圓心,MN是法線,AO、BO分別表示某次測量時(shí)光線在空氣和玻璃磚中的傳播路徑．該同學(xué)測得多組入射角i和折射角r,作出sini-sinr圖象如圖11-乙所示．則( )．

圖11

A. 光由A經(jīng)O到B,n=1.5

B. 光由B經(jīng)O到A,n=1.5

C. 光由A經(jīng)O到B,n=0.67

D. 光由B經(jīng)O到A,n=0.67

點(diǎn)評 測定介質(zhì)折射率實(shí)驗(yàn)中,需正確作出光路圖并深入理解折射率公式中的相應(yīng)角,若涉及圖線則要準(zhǔn)確挖掘圖線中的各種信息,并正確分析、理解其意義．

7 光束與微小實(shí)物粒子產(chǎn)生經(jīng)典相互作用類問題

圖12

例10(2016年北京卷) 激光束可以看作是粒子流,其中的粒子以相同的動量沿光傳播方向運(yùn)動．激光照射到物體上,在發(fā)生反射、折射和吸收現(xiàn)象的同時(shí),也會對物體產(chǎn)生作用．光鑷效應(yīng)就是一個(gè)實(shí)例,激光束可以像鑷子一樣抓住細(xì)胞等微小顆粒．一束激光經(jīng)S點(diǎn)后被分成若干細(xì)光束,若不考慮光的反射和吸收,其中光束①和②穿過介質(zhì)小球的光路如圖12所示,圖中O點(diǎn)是介質(zhì)小球的球心,入射時(shí)光束①和②與SO的夾角均為θ,出射時(shí)光束均與SO平行．請?jiān)谙旅鎯煞N情況下,分析說明兩光束因折射對小球產(chǎn)生的合力的方向．

(1) 光束①和②強(qiáng)度相同;

(2) 光束①比②強(qiáng)度大．

解析 (1) 因不考慮光的反射和吸收，僅考慮光的折射,設(shè)t時(shí)間內(nèi)每束光穿過小球的粒子數(shù)為n,每個(gè)粒子動量的大小為p,以該束粒子流為研究對象,則這些粒子進(jìn)入小球前的總動量為p1=2npcosθ(因①②具有對稱性,故在豎直方向的總動量為0),方向沿SO水平向右;由于光在同種介質(zhì)中的傳播速度是相同的,即光束中的粒子在經(jīng)過介質(zhì)小球前、后的動量大小必均為p,故t時(shí)間內(nèi)從小球射出后粒子流的總動量必為p2=2np,且方向沿SO水平向右;對這束粒子(粒子數(shù)為n)根據(jù)動量定理有Δp=p2-p1=F·Δt=2np(1-cosθ)>0,故小球?qū)@些粒子的作用力F的方向必沿SO向右,再根據(jù)牛頓第三定律得兩光束對小球合力的方向必沿OS向左．

圖13

(2) 建立圖13所示的xOy坐標(biāo)系,在x方向:根據(jù)(1)同理可得兩光束對小球的作用力必沿x軸負(fù)方向;在y方向,設(shè)t時(shí)間內(nèi)光束①穿過小球的粒子數(shù)為n1,光束②穿過小球的粒子數(shù)為n2,因光束①比②強(qiáng)度大，即n1>n2，這些粒子進(jìn)入小球前的總動量為p1y=(n1-n2)psinθ>0,即其方向豎直向上(y軸正方向);從小球出射時(shí)y方向的總動量p2y=0.根據(jù)動量定理得

Fy·Δt=p2y-p1y=-(n1-n2)psinθ,

圖14

可知小球?qū)@些粒子的作用力Fy的方向沿y軸負(fù)方向,根據(jù)牛頓第三定律兩光束對小球的作用力沿y軸正方向;所以兩光束對小球作用力的合力方向必沿圖14所示的左上方向．

點(diǎn)評 光束與微小實(shí)物粒子產(chǎn)生經(jīng)典相互作用時(shí),合理使用動力學(xué)規(guī)律進(jìn)行分析是關(guān)鍵．

總結(jié)1)幾何光學(xué)的命題方向與特點(diǎn):

光的折射定律、折射率、全反射現(xiàn)象的考查常以計(jì)算題形式出現(xiàn),是命題熱點(diǎn)、?？键c(diǎn),且通常與幾何作圖、三角函數(shù)等知識有機(jī)結(jié)合,涉及的模型常有平行玻璃磚、三棱鏡、圓柱體(球)形玻璃體及透明液體等.

2)處理幾何光學(xué)問題的技巧:

b)折射率不僅與介質(zhì)有關(guān),還與光的頻率有關(guān),同種介質(zhì)中頻率越大的色光的折射率也將越大,光線偏折得越厲害,光的傳播速度越?。?/p>

c)發(fā)生全反射的條件:① 光線從光密介質(zhì)射向光疏介質(zhì)； ② 入射角大于或等于臨界角.

d)全反射的能量分配關(guān)系:折射角隨著入射角的增大而增大,折射角增大的同時(shí),折射光的強(qiáng)度減弱,即折射光的能量減小,亮度減弱,而反射光的強(qiáng)度增強(qiáng),能量增大,亮度增加.

e)臨界角:① 臨界角的定義:光線從介質(zhì)射向真空(空氣)(即從光密介質(zhì)射入光疏介質(zhì))時(shí)折射角等于90°時(shí)的入射角;

f)作出必要的輔助線,運(yùn)用好幾何關(guān)系及三角函數(shù)關(guān)系．