尋找“古典概型”與“幾何概型”那片天地

周文國(guó)

在高中階段，求解概率問題主要涉及的是古典概型和幾何概型,對(duì)于這兩類概型,要理解清楚其特點(diǎn),才能靈活解題.其中古典概型的基本特征是有限性和等可能性，有限性是指在一次隨機(jī)試驗(yàn)中,可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè),即樣本空間中基本事件只有有限個(gè);等可能性是指在這個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中,每個(gè)試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的可能性相等,即基本事件發(fā)生的可能性是均等的.幾何概型的基本特征是無限性和等可能性，無限性是指在一次試驗(yàn)中,樣本空間中基本事件有無限多個(gè);等可能性是指在一次試驗(yàn)中,每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是相等的.

1 摸球問題

例1(1) 口袋中有6個(gè)除了顏色外其余全部相同的球,其中4個(gè)為白球,2個(gè)為紅球,從袋子中任意取出2個(gè)球,求下列事件的概率:

(ⅰ)A={取出的2個(gè)球都是白球};

(ⅱ)B={取出的2個(gè)球中1個(gè)球是白球,1個(gè)球是紅球}.

(2) 一個(gè)盒子里裝有完全相同的10個(gè)小球,分別標(biāo)上1,2,3,…,10這10個(gè)數(shù)字,現(xiàn)在隨機(jī)抽取2個(gè)小球.

(ⅰ) 小球是不放回的,求2個(gè)小球數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率;

(ⅱ) 小球是有放回的，求2個(gè)小球數(shù)字為相鄰整數(shù)的概率.

分析(1)中可先求出任取2個(gè)小球的所有等可能基本事件的總數(shù),然后分別求出事件A“取出的2個(gè)球都是白球”所含的基本事件數(shù)及事件B“取出的2個(gè)球1個(gè)球是白球,1個(gè)球是紅球”所含的基本事件數(shù),最后再用古典概型的基本公式進(jìn)行解答.

(2)是有放回與不放回的問題,其關(guān)鍵在于兩者的基本事件總數(shù)是不同的.

(2) 令“2個(gè)小球數(shù)字為相鄰整數(shù)”為事件A.

點(diǎn)評(píng) 上述兩類問題是摸球問題,一類是從中同時(shí)摸球問題,另一類是從中有序模球,涉及有放回與無放回問題,其關(guān)鍵是把基本事件總數(shù)及對(duì)應(yīng)的隨機(jī)事件數(shù)弄清楚.

2 排隊(duì)問題

排隊(duì)問題也是古典概型中的典型問題,其關(guān)鍵是注意排列數(shù)的正確計(jì)算,同時(shí)要分清楚基本事件總數(shù)和隨機(jī)事件數(shù).

例23男3女共6個(gè)同學(xué)排成一行,求下列事件的概率.

(1)甲同學(xué)不排在第一位;

(2)女生排在一起,男生排在一起;

(3)女生不相鄰;

(4)女生和男生相間隔.

點(diǎn)評(píng) 對(duì)于排隊(duì)問題,關(guān)鍵是正確利用分類、分步原理及排列組合知識(shí)求解隨機(jī)事件的發(fā)生數(shù)和基本事件總數(shù),然后再利用古典概型的計(jì)算公式使問題獲解.

3 拋擲骰子問題

例3將一枚骰子連續(xù)拋擲兩次,設(shè)第一次得的點(diǎn)數(shù)為x,第二次得的點(diǎn)數(shù)為y.

(1)求事件A：{兩次點(diǎn)數(shù)之和等于8}的概率;

(2)若已知直線y=-3x+6與y=-x+4,求事件B：{點(diǎn)(x,y)在兩已知直線下方}的概率.

分析(1) 將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次,基本事件總數(shù)有36種,兩次點(diǎn)數(shù)之和等于8,可將隨機(jī)事件數(shù)枚舉;

(2) 點(diǎn)(x,y)在兩直線的下方,故將滿足條件的點(diǎn)(x,y)尋找出來即可.

解將一顆骰子連續(xù)拋擲兩次,按其向上的點(diǎn)數(shù)不同,共有36種情況;

點(diǎn)評(píng) 本題研究的是簡(jiǎn)單的古典概型計(jì)算,古典概型具有等可能性，故可通過列表法列舉出全部的基本事件,再進(jìn)行分析,從而解決問題.

4 與函數(shù)結(jié)合問題

與函數(shù)相結(jié)合的概率問題是概率中常出現(xiàn)的題型,其關(guān)鍵是通過合理轉(zhuǎn)化,利用古典概型或幾何概型尋求解決.

例4已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)

f(x)=ax2-2bx+8.

(1)設(shè)集合P={1,2,3}和Q={2,3,4,5},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率.

(2)設(shè)集合P=[1,3]和Q=[2,5],分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)作為a和b,求函數(shù)y=f(x)在區(qū)間(-∞,2]上有零點(diǎn)且為減函數(shù)的概率.

分析(1)可利用列舉法結(jié)合古典概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算;(2)可作出不等式組對(duì)應(yīng)的區(qū)域,求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積,結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算.

圖1

點(diǎn)評(píng) 本題研究的是函數(shù)與古典概型、幾何概型相結(jié)合的概率問題,其中利用列舉法求古典概型以及利用數(shù)形結(jié)合法求解幾何區(qū)域的面積是解決本題的關(guān)鍵.

5 相遇問題

相遇問題需要用兩個(gè)連續(xù)變量來描述,用這兩個(gè)變量的有序?qū)崝?shù)對(duì)來表示基本事件,再利用平面直角坐標(biāo)系建立與面積相關(guān)的幾何概型問題來求解.

例5某校早上8:10開始上課,假設(shè)該校學(xué)生小張與小王在早上7:30～8:00之間到校,且每人在該時(shí)間段內(nèi)到校時(shí)刻是等可能的,求兩人到校時(shí)刻相差10 min以上的概率.

分析設(shè)出小張與小王的到校時(shí)間分別為07:00后第x分鐘,第y分鐘,建立不等式組關(guān)系,求出對(duì)應(yīng)區(qū)域的面積,結(jié)合幾何概型的概率公式進(jìn)行計(jì)算即可.

圖2

點(diǎn)評(píng) 本題研究的是計(jì)算幾何概型,其關(guān)鍵是將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型,借助區(qū)域面積求解.

6 與方程結(jié)合問題

幾何概型常常與方程相結(jié)合,在解決這類問題時(shí),需要借助方程的有關(guān)知識(shí),找出滿足條件的區(qū)域所包含的區(qū)間長(zhǎng)度、面積大小或體積大小等.

例6已知關(guān)于x的一元二次方程9x2+6ax-b2+4=0,a，b∈R.

(1)若a是從1,2,3三個(gè)數(shù)中任意取的一個(gè)數(shù),求已知方程有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根的概率;

(2)若a是從[0,3]內(nèi)任意取的一個(gè)數(shù),b是從[0,2]內(nèi)任意取的一個(gè)數(shù),求方程有實(shí)數(shù)根的概率.

分析本題中含有兩個(gè)參數(shù),需要將問題轉(zhuǎn)化為含參數(shù)的一元二次方程有解的條件問題.(1)可利用列舉法將基本事件羅列出來,再結(jié)合題意義解答;(2)可將a，b滿足的不等式轉(zhuǎn)化為圖形,從而利用幾何概型的概率公式求解.

解設(shè)“a是1，2，3中任意一個(gè)數(shù)，9x2+6ax-b2+4=0有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根”為事件A,“9x2+6ax-b2+4=0有實(shí)數(shù)根(其中a∈[0,3],b∈[0,2])”為事件B.

(1)由題意可知基本事件為9個(gè),即(1,0),(1,1),(1,2),(2,0),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值,第二個(gè)數(shù)表示b的取值.由Δ=36a2-36(-b2+4)>0,可得a2+b2>4,事件A要求a，b滿足條件a2+b2>4,則包含6個(gè)基本事件,即(1,2),(2,1),(2,2),(3,0),(3,1),(3,2),事件A發(fā)生的概率

圖3

(2)因?yàn)?≤a≤3,0≤b≤2,故構(gòu)成的事件B的區(qū)域如圖3中的陰影部分,其中a2+b2≥4,則所求的概率

點(diǎn)評(píng) 本題是方程與概率結(jié)合的問題,解題關(guān)鍵是分清楚用古典概型還是幾何概型.

古典概型和幾何概型是高中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn),其涉及的實(shí)際應(yīng)用較多,解題關(guān)鍵是要準(zhǔn)確識(shí)別兩種概率類型,從而選擇合適的方法及思路,走進(jìn)“古典概型”與“幾何概型”那片天地.