升降算符在Lz表象求解中的應(yīng)用①

肖 逍，張海豐

(佳木斯大學(xué)理學(xué)院，黑龍江 佳木斯 154007)

0 引 言

在量子力學(xué)的基礎(chǔ)性研究中，升降算符被廣泛應(yīng)用于角動(dòng)量的研究。例如：呼和滿都拉等分析了一維諧振子模型中升降算符的性質(zhì)及電子自旋角動(dòng)量的升降算符[1～2]；田杏霞等使用升降算符給出了角動(dòng)量算符的矩陣表示并進(jìn)行表象變換[3]；梁霄使用代數(shù)解法給出了量子力學(xué)中的若干升降算符[4]；王百川等從不同角度分析了升降算符的性質(zhì)和作用[5]；王東方等使用升降算符對(duì)電子自旋和角動(dòng)量耦合進(jìn)行了分析[6]；尋大毛等給出了角動(dòng)量量子數(shù)1的升降算符并生成了球諧函數(shù)[7]。本文就是將升降算符應(yīng)用于Lz表象的具體求解之中，對(duì)物理量的本征值和平均值進(jìn)行求解。

1 升降算符及角動(dòng)量代數(shù)

根據(jù)文獻(xiàn)[1]，升算符定義為

(1)

降算符為

(2)

于是有

(3)

(4)

(5)

于是

(6)

(7)

可以得到對(duì)易關(guān)系

(8)

(9)

(10)

(11)

(12)

(13)

將降算符和升算符作用于|lm〉給出

(14)

(15)

m=-l,-l+1,…,0,…l-1,l

(16)

于是

(17)

(18)

|lm〉是正交歸一的，即

〈l1m1|l2m2〉=δl1l2δm1m2

(19)

其完備性關(guān)系為

(20)

2 升降算符在Lz表象求解中的應(yīng)用

(21)

可以看到

(22)

?2[l(l+1)-m2-m]=

?2[l(l+1)-m(m+1)]

(23)

又因?yàn)?/p>

(24)

所以

?2[l(l+1)-m2+m]=

?2[l(l+1)-m(m-1)]

(25)

由對(duì)易關(guān)系

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

(32)

(33)

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

?2[l(l+1)-m2]

(41)

(42)

(43)

3 結(jié) 論