Pre-B?tzinger復合體的從簇到峰放電的同步轉(zhuǎn)遷及分岔機制*

楊永霞 李玉葉? 古華光

1) (赤峰學院, 數(shù)學與計算機科學學院, 赤峰 024000)

2) (赤峰學院, 應用數(shù)學研究所, 赤峰 024000)

3) (同濟大學, 航空航天與力學學院, 上海 200092)

Pre?B?tzinger復合體是興奮性耦合的神經(jīng)元網(wǎng)絡, 通過產(chǎn)生復雜的放電節(jié)律和節(jié)律模式的同步轉(zhuǎn)遷參與調(diào)控呼吸節(jié)律.本文選用復雜簇和峰放電節(jié)律的單神經(jīng)元數(shù)學模型構(gòu)建復合體模型, 仿真了與生物學實驗相關(guān)的多類同步節(jié)律模式及其復雜轉(zhuǎn)遷歷程, 并利用快慢變量分離揭示了相應的分岔機制.當初值相同時,隨著興奮性耦合強度的增加, 復合體模型依次表現(xiàn)出完全同步的“fold/homoclinic”, “subHopf/subHopf”簇放電和周期1峰放電.當初值不同時, 隨耦合強度增加, 表現(xiàn)為由“fold/homoclinic”, 到“fold/fold limit cycle”、到“subHopf/subHopf”與“fold/fold limit cycle”的混合簇放電、再到“subHopf/subHopf”簇放電的相位同步轉(zhuǎn)遷, 最后到反相同步周期1峰放電.完全(同相)同步和反相同步的周期1節(jié)律表現(xiàn)出了不同分岔機制.反相峰同步行為給出了與強興奮性耦合容易誘發(fā)同相同步這一傳統(tǒng)觀念不同的新示例.研究結(jié)果給出了pre?B?tzinger復合體的從簇到峰放電節(jié)律的同步轉(zhuǎn)遷規(guī)律及復雜分岔機制, 反常同步行為豐富了非線性動力學的內(nèi)涵.

1 引 言

神經(jīng)系統(tǒng)是神經(jīng)元構(gòu)成的復雜的非線性網(wǎng)絡系統(tǒng), 表現(xiàn)出復雜的非線性電活動或時空行為, 比如分岔、混沌和同步及同步轉(zhuǎn)遷等, 參與感覺、運動控制和腦高級功能的實現(xiàn)[1?6].其中, 呼吸節(jié)律對生命維持具有重要意義, 也是四大生理指標之一 .腦 內(nèi) 被 稱 為 pre?B?tzinger復 合 體 (pre?B?tzinger complex, pre?B?tC)的網(wǎng)絡與呼吸節(jié)律的產(chǎn)生與調(diào)控有關(guān)[7?12].目前, 實驗已經(jīng)發(fā)現(xiàn)pre?B?tC內(nèi)的單個神經(jīng)元會表現(xiàn)出復雜的放電節(jié)律模式特別是簇放電節(jié)律模式, pre?B?tC會表現(xiàn)出復雜的同步行為[13?18].因此, 利用非線性科學揭示pre?B?tC的單神經(jīng)元的復雜節(jié)律和其同步行為是重要的科學問題, 有助于從理論上認識實驗發(fā)現(xiàn)的復雜多樣的節(jié)律及其動力學、復雜同步轉(zhuǎn)遷的動力學規(guī)律, 對于神經(jīng)科學和非線性物理都有重要的意義.

生物學實驗已經(jīng)發(fā)現(xiàn), pre?B?tC是一個興奮性突觸耦合的神經(jīng)元網(wǎng)絡, 可以產(chǎn)生同步的簇振蕩[13,17?21], 以及復雜的同步節(jié)律模式和節(jié)律模式的同步轉(zhuǎn)遷[13?16,19?21].例如, Smith 等[13,19?21]在pre?B?tC離體實驗觀察到許多不同模式的簇放電.此外, pre?B?tC的單神經(jīng)元會表現(xiàn)出復雜的節(jié)律模式及其轉(zhuǎn)遷[13,15,16,22?26].例如, Dunmyre等[25]在pre?B?tC的離體實驗中發(fā)現(xiàn)了一系列的放電模式, 包括靜息態(tài)、峰放電、方波簇放電、去極化阻滯(depolarization block, DB)以及混合簇放電(方波簇與DB簇); Negro等[26]在離體實驗中發(fā)現(xiàn)增大細胞外液的鉀離子濃度([K+]o), 神經(jīng)元會經(jīng)歷從靜息到簇放電、再到峰放電的節(jié)律轉(zhuǎn)遷模式.

針對實驗發(fā)現(xiàn)大量的非線性動力學現(xiàn)象, 已經(jīng)有相應的理論研究.描述pre?B?tC神經(jīng)元電活動的離子通道理論模型被建立, 并模擬了不同的放電模式及其轉(zhuǎn)遷[24,26?32].例如, Butera等[24]建立神經(jīng)元模型并模擬了靜息態(tài)、簇放電和峰放電.Negro等[26]在Butera模型的基礎上, 調(diào)節(jié)與鉀離子通道相關(guān)參數(shù), 神經(jīng)元會經(jīng)歷從靜息到簇放電、再到峰放電的節(jié)律轉(zhuǎn)遷模式, 也就是會經(jīng)歷復雜的分岔過程.郭豆豆和呂卓生[32]在修改的Butera模型的基礎上加入電磁輻射和外強迫電流研究它們對混合簇的影響.進一步, 興奮性耦合的pre?B?tC網(wǎng)絡模型的同步行為被研究, 并且已經(jīng)獲得了一些符合常規(guī)概念的結(jié)果, 如增大興奮性突觸耦合強度引起同步簇放電頻率增加, 降低興奮性突觸耦合引起同步簇放電頻率降低[27], 興奮性突觸耦合強度變化誘發(fā)不同簇放電的現(xiàn)象[33].Dunmyre等[25]構(gòu)建了包括多個離子流如鈣電流、持續(xù)鈉電流和自耦合的pre?B?tC的理論模型, 模擬了靜息態(tài)、峰放電、方波簇放電、DB簇以及混合簇放電(方波簇與DB簇混合).劉深泉等[34,35]研究了持續(xù)鈉電流的平衡電位、延遲鉀電流的平衡電位以及它們的電導系數(shù)對pre?B?tC神經(jīng)元膜電位的影響.因為pre?B?tC單神經(jīng)元就表現(xiàn)出十分復雜的非線性動力學和多時間尺度動力學, 并且神經(jīng)元間的耦合是化學耦合, 也是強非線性的, 與復雜網(wǎng)絡動力學經(jīng)常研究的電耦合(線性耦合)是不同的, 這就給 pre?B?tC動力學的研究帶來困難.因此,Best等[29]和段利霞等[36?40]利用快慢變量分離方法來揭示同步簇放電節(jié)律模式的復雜非線性動力學.例如, Best等[29]研究了不同突觸耦合強度下的對稱與非對稱的同步簇放電和峰放電模式; 段利霞等[36?40]利用快慢變量分離和雙參數(shù)分岔分析繼續(xù)研宄了不同參數(shù)(如鈉、鉀、鈣和IP3等)對同步放電模式的影響, 并且區(qū)分了不同鈉、鉀、鈣離子電導下的同步簇放電模式, 如混合簇[39]和簇內(nèi)同向同步和反向同步, 揭示了簇內(nèi)的峰(Spike)的同相同步和反相同步的動力學與初值的關(guān)系: 簇內(nèi)峰的同相同步對應于相同初值, 簇內(nèi)峰的反相同步對應不同初值[40].Rubin等[41?42]運用數(shù)值模擬和快慢分離變量方法, 描述了神經(jīng)網(wǎng)絡的行為, 同時,分析了產(chǎn)生和控制呼吸節(jié)律的狀態(tài)依賴機制.此外, 對于神經(jīng)元的異質(zhì)性、Na+/K+泵、突觸性質(zhì)、網(wǎng)絡相互作用對同步的影響也有研究[33,43].但是,與復雜網(wǎng)絡的同步動力學的研究相比較, pre?B?tC的同步動力學的研究還相對初步, 對同步模式和類型以及同步轉(zhuǎn)遷的過程的關(guān)注還較少, 用來刻畫同步的指標也相對簡單(大多采用的是同步因子), 大多數(shù)的研究關(guān)注了某個具體參數(shù)值下的同步動力學特性, 而隨關(guān)鍵參數(shù)如耦合強度連續(xù)的變化規(guī)律研究較少等.

文獻[40]中揭示的興奮性耦合網(wǎng)絡中的簇內(nèi)峰的反相同步的節(jié)律與常規(guī)的興奮性作用容易引起同相同步有所不同, 給出了一種不同于傳統(tǒng)觀念的新示例.近期, 與傳統(tǒng)觀念不同的新的非線性現(xiàn)象和機制引起了越來越多的關(guān)注[44?50].比如, 抑制性作用引起單神經(jīng)元從靜息變?yōu)榉烹?、增強放電頻率、引起神經(jīng)元網(wǎng)絡的同相同步[44?48], 不同于常規(guī)概念的抑制性作用壓制放電和引起反相同步; 興奮性作用可以引起放電簇內(nèi)峰的個數(shù)降低[49]、引起神經(jīng)元網(wǎng)絡從放電變?yōu)殪o息[50].因此, 進一步揭示pre?B?tC是否存在興奮性作用引起的與常規(guī)概念不同的新示例, 是一個重要的非線性科學問題.

基于此, 本文將按照研究網(wǎng)絡同步的一般方法和流程, 研究pre?B?tC的復雜節(jié)律的同步轉(zhuǎn)遷及其分岔機制.采用了多個指標刻畫同步(除同步因子外, 還采用的峰相位差、簇相位差以及峰峰間期(interspike intervals, ISIs)), 關(guān)注于關(guān)鍵生理參數(shù)興奮性耦合強度的連續(xù)變化, 并著重于通過快慢變量分離和分岔分析來揭示簇放電的內(nèi)在非線性動力學, 區(qū)分了相同初值與不同初值對同步節(jié)律的影響, 關(guān)注了與常規(guī)概念不同的非線性現(xiàn)象.研究結(jié)果給出了隨著興奮性耦合強度增加pre?B?tC的從簇到峰放電的同步轉(zhuǎn)遷規(guī)律, 并利用快慢變量分離區(qū)分了節(jié)律轉(zhuǎn)遷的分岔機制; 強興奮性耦合強度下反相峰同步與常規(guī)的興奮性作用誘發(fā)同相同步的概念不同, 并利用快慢變量分離給出了這一反?，F(xiàn)象的分岔機制.全面、深入認識了呼吸相關(guān)節(jié)律的動力學機制, 豐富了非線性動力學的內(nèi)涵, 為調(diào)控pre?B?tC的復雜同步節(jié)律及轉(zhuǎn)遷提供了參考.

2 神經(jīng)元模型介紹及同步指標的判定

2.1 神經(jīng)元模型介紹

2.1.1 單神經(jīng)元模型

Butera 等[24]以 Hodgkin?Huxley 模型為基礎建立了pre?B?tC的離子通道單腔室模型, 方程如下:

其中C是膜電容, V是膜電位, h和n分別代表Na+通道和K+通道的打開概率.(1)式右端5項分別代表持續(xù)性鈉電流、鈉電流、鉀電流、漏電流和細胞受到興奮性刺激所產(chǎn)生的耦合電流; gNap, gNa,gK, gL和 gtonic-e分別為各通道的最大電導; ENa, EK,EL和 Etonic-e分別是相應的平衡電位.(2)式中 ε 是調(diào)節(jié)參數(shù), 以確保變量h是慢變量.x∞(V) 是x的穩(wěn)態(tài)電壓依賴激(失)活函數(shù); τx(V) 是電壓依賴時間常數(shù); 其表達式形式如下:

其中 gK是分岔參數(shù), 模型中的其他參數(shù)值和量綱如表1所示.

2.1.2 耦合神經(jīng)元模型

Pre?B?tC的興奮性耦合雙神經(jīng)元模型由Butera等提出[24,27], 其是由單腔室pre?B?tC模型經(jīng)化學突觸耦合的網(wǎng)絡模型, 方程如下:

其中si表示門控變量; 對于i, j = 1, 2且

gsyn-esi(Vi?Esyn-e)表示耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡的耦合電流, 記為

其中 gsyn-e為耦合強度, Esyn-e為突觸的反轉(zhuǎn)電位.因為 si與Vj有關(guān), 就實現(xiàn)了神經(jīng)元間的耦合.當Vi是振蕩或放電時,

不再可能為常值0, 這是與電突觸不同的, 可能會引起復雜的動力學.設 Esyn-e=0mV 確保突觸電流是 興 奮 性 的.參 數(shù) αs=0.2ms?1,σs= ?5mV , θs= ?10mV , τs=5ms .其他參數(shù)值和量綱與單神經(jīng)元模型相同.

表1 理論模型中的參數(shù)值Table 1.Parameter values used in the theoretical model.

2.2 同步指標判定

2.2.1 耦合神經(jīng)元的峰相位函數(shù)及相位差

神經(jīng)元的峰相位函數(shù)常用來刻畫同步, 耦合神經(jīng)元l (l =1,2)的峰相位函數(shù) ?l(t) 定義如下:

2.2.2 耦合神經(jīng)元的簇相位函數(shù)及相位差

與峰相位函數(shù)相一致, 耦合神經(jīng)元l(l=1,2)的簇相位函數(shù) Φl(t) 定義如下:

簇相位差定義為:?Φ(t)=|Φ1(t)?Φ2(t)|, 按照 max(?Φ(t)) 值定義相位同步: (1)max(?Φ(t))=0, 簇同相同步; (2) max(?Φ(t))=π , 簇反相同步;(3) 0 2π , 簇的非相位同步.

2.2.3 耦合神經(jīng)元膜電位的相關(guān)系數(shù)

兩個耦合神經(jīng)元的膜電位的相關(guān)系數(shù)也常用于刻畫同步, 其定義如下:

相關(guān)系數(shù)ρ越大, 兩神經(jīng)元膜電位的關(guān)聯(lián)度越高, 即同步程度越高.ρ =1 表示完全同步,ρ=0表示不同步; | ρ |<0.6 , 0 .6 ≤ |ρ|<0.8 和0.8 ≤ |ρ|<1分別代表同步程度的弱、中和強.

2.3 神經(jīng)元模型的快慢變量分離

2.3.1 單神經(jīng)元模型的快慢變量分離

對單神經(jīng)元模型(1)—(3)進行快慢變量分離.(1)和(2)式作為快子系統(tǒng), (3)式描述的h是慢子系統(tǒng), 選h為快子系統(tǒng)的分岔參數(shù), 研究單神經(jīng)元的快子系統(tǒng)的平衡點和極限環(huán)分岔類型.將單神經(jīng)元全系統(tǒng)的簇放電的放電軌跡鑲嵌到快子系統(tǒng)的分岔圖上, 通過軌線與分岔的位置關(guān)系來識別不同的簇放電模式.

2.3.2 耦合神經(jīng)元模型的快慢變量分離

耦合神經(jīng)元模型的快慢變量分離與單神經(jīng)元類似.對于(4)—(7)式描述的耦合神經(jīng)元模型,(5)式描述的 hi(i = 1, 2)變量為慢子系統(tǒng).若研究神經(jīng)元i的簇放電的快慢變量分離, 將h=h1=h2選為參數(shù)作為慢變量, 剩余的6維方程為快子系統(tǒng).首先, 將h選為參數(shù), 研究快子系統(tǒng)的平衡點和極限環(huán)的分岔.然后, 將神經(jīng)元1(或2)的簇放電的放電軌跡鑲嵌到快子系統(tǒng)的分岔圖上, 通過軌線與分岔的位置關(guān)系來識別不同的簇放電模式.

在本文中, 采用的是四階龍格?庫塔(Runge?Kutta)數(shù)值積分法, 積分步長為0.001 ms.分岔計算采用軟件是XPPAUT[51]進行分岔的數(shù)值計算.

3 仿真結(jié)果

3.1 單神經(jīng)元模型放電行為及ISI分岔圖

3.1.1 單神經(jīng)元放電行為

在 pre?B?tC 單神經(jīng)元模型, 當 gK分別取為7.1, 7.8, 10.0和25.0 nS時, 單神經(jīng)元系統(tǒng)表現(xiàn)出DB簇放電、周期18方波簇放電、周期12方波簇放電和周期3方波簇放電, 分別如圖1(a), 圖1(b),圖1(c)和圖1(d)所示.

圖1 不同 gK 下單神經(jīng)元放電在(h, V)相平面的軌跡 (a) gK=7.1nS ; (b) gK=7.8nS ; (c) gK=10.0nS ; (d)gK=25.0nSFig.1.The (h, V) trajectory of the single neuron at different g K values: (a) gK=7.1nS ; (b) gK=7.8nS ; (c) gK=10.0nS ;(d) gK=25.0nS .

圖2 單神經(jīng)元模型的隨 g K 的分岔 (a) ISIs分岔序列; (b)圖(a)左下角方框的局部放大Fig.2.Bifurcation of the single neuron model with increasing g K : (a) Bifurcations of ISIs; (b) the enlargement of ISIs within the square at the down?left corner of fig (a).

3.1.2 單神經(jīng)元模型的復雜ISI分岔序列

在 pre?B?tC 單神經(jīng)元模型, 以 gK作為分岔參數(shù), 發(fā)現(xiàn)隨著 gK的增大, 放電經(jīng)歷復雜的轉(zhuǎn)遷規(guī)律,由靜息進入DB簇放電、再進入高周期數(shù)的方波簇放電, 經(jīng)過逆加周期分岔進入周期1方波簇放電.對應的峰峰間期(ISIs)的分岔圖如圖2(a)所示,圖2(b)是圖2(a)的局部放大圖, 與Negro等[26]在實驗中發(fā)現(xiàn)的增大細胞外的鉀離子濃度引起的pre?B?tC神經(jīng)元會經(jīng)歷從靜息到簇放電、再到峰放電的節(jié)律轉(zhuǎn)遷歷程相近似.

3.1.3 單神經(jīng)元的快慢變量分離及簇放電模式分類

在不同分岔參數(shù) gK下, 對單神經(jīng)元系統(tǒng)(1)—(3)進行快慢變量分離.以 gK=7.1nS 為例(當 gK=7.8,10.0,25.0nS 時分岔結(jié)構(gòu)類似, 關(guān)鍵點參數(shù)值參見表2), 隨著慢變量h的增加, 快子系統(tǒng)的平衡點在(h, V)平面上展示了“S”型曲線, 其中下支和上支的藍色實線分別為穩(wěn)定結(jié)點和穩(wěn)定焦點, 上支和中支的黑色虛線分別是不穩(wěn)定的焦點和鞍點, “S”型曲線上的拐點 F1 (h ≈ 0.4928)代表平衡點的鞍結(jié)分岔, F2 位于h ≈ —1.6780, 如圖3所示.

表2 不同 gK 下快子系統(tǒng)中關(guān)鍵點的慢變量h的值Table 2.The values of slow variable h of the bifurcation or key points at different g K values.

圖3 當 gK=7.1nS 時, 單神經(jīng)元模型的快子系統(tǒng)隨著慢變量h變化的分岔Fig.3.Bifurcations of the fast?subsystem of the single neur?on with respect to h when gK=7.1nS .

在“S”型曲線的上支, 隨著慢變量h增加, 當h ≈ 0.2128時, 不穩(wěn)定焦點變?yōu)榉€(wěn)定焦點, 同時出現(xiàn)了不穩(wěn)定極限環(huán), 發(fā)生了亞臨界霍普夫分岔(即subh點); 當 h ≈ 0.3265時, 發(fā)生了鞍?同宿軌分岔(即HC), 隨著h繼續(xù)增大, 有穩(wěn)定的極限環(huán)出現(xiàn); 當h ≈ 0.4308時, 穩(wěn)定的極限環(huán)與不穩(wěn)定的極限環(huán)相碰發(fā)生了極限環(huán)的鞍結(jié)分岔(即LPC), 如圖3所示.快子系統(tǒng)的放電區(qū)域(即穩(wěn)定極限環(huán)存在)是從HC點到LPC點, 于是h ∈ (0.3265, 0.4308)是快子系統(tǒng)的穩(wěn)定的結(jié)點與極限環(huán)(放電)共存的區(qū)域, 紅色實線和虛線分別代表穩(wěn)定及不穩(wěn)定極限環(huán)的最大、最小值.

接著, 將 gK=7.1nS 的全系統(tǒng)的簇放電(如圖1(a)所示)在(h, V)平面上的軌跡疊加到其快子系統(tǒng)的分岔圖上, 如圖4(a)所示.從圖4(a)可以看出:隨著h的增加, 全系統(tǒng)放電軌線從下支的靜息態(tài)經(jīng)鞍結(jié)分岔F1(h ≈ 0.4923)轉(zhuǎn)遷到上支, 再隨著h的減小, 放電軌線圍繞穩(wěn)定焦點作阻尼振蕩, 當經(jīng)過亞臨界Hopf分岔點subh時, 振幅逐漸減小到零, 在subh點左側(cè)不穩(wěn)定焦點的作用下, 系統(tǒng)振蕩幅度逐漸增大, 但是沒有達到穩(wěn)定極限環(huán)的幅值, 放電超出了快子系統(tǒng)的放電區(qū)域最后轉(zhuǎn)變?yōu)殪o息態(tài).根據(jù)Izhikevich簇放電分類的介紹[52], 此放電簇稱為經(jīng)“fold/homoclinic”滯后環(huán)的“subHopf/subHopf”型簇放電.

當 gK=7.8,10.0,25.0nS 時, 其相應的快子系統(tǒng)在(h, V)平面的平衡點和全系統(tǒng)的簇放電(如圖1(b), 圖1(c), 圖1(d)所示)在(h, V)平面上的軌跡疊加, 分別如圖4(b), 圖4(c)和圖4(d)所示.由圖4(b), 圖4(c)和圖4(d)可知, 它們簇的類型是相同的, 因為它們有相類似的快子系統(tǒng)分岔圖且全系統(tǒng)的放電都是處在相應的快子系統(tǒng)放電和穩(wěn)定結(jié)點共存的區(qū)域內(nèi), 如表2和圖4所示.隨著h的增加, 全系統(tǒng)放電軌線從下支的靜息態(tài)經(jīng)鞍結(jié)分岔(F1)轉(zhuǎn)遷到上支重復放電區(qū)域, 再隨著h的減小, 重復放電通過鞍?同宿(HC)分岔轉(zhuǎn)為下支的靜息態(tài), 此類型的簇放電被稱為“fold/homoclinic”型簇放電.

3.2 興奮性化學突觸耦合神經(jīng)元模型的同步轉(zhuǎn)遷

圖4 單神經(jīng)元在不同的 gK 下簇放電模式的快慢變量分離 (a) gK=7.1nS ; (b) gK=7.8nS ; (c) gK=10.0nS ; (d) gK= 25.0 nSFig.4.The fast?slow variable dissection of bursting of single neuron at different g K values: (a) gK=7.1nS ; (b) gK=7.8nS ;(c) gK=10.0nS ; (d) gK=25.0nS .

為了與以前的多個研究的條件相一致, 本文研究的如(4)—(7)式所示的兩個pre?B?tC神經(jīng)元經(jīng)興奮性化學突觸耦合形成的網(wǎng)絡也是同質(zhì)的, 就是兩個神經(jīng)元的參數(shù)是相同的.分岔參數(shù) gK取為7.8 nS, 其它參數(shù)值與單神經(jīng)元模型完全一致.考慮兩種初值情況: 1)兩耦合神經(jīng)元的初值完全相同; 2)兩耦合神經(jīng)元的初值不同, 對應初值向量中任一分量相差超過10—10.對于相同初值和不同初值, 我們都研究了多組初值.相同初值選取為(V1,h1, n1, s1) = (1.74551, 0.49343, 0.7561, 1.53 ×10—4)和 (V2, h2, n2, s2) = (1.74551, 0.49343,0.7561, 1.53 × 10—4), 不同初值選取為 (V1, h1, n1,s1) = (1.74551, 0.49343, 0.7561, 1.53 × 10—4)和(V2, h2, n2, s2) = (—52.1421, 0.45472, 0.00306,2.81 × 10—4).在這兩種情況下改變耦合強度 gsyn-e,研究 gsyn-e對耦合神經(jīng)元的同步節(jié)律以及同步轉(zhuǎn)遷的影響.

3.2.1 相同初值條件

因為兩個耦合神經(jīng)元是同質(zhì)的, 當兩個神經(jīng)元的初值相同時, 它們接受到的耦合電流=gsyn-esi(Vi?Esyn-e)是相同的, 網(wǎng)絡一定是完全同步的.但是, 神經(jīng)元接受到的耦合電流是非0 的, 隨著 gsyn-e增加也會增加.因此, 隨著耦合強度 gsyn-e的增加, 網(wǎng)絡內(nèi)的單個神經(jīng)元的節(jié)律是會變化的, 變化結(jié)果如圖5(a1)—(a5)所示.

第一部分 (0 nS≤ gsyn-e< 2.45nS 、第二部分(2 .45nS ≤ gsyn-e< 4.45nS)、 第 三 部 分 (4.45nS≤gsyn-e<12.70nS)和第四部分 (12.70nS ≤gsyn-e≤18.0nS)分別為完全同步方波簇放電, 完全同步的DB簇放電, 完全同步的DB簇放電(與第二部分的DB簇存在區(qū)別, 此DB簇的放電尖峰的中間沒有小的振蕩, 幾乎是一個固定值), 和完全同步周期1峰放電.四個部分的代表性的放電節(jié)律和相應的耦合電流如圖6(a) (gsyn-e=0.35nS), 圖6(b)(gsyn-e=2.5nS), 圖6(c) (gsyn-e=5.0nS)和圖6(d)(gsyn-e=18.0nS)的上部實線和下部虛線所示.其中方波簇、DB簇和周期1峰放電與Dunmyre等[25]的實驗發(fā)現(xiàn)相似.

圖5 隨著耦合強度 g syn-e 增大, 耦合神經(jīng)元模型的同步轉(zhuǎn)遷過程.相同初值 (a1)耦合電流平均值 ; (a2)峰相位差的最大值max(?(?(t))); (a3)簇相位差的最大值 max(?(Φ(t))) ; (a4)相關(guān)系數(shù)ρ; (a5)神經(jīng)元1的ISIs序列.不同初值: (b1)耦合電流平均值; (b2)峰相位差的最大值 max(?(?(t))) ; (b3)簇相位差的最大值 max(?(Φ(t))) ; (b4)相關(guān)系數(shù)ρ; (b5)神經(jīng)元1的ISIs序列Fig.5.Transitions with respect to g syn-e of coupled neurons model.The same initial values: (a1) The mean values of coupling cur?rent ; (a2) maximum spike phase difference max(?(?(t))) ; (a3) maximum burst phase difference max(?(Φ(t))) ; (a4) coefficient ρ; (a5) ISIs of neuron 1.Different initial values: (b1) The mean values of coupling current ; (b2) maximum spike phase difference max(?(?(t))); (b3) maximum burst phase difference max(?(Φ(t))) ; (b4) coefficient ρ; (b5) ISIs of neuron 1.

3.2.2 不同初值條件下

第一部分(0 ≤gsyn-e<0.45nS): 兩耦合神經(jīng)元都表現(xiàn)為方波簇放電, 峰相位差的最大值103.3 ＜max(??(t))＜ 103.6, 未達到峰相位同步; 簇相位差最大值 max(?(Φ(t))) ≈ 3.14 ＜ 2π , 達到簇反相同 步; 相 關(guān) 系 數(shù) | ρ |<0.2 , 說 明 同 步 程 度 弱.以gsyn-e=0.35nS為例, 此時兩耦合神經(jīng)元都表現(xiàn)為周期18方波簇放電序列, 簇相位差最大值max(?Φ(t))= 3.14 ＜ 2π , 峰相位差的最大值max(??(t))=103.3, 相關(guān)系數(shù) ρ = —0.02.神經(jīng)元1(紅)和2(藍)放電節(jié)律(上)及其對應的耦合電流(下)如圖7(a)所示.

第 二 部 分(0 .45nS ≤ gsyn-e< 2.0nS): 兩 耦 合神經(jīng)元都表現(xiàn)了方波簇放電模式, 峰相位差的最大值在大參數(shù)范圍內(nèi)為 2π ＜ max(??(t)) ＜ 50.2,相比第一部分有降低, 簇相位差最大值max(?(Φ(t)))<0.07＜ 2π , 說明未達峰相位同步、達到了簇相位同步; 相關(guān)系數(shù) 0.6 ＜ ρ ＜ 0.8, 說明同步程度達到中等.以耦合強度 gsyn-e= 1.5 nS為值 max(??(t)) = 910.9, 簇 相 位 差 最 大 值max(?Φ(t))= 0.06 ＜ 2π , 相關(guān)系數(shù) ρ =0.65 .神經(jīng)元1(紅)和2(藍)放電節(jié)律(上)及其對應的耦合電流(下)如圖7(c)所示.

圖6 初值相同時, 不同耦合強度下神經(jīng)元1(紅)和2(藍)的膜電位 V (上)及耦合電流 (下), 插圖是局部放大 (a)gsyn-e=0.35nS; (b) gsyn-e=2.5nS ; (c) gsyn-e=5.0nS ; (d)gsyn-e=18.0nSFig.6.Membrane potential V (top) and coupling current (low) of neurons 1 (red) and 2 (blue) with the same initial values at different gsyn-e values (Insert figure: the enlargement of bursting): (a) gsyn-e=0.35nS ; (b) gsyn-e=2.5nS ; (c) gsyn-e=5.0nS ;(d) gsyn-e=18.0nS .

第四部分(3 .55nS ≤ gsyn-e< 10.5nS): 耦合神經(jīng)元表現(xiàn)出DB簇放電模式, 峰相位差的最大值2π ＜ max(??(t)) ＜ 653.4, 簇相位差最大值max(?(Φ(t)))＜ 0.02 ＜ 2π , 相關(guān)系數(shù) 0.97 ＜ ρ ＜1, 未達到峰相位同步, 而達到簇相位同步, 同步程度強.以 gsyn-e= 5.0 nS為例, 此時簇相位差最大值 max(?Φ(t)) = 0.99 ＜ 2 π , 峰相位差的最大值max(??(t))= 157.9, 同步因子 ρ =0.99 .神經(jīng)元1(紅)和2(藍)放電節(jié)律(上)及其對應的耦合電流(下)隨時間t的變化如圖7(d)所示.

第五部分(1 0.55nS ≤ gsyn-e≤ 1 8.0nS): 兩耦合例, 兩神經(jīng)元都表現(xiàn)為周期23方波簇放電序列,簇相位差最大值 max(?Φ(t))=0.02 ＜ 2π , 峰相位差的最大值 max(??(t)) = 4.1, 相關(guān)系數(shù) ρ =0.64 .放電時間序列及耦合電流 Isyn-e隨時間t的變化如圖7(b)所示.此時兩耦合神經(jīng)元的簇內(nèi)的峰是反相同步的, 如圖7(b)的插圖所示, 與Best等[29]的研究類似.圖7(b)的插圖所示的是單個簇的放大圖.

第 三 部 分(2 .0nS ≤ gsyn-e< 3.55nS): 每 個 神經(jīng)元的電活動隨時間變化都表現(xiàn)為方波簇與DB簇的交替的混合簇, 峰相位差的最大值 2π ＜max(??(t))＜ 2013.1, 簇 相 位 差 最 大 值max(?(Φ(t)))<0.08＜ 2π , 相關(guān)系數(shù) 0.9 ＜ ρ ＜ 1,未達到峰相位同步, 而達到簇相位同步, 同步程度較強.例如, 當 gsyn-e= 2.5 nS時, 峰相位差的最大神經(jīng)元表現(xiàn)為周期1峰放電, 峰相位差最大值max(?(?(t)))≈3.14, 達到峰反相同步; 相關(guān)系數(shù)?0.88＜ ρ ≤ ? 0.6 .由于此時不是簇放電, 就沒有定義簇相位差.以 gsyn-e= 18.0 nS為例, 峰相位差最大值 max(??(t)) = 3 .14 , 同步因子 ρ = —0.88,達到峰反相同步.放電時間序列圖及耦合電流Isyn-e隨時間t的變化如圖7(e)所示.

圖7 初值不同時, 不同耦合強度下神經(jīng)元1(紅)和2(藍)的膜電位V(上)及耦合電流 I syn-e (下), 插圖是局部放大 (a) gsyn-e =0.35 nS; (b) g syn-e = 1.5 nS (c) g syn-e = 2.5 nS; (d) g syn-e = 5.0 nS; (e) g syn-e = 18.0 nSFig.7.Membrane potential V (top) and coupling current I syn-e (low) of neurons 1 (red) and 2 (blue) with different initial values at different gsyn-e (Insert figure: the enlargement of bursting): (a) gsyn-e = 0.35 nS; (b) gsyn-e = 1.5 nS; (c) gsyn-e = 2.5 nS;(d) gsyn-e = 5.0 nS; (e) g syn-e = 18.0 nS.

其中方波簇、方波簇與DB簇的交替的混合簇和周期1峰放電與Dunmyre等的實驗發(fā)現(xiàn)相似[25].

3.3 耦合神經(jīng)元的快慢變量分離

在不同耦合強度下, 對兩耦合神經(jīng)元系統(tǒng)(4)—(7)進行快慢變量分離.本文以神經(jīng)元1為例展示結(jié)果.

3.3.1 快子系統(tǒng)的分岔的示例

以 gsyn-e= 1.5 nS為例(其它耦合強度下的快子系統(tǒng)的分岔的關(guān)鍵點h值, 如表3所列), 隨著慢變量h的增加, 快子系統(tǒng)的平衡點在(h, V1)平面上展示了“S”型曲線, 其中下支和上支的藍色實線分別為穩(wěn)定結(jié)點和穩(wěn)定焦點, 黑色虛線是不穩(wěn)定平衡點, “S”型曲線上的分岔點 F1 都代表平衡點的鞍結(jié)分岔, 如圖8(a)所示.

在“S”型曲線的上支, 隨著慢變量h增加, 不穩(wěn)定焦點變?yōu)榉€(wěn)定焦點, 出現(xiàn)了兩個不穩(wěn)定極限環(huán), 發(fā)生了兩個亞臨界Hopf分岔即subh1點(h≈0.2682)和 subh2點 (h ≈ 0.2857).subh2點的不穩(wěn)定極限環(huán)隨著h增大消失, 而subh1點的不穩(wěn)定極限環(huán)隨著h的增大, 在h ≈ 0.4549發(fā)生了極限環(huán)的鞍結(jié)分岔(即LPC1), 有穩(wěn)定的極限環(huán)出現(xiàn),再隨著h減小穩(wěn)定的極限環(huán)在h ≈ 0.3321發(fā)生了極限環(huán)的鞍結(jié)分岔(即LPC2), 同時產(chǎn)生了不穩(wěn)定的極限環(huán), 接著隨著h的增大不穩(wěn)定的極限環(huán)消失, 如圖8(b)所示, 紅色實線和虛線分別代表穩(wěn)定及不穩(wěn)定極限環(huán)的最大值和最小值.

3.3.2 相同初值條件下的簇放電模式

當耦合強度 gsyn-e= 0.35 nS時, 神經(jīng)元1處于周期19的方波簇放電狀態(tài)(如圖6(a)所示), 將其簇放電在(h, V1)平面上的軌跡疊加到其快子系統(tǒng)的分岔圖上, 如圖9(a)所示.隨著h的增加, 全系統(tǒng)的軌線從下支的靜息態(tài)經(jīng)鞍結(jié)分岔(F1)轉(zhuǎn)遷到上支的重復放電, 再隨著h的減小, 重復放電經(jīng)鞍?同宿(HC)分岔轉(zhuǎn)為下支的靜息態(tài), 完成了一次周期振蕩.根據(jù)文獻[52]中的簇放電的命名規(guī)則, 此類簇放電被稱為“fold/homoclinic”型簇放電, 如圖9(a)所示.

當 gsyn-e= 2.5 nS時, 神經(jīng)元1處于DB簇放電狀態(tài)(如圖6(b)所示), 如圖9(b)所示.簇放電的相軌線從下支靜息態(tài)經(jīng)鞍結(jié)分岔(F1)轉(zhuǎn)遷到上支, 但沒有圍繞著穩(wěn)定的極限環(huán)發(fā)生振蕩, 放電圍繞穩(wěn)定焦點作衰減振蕩, 當經(jīng)過亞臨界Hopf分岔點subh1時, 振幅逐漸減小但沒減少到零, 但在subh1點左側(cè)不穩(wěn)定焦點的作用下, 系統(tǒng)振蕩幅度逐漸增大, 越過極限環(huán)的鞍結(jié)分岔點, 最后上支的放電態(tài)轉(zhuǎn)變?yōu)橄轮У撵o息態(tài), 所以稱此放電簇為“fold/fold limit cycle”滯后的“subHopf/subHopf”型簇放電.

表3 不同 g syn-e 下快子系統(tǒng)中關(guān)鍵點的慢變量h的值Table 3.The slow variable h values of the bifurcation or key points at different g syn-e values.

圖8 當 gsyn-e = 1.5 nS時, 兩耦合神經(jīng)元的快子系統(tǒng)的分岔, 插圖是局部放大 (a)平衡點分岔; (b)平衡點分岔和極限環(huán)的分岔Fig.8.Bifurcations of the fast?subsystem of the two coupled neurons with respect to h when gsyn-e = 1.5 nS (Insert figure: the en?largement): (a) Equilibrium points; (b) equilibrium points and limit cycle.

當 gsyn-e= 5.0 nS時, 神經(jīng)元1仍然處于DB簇放電狀態(tài)(如圖6(c)所示), 如圖9(c)所示.簇放電的相軌線從下支的靜息態(tài)經(jīng)鞍結(jié)分岔(F1)轉(zhuǎn)遷到上支, 繞著穩(wěn)定的極限環(huán)發(fā)生振蕩, 而放電軌線圍繞穩(wěn)定焦點作阻尼振蕩, 當經(jīng)過亞臨界Hopf分岔點subh1時, 振幅減小到零, 但在subh1點左側(cè)不穩(wěn)定焦點的作用下, 系統(tǒng)振蕩幅度逐漸增大, 越過極限環(huán)的鞍結(jié)分岔點, 最后上支的放電轉(zhuǎn)變?yōu)橄轮У撵o息, 所以稱此放電簇為經(jīng)“fold/fold limit cycle”滯后環(huán)的“subHopf/subHopf”型簇放電.

當 gsyn-e= 18.0 nS時, 神經(jīng)元1都處于周期1峰放電狀態(tài)(如圖6(d)所示), 如圖9(d)所示.相軌線未經(jīng)“S”型曲線的下支, 這就是峰放電的特征.

3.3.3 不同初值條件下的簇放電模式

不同初值條件下, 神經(jīng)元1和神經(jīng)元2的時間歷程不同, 但是兩個神經(jīng)元的放電簇模式還是相同的.限于篇幅和避免重復, 本文展示神經(jīng)元1的結(jié)果.

gsyn-e= 0.35 nS, 神經(jīng)元1處于周期18方波簇放電狀態(tài)(如圖7(a)所示), 圖10(a)所示.雖然與初值相同時該耦合強度下耦合系統(tǒng)的分岔類似(如圖9(a)所示), 此類型的簇放電被稱為“fold/homoclinic”型簇放電, 但是此時的方波簇的峰個數(shù)少, 如圖10(a)所示.

gsyn-e= 1.5 nS, 神經(jīng)元1處于周期23方波簇放電狀態(tài)(如圖7(b)所示), 如圖10(b)所示.簇放電軌線從靜息態(tài)經(jīng)鞍結(jié)分岔(F1)轉(zhuǎn)遷到放電態(tài),放電態(tài)經(jīng)極限環(huán)的鞍結(jié)(LPC2)分岔進入靜息態(tài),形成“fold/fold limit cycle”型簇放電, 如圖10(b)所示.型簇放電, 如圖10(c)所示; 而對于方波簇放電時段, 與初值不同時耦合強度 gsyn-e= 1.5 nS下耦合系統(tǒng)的分岔 (如圖10(b))類似, 形成 “fold/fold limit cycle”型簇放電, 如圖10(d)所示.

圖9 初值相同時, 神經(jīng)元1在不同耦合強度下簇放電模式的快慢變量分離, 插圖是局部放大 (a) gsyn-e = 0.35 nS; (b) gsyn-e =2.5 nS; (c) gsyn-e = 5.0 nS; (d) gsyn-e = 18.0 nSFig.9.The fast?slow variable dissection of neuron 1 for different initial values at different gsyn-e values (Insert figure: the enlarge?ment): (a) g syn-e = 0.35 nS; (b) gsyn-e = 2.5 nS; (c) gsyn-e = 5.0 nS; (d) gsyn-e = 18.0 nS.

圖10 初值不同時, 神經(jīng)元1在不同耦合強度下簇放電模式的快慢變量分離, 插圖是局部放大 (a) gsyn-e = 0.35 nS; (b) gsyn-e =1.5 nS; (c)和(d) gsyn-e = 2.5 nS; (e) gsyn-e = 5.0 nS; (f) gsyn-e = 18.0 nSFig.10.The fast?slow variable dissection of neuron 1 for different initial values at different g syn-e values (Insert figure: the enlarge?ment): (a) gsyn-e = 0.35 nS; (b) gsyn-e = 1.5 nS; (c) and (d) gsyn-e = 2.5 nS; (e) gsyn-e = 5.0 nS; (f) gsyn-e = 18.0 nS.

gsyn-e= 5.0 nS, 神經(jīng)元1處于DB簇放電狀態(tài)(如圖7(d)所示), 如圖10(e)所示.快子系統(tǒng)下支的穩(wěn)定狀態(tài)在平衡點的分岔與初值相同時該耦

gsyn-e= 2.5 nS, 神經(jīng)元1處于DB簇與方波簇的混合簇放電狀態(tài)(如圖7(c)所示), 如圖10(c)和圖10(d)所示.其中的DB簇的放電時段與方波簇放電時段的快慢變量分離的結(jié)果分別如圖10(c)和圖10(d)所示.DB簇放電時段的結(jié)果與初值相同時該耦合強度下耦合系統(tǒng)的分岔類似, 形成“fold/fold limit cycle”滯后環(huán)的“subHopf/subHopf”合強度下耦合系統(tǒng)的分岔類似, 此放電簇為經(jīng)“fold/fold limit cycle”滯后環(huán)的“subHopf/subHopf”型簇放電.

gsyn-e=18.0nS, 神經(jīng)元1處于周期1峰放電狀態(tài)(如圖7(e)所示), 如圖10(f)所示.簇放電軌線未經(jīng)“S”型曲線的下支, 快子系統(tǒng)分岔與初值相同時該耦合強度下耦合系統(tǒng)的分岔相同, 稱為峰放電, 但是兩個峰放電被誘導的原因不同.

3.4 共存的反相同步峰和同相同步峰的不同

圖11 反相同步(紫色)和同相同步(綠色)周期1峰放電節(jié)律 (a) (h, V1)相平面上的相軌跡圖; (b)耦合電流隨時間t的變化Fig.11.The anti?phase (purple) and in?phase (green) period?1 spiking: (a) The V-h trajectory; (b) coupling current.

圖12 (a)快子系統(tǒng)的平衡點和極限環(huán)的分岔; (b)圖(a)中極限環(huán)分岔處的放大; (c)反相同步(紫色)和同相同步(綠色)周期1峰放電的快慢變量分離; (d)圖(c)中反向同步(紫色)和同向(綠色)同步周期1峰放電的放大Fig.12.(a) Bifurcations of equilibrium points and limit cycle of the fast?subsystem; (b) enlargement of (a); (c) fast?slow variable dissection of anti?phase (purple) and in?phase (green) period?1 spiking; (d) enlargement of anti?phase (purple) and in?phase (green)period?1 spiking in Fig.(c).

當耦合強度 gsyn-e= 18.0 nS時, 相同初值時,耦合神經(jīng)元表現(xiàn)為完全同步周期1峰放電節(jié)律(如圖6(d)所示), 也是同相峰同步; 初值不同時, 耦合神經(jīng)元表現(xiàn)出反相同步的周期1峰放電節(jié)律(如圖7(e)所示).兩種放電節(jié)律的峰峰間期大小及極限環(huán)的幅值不同; 相比于不同初值, 相同初值下的峰峰間期和極限環(huán)的幅值都大, 如圖11(a)所示.且耦合神經(jīng)元的耦合流大小不同, 相同初值下的耦合流大于不同初值下的耦合流, 如圖11(b)所示.這說明: 當 ? 0.099≤h≤0.089 時, 耦合神經(jīng)元存在共存的周期1峰吸引子.當初值相同時, 耦合神經(jīng)元表現(xiàn)為同相同步周期1峰放電, 當初值不同時,耦合神經(jīng)元表現(xiàn)為反相同步周期1峰放電.

利用快慢表變量分離可以進一步區(qū)分反相同步和同相同步的周期1放電節(jié)律的不同, 如圖12所示.可以看出兩類峰放電產(chǎn)生的機制不同.快子系統(tǒng)會產(chǎn)生一個大的穩(wěn)定極限環(huán)(粗紅線)和一個小的穩(wěn)定極限環(huán)(紅線), 如圖12(a)所示.圖12(b)是極限環(huán)分岔的局部放大.現(xiàn)將兩共存的周期1放電在(h, V1)平面的相軌線疊加到相應的快子系統(tǒng)的分岔圖上, 同相同步的周期1峰放電(綠色)是由快子系統(tǒng)的大的穩(wěn)定的極限環(huán)誘導產(chǎn)生, 而反相同步的周期1峰放電(紫色)是由快子系統(tǒng)的比較小的穩(wěn)定的極限環(huán)誘導產(chǎn)生, 如圖12(c)所示.圖12(d)是兩周期1的極限環(huán)處放大.因此同相同步的峰峰間期和極限環(huán)的幅值都大于反相同步的峰峰間期和極限環(huán)的幅值.

4 結(jié) 論

本文研究了pre?B?tC單神經(jīng)元模型的放電規(guī)律以及耦合神經(jīng)元模型由簇到峰的復雜同步節(jié)律轉(zhuǎn)遷和分岔機制.在單神經(jīng)元模型中模擬了由DB簇、到方波簇、到周期1簇放電的節(jié)律轉(zhuǎn)遷過程, 與Negro等[26]在實驗中發(fā)現(xiàn)的pre?B?tC神經(jīng)元會經(jīng)歷從靜息到簇放電、再到峰放電的節(jié)律轉(zhuǎn)遷歷程相近似.對于由pre?B?tC的單神經(jīng)元經(jīng)興奮的化學突觸耦合建立的兩神經(jīng)元網(wǎng)絡, 隨著耦合強度增加, 會表現(xiàn)出不同同步節(jié)律的轉(zhuǎn)遷.初值相同時, 表現(xiàn)出完全同步的方波簇放電, 到DB簇放電,到周期1峰放電的復雜節(jié)律轉(zhuǎn)遷.當兩耦合神經(jīng)元初值不同時, 表現(xiàn)出由簇相位反相同步的方波簇放電, 到簇相位同步但簇內(nèi)峰反相同步的方波簇放電, 到方波簇與DB簇的混合簇放電, 最后到反相同步的周期1峰放電的復雜節(jié)律、同步轉(zhuǎn)遷.其中方波簇, DB簇, 方波簇與DB簇交替的混合簇和周期1峰放電與Dunmyre等[25]的實驗發(fā)現(xiàn)相似.利用快慢變量分離, 揭示出相同初值下的同步行為依次為“fold/homoclinic”, “subHopf/subHopf”簇放電和周期1峰放電.不同初值時的簇相位同步轉(zhuǎn)遷表現(xiàn)為由“fold/homoclinic”, 到“fold/fold limit cycle”, 到“subHopf/subHopf”與“fold/fold limit cycle”的混合簇放電、再到“subHopf/subHopf”簇放電、最后到反相同步周期1峰放電.這些復雜的節(jié)律模式的同步轉(zhuǎn)遷與實驗結(jié)果相類似, 為全面深入認識實驗現(xiàn)象提供了幫助.與已有的關(guān)于pre?B?tC復合體的同步的數(shù)值仿真結(jié)果不同, 本文不僅結(jié)合了生物學實驗結(jié)果, 還采用了多個指標刻畫了多種同步, 并且重點研究了耦合神經(jīng)元同步模式隨著參數(shù)(耦合強度)連續(xù)變化的節(jié)律轉(zhuǎn)遷規(guī)律,不再是只關(guān)注某個參數(shù)值下的同步模式.

傳統(tǒng)觀念中, 興奮性的耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡, 興奮性強度的增加可以促進網(wǎng)絡中神經(jīng)元的同步, 而抑制性神經(jīng)元網(wǎng)絡, 抑制性強度的增加可以抑制網(wǎng)絡中神經(jīng)元同步[53].而本文兩耦合神經(jīng)元網(wǎng)絡, 隨著興奮性的增加, 在強耦合強度下不僅發(fā)現(xiàn)了兩耦合神經(jīng)元的周期1峰放電的完全同步, 而且還發(fā)現(xiàn)了兩耦合神經(jīng)元的周期1峰放電的反向同步, 給出了一種不同于傳統(tǒng)觀念的新示例.進一步利用快慢變量分離及分岔機制揭示出了同向同步周期1峰放電及反向同步周期1峰放電的不同: 同相同步的周期1峰放電是由快子系統(tǒng)的大的穩(wěn)定的極限環(huán)誘導產(chǎn)生, 而反相同步的周期1峰放電是由快子系統(tǒng)的比較小的穩(wěn)定的極限環(huán)誘導產(chǎn)生.與傳統(tǒng)觀念不同的新的非線性現(xiàn)象和機制引起了越來越多的關(guān)注[44?50], 包括, 抑制性作用引起單神經(jīng)元從靜息變?yōu)榉烹姟⒃鰪姺烹婎l率、引起神經(jīng)元網(wǎng)絡的同相同步; 興奮性作用可以引起放電頻率降低、引起神經(jīng)元網(wǎng)絡從放電變?yōu)殪o息.而本文發(fā)現(xiàn)的強興奮性的強度下的反相同步是一個新的反常現(xiàn)象, 并用分岔給出了理論解釋, 豐富了非線性動力學的內(nèi)涵.

本文及以前的關(guān)于pre?B?tC的復雜節(jié)律及其同步動力學的理論研究[28?40], 有助于從理論上全面和深入研究復雜的、相對離散的實驗現(xiàn)象.特別是, pre?B?tC的每個神經(jīng)元的節(jié)律就是涉及多時間尺度的、強非線性的復雜動力學, 再加上強非線性的興奮性化學耦合的影響, 不僅造成了實驗現(xiàn)象復雜、難以識別, 還造成了理論研究上的困難, 這就使得pre?B?tC的同步動力學的研究比一般的復雜網(wǎng)絡同步動力學的研究要更為困難.因此, 快慢變量分離和分岔分析的介入對于這些復雜節(jié)律的認識是極為必要的[54?56].今后, 應該繼續(xù)發(fā)揮快慢變量分離和分岔分析的優(yōu)勢, 從多個方面(例如不同離子、考慮自耦合等)開展對pre?B?tC的同步動力學的研究, 服務于神經(jīng)科學和非線性科學的發(fā)展.