超混沌Tang系統(tǒng)的分析及其線性反饋同步與其電路實(shí)現(xiàn)*

高智中

(安徽科技學(xué)院信息與網(wǎng)絡(luò)工程學(xué)院，安徽 蚌埠 233030)

當(dāng)非線性動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)具有兩個(gè)或兩個(gè)以上的正Lyapunov指數(shù)時(shí),系統(tǒng)處于超混沌狀態(tài)，動(dòng)力學(xué)行為比一般混沌系統(tǒng)更復(fù)雜,更難以預(yù)測(cè)。構(gòu)造超混沌系統(tǒng)及其同步的研究引起了廣大科研工作者的極大關(guān)注。文獻(xiàn)[1-3]通過施加外部正余弦激勵(lì)信號(hào)而實(shí)現(xiàn)超混沌，文獻(xiàn)[4-6]通過對(duì)三維混沌系統(tǒng)引入一個(gè)控制器，并將其耦合到系統(tǒng)的一個(gè)方程或多個(gè)方程中而實(shí)現(xiàn)超混沌。文獻(xiàn)[7]設(shè)計(jì)了一種線性牽制控制器實(shí)現(xiàn)了一個(gè)參數(shù)范圍較小的新超混沌系統(tǒng)的同步，文獻(xiàn)[8]基于一種新型趨近律研究了分?jǐn)?shù)階不確定Duffling 系統(tǒng)的自適應(yīng)滑模同步問題，文獻(xiàn)[9]研究了分?jǐn)?shù)階單擺系統(tǒng)的終端滑?？刂苹煦缤?，文獻(xiàn)[10]研究了一類分?jǐn)?shù)階冠狀動(dòng)脈系統(tǒng)的混沌同步問題，文獻(xiàn)[11]研究了主-從蔡氏電路系統(tǒng)在線性狀態(tài)誤差反饋控制下存在通道時(shí)延時(shí)的滯后混沌同步問題。但是這些方法的控制器設(shè)計(jì)比較復(fù)雜，而且同步收斂速度較慢和對(duì)參數(shù)敏感。

針對(duì)上述問題，本文基于Tang系統(tǒng)[12]，構(gòu)造了一個(gè)新的四維超混沌Tang系統(tǒng)，用數(shù)值模擬方法分析了該系統(tǒng)的相圖，分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜等基本動(dòng)力學(xué)特性。與以往的超混沌相比，新系統(tǒng)的參數(shù)k具有更大的變化范圍，并且系統(tǒng)隨k與p變化表現(xiàn)出相同的動(dòng)力性行為且成一定的比例。設(shè)計(jì)了一種線性牽制控制器實(shí)現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的同步，利用了混沌系統(tǒng)的狀態(tài)變量的有界性，通過誤差系統(tǒng)內(nèi)部的自組織作用，整個(gè)誤差系統(tǒng)漸近穩(wěn)定從而實(shí)現(xiàn)了混沌同步，該方法不需要求系統(tǒng)的最大 Lyapunov 指數(shù)或建立 Lyapunov 函數(shù)，從而大大減少了計(jì)算量，而且這種方法容易實(shí)現(xiàn)、同步速度快、同步結(jié)果穩(wěn)定。最后設(shè)計(jì)了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)電路，并在示波器中觀察到電路系統(tǒng)的超混沌動(dòng)力學(xué)行為和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步結(jié)果，這些結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果基本吻合。

1 超混沌Tang系統(tǒng)及其超混沌吸引子

文獻(xiàn)[12]提出的新的三維自治混沌系統(tǒng)，其狀態(tài)方程可表示為

當(dāng)a=25.6,b=66.8,c=39.22,d=0.2,e=4時(shí)，系統(tǒng)存在典型的混沌吸引子。

經(jīng)過大量嘗試，在Tang系統(tǒng)的第1個(gè)方程增加一個(gè)非線性狀態(tài)反饋控制器w,并增加一個(gè)關(guān)于w的一階微分方程，可得到如下新的四維超混沌Tang系統(tǒng)：

2 動(dòng)力學(xué)行為演化

情形1:當(dāng)固定a=20,b=35,p=1,c=30,d=5，變量x隨k在[0,1 500]變化關(guān)于x的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖(這里略去了第四根Lyapunov指數(shù)曲線)如圖2所示。從圖2可以觀察到,系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為，并且隨參數(shù)k變化范圍較大。

為了進(jìn)一步說明系統(tǒng)中取不同參數(shù)的超混沌、混沌、周期各自軌跡的特點(diǎn)，本文分別對(duì)k=16,64,92,230,410,548,648,1 244,1 498這9個(gè)k值上的相軌跡進(jìn)行數(shù)值仿真，圖3給出了x-w平面上的典型的相軌跡圖，由圖可見系統(tǒng)各狀態(tài)下的相軌跡在不同平面的投影具有不同的形狀。表1給出了這9種參數(shù)下的Lyapunov指數(shù)譜和運(yùn)動(dòng)形式。

圖1 系統(tǒng)的超混沌吸引子Fig.1 Hyperchaotic attractors of system

圖2 系統(tǒng)隨k變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖Fig.2 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum diagram of the system varies with k

圖3 系統(tǒng)各狀態(tài)下的典型相軌跡在x-w平面上的投影Fig.3 Projections of typical phase paths in the x-w planar graph under different system state

kλ1λ2λ3λ4運(yùn)動(dòng)形式161.118 90.387 00.006 4-27.406超混沌640-1.602 3-4.290 9-20.045一周期92 0.370 40-1.241 4-25.054混沌2301.286 00-4.721 5-22.537混沌4101.152 20-6.094 4-21.049混沌5480-0.574 2-0.590 3-24.833二周期6480 -0.533 0-2.315 3-23.152四周期1 2440-0.095 7-9.913 0-15.999二周期1 4980-3.389 6-10.578 0-12.038一周期

情形2:當(dāng)固定a=20,b=35,c=30,d=5,k=10，變量x隨p在[0,150]變化關(guān)于x的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖(這里略去了第四根Lyapunov指數(shù)曲線)如圖4所示。由圖4見隨參數(shù)p變化和隨參數(shù)k變化具有相同的動(dòng)力學(xué)行為,只是變化范圍大大的縮小。

圖4 系統(tǒng)隨p變化的分岔圖和Lyapunov指數(shù)譜圖Fig.4 Bifurcation diagram and Lyapunov exponent spectrum diagram of the system varies with p

3 新超混沌系統(tǒng)的線性反饋同步

設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)為

令驅(qū)動(dòng)變量為x2，構(gòu)造響應(yīng)系統(tǒng)為

其中u為待設(shè)計(jì)的線性反饋控制器。

令誤差變量為ei=yi-xi,i=1,2,3,4。則兩系統(tǒng)的誤差系統(tǒng)可化為

選取線性控制器u=-10e1-10e4，則誤差系統(tǒng)可進(jìn)一步化為

顯然e4的解將隨著時(shí)間以指數(shù)速率趨向于零，即當(dāng)t→∞時(shí)，e4→0。同理，e1也能漸近穩(wěn)定于零點(diǎn),e2,e3也能漸近穩(wěn)定于零點(diǎn)，所以整個(gè)誤差系統(tǒng)就會(huì)被牽制到零點(diǎn)，從而驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)同步。設(shè)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的初始值仍為(10,10,10,10)，響應(yīng)系統(tǒng)的初始值為(1,1,1,1)，在線性控制器作用下同步誤差曲線模擬結(jié)果如圖5所示，由圖5可以看出, 經(jīng)過一個(gè)暫態(tài)過程后誤差變量e1,e2,e3,e4全部快速趨向于零。

圖5 兩系統(tǒng)的同步誤差曲線Fig.5 Synchronization error curve of two systems

4 電路實(shí)現(xiàn)

為了驗(yàn)證驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的特性，筆者設(shè)計(jì)了硬件電路來實(shí)現(xiàn)驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)。因?yàn)殡娐分懈麟娙菰哪蛪褐凳怯邢薜?，故將?qū)動(dòng)系統(tǒng)中各變量變?yōu)樵瓉淼?/40,驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)如圖6(a)所示，其中參數(shù)值為：C1=C2=C3=C4=100 nF,R1=10 MΩ,R2=350 MΩ,R3=3.5 MΩ,R4=100 MΩ,R5=500 MΩ,R6=10 MΩ,R7=7.5 MΩ,R8=3 MΩ,R9=100 MΩ,R10=10MΩ,R11=20 MΩ,R12=2.5 MΩ,R13=1 MΩ,R14=100 MΩ,R15=2MΩ,R16=10 MΩ,R17=10 MΩ,R18=1 MΩ,R19=100 MΩ,R20=R21=1 MΩ,R22=R23=1 MΩ。

圖6 超混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)電路(a)和響應(yīng)電路(b)Fig.6 Driver circuit (a) and response circuit(b) in the hyperchaotic system

利用示波器測(cè)量驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的超混沌吸引子如圖7所示，與本文的圖1對(duì)比可見，硬件電路的輸出結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果是一致的。

前文構(gòu)建了與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)線性反饋同步的響應(yīng)系統(tǒng)中u=-10e1-10e4,且ei=yi-xi,i=1,2,3,4，故u=10x1-10y1+10x4-10y4，將u的表達(dá)式帶入響應(yīng)系統(tǒng)可得：

將響應(yīng)系統(tǒng)中各變量變?yōu)樵瓉淼?/40,響應(yīng)系統(tǒng)表達(dá)式變?yōu)椋?/p>

響應(yīng)系統(tǒng)電路實(shí)現(xiàn)如圖6(b)所示，為了與驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)的參數(shù)便于對(duì)比，響應(yīng)系統(tǒng)的參數(shù)下標(biāo)前加了0，各參數(shù)分別為：C01=C02=C03=C04=100 nF,R01=10 MΩ,R02=350 MΩ,R03=3.5 MΩ,R04=100 MΩ,R05=500 MΩ,R06=10 MΩ,R07=7.5 MΩ,R08=3 MΩ,R09=100 MΩ,R010=10MΩ,R011=20 MΩ,R012=100 MΩ,R013=1 MΩ,R014=100 MΩ，R015=2MΩ,R016=10 MΩ,R017=10 MΩ,R018=1 MΩ,R019=100 MΩ,R020=10 MΩ,R021=1 MΩ。

驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)的同步性測(cè)試如圖8所示，圖8(a)所示為x1和y1的時(shí)序圖，對(duì)比x1和y1時(shí)序波形圖可見，隨著時(shí)間的變化，波形是相同的；圖8(b)所示為x1和y1的狀態(tài)同步圖，可見x1和y1達(dá)到了良好的同步，同理，對(duì)x2-y2,x3-y3,x4-y4進(jìn)行相同測(cè)試，結(jié)果與x1和y1的同步性是一樣的?？梢?，驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)和響應(yīng)系統(tǒng)具有良好的同步性。

圖8 超混沌系統(tǒng)的驅(qū)動(dòng)電路和響應(yīng)電路的x1和y1的時(shí)序圖和狀態(tài)同步圖Fig.8 Time-serial diagram and state synchronization diagram of x1 and y1 in the driver system and response system of the hyperchaotic system

5 結(jié) 論

本文在Tang混沌系統(tǒng)基礎(chǔ)上構(gòu)造了一個(gè)新的四維超混沌系統(tǒng),重點(diǎn)研究了新引入的兩個(gè)參數(shù)k和p取不同值時(shí)超混沌系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)情況, 通過分岔圖、Lyapunov指數(shù)譜及相圖的數(shù)值仿真,刻畫了超混沌系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，結(jié)果發(fā)現(xiàn)新的四維超混沌系統(tǒng)具有豐富的動(dòng)力學(xué)行為。成功構(gòu)造了一種線性控制器實(shí)現(xiàn)了該超混沌系統(tǒng)的同步，最后設(shè)計(jì)了相應(yīng)的實(shí)驗(yàn)電路，并在示波器中觀察到電路系統(tǒng)的超混沌動(dòng)力學(xué)行為和驅(qū)動(dòng)系統(tǒng)與響應(yīng)系統(tǒng)的同步結(jié)果，這些結(jié)果與數(shù)值仿真結(jié)果基本吻合。