含轉(zhuǎn)角自由度斷裂膜元運(yùn)用擴(kuò)展有限元方法研究綜述

俞成雯

(重慶交通大學(xué) 重慶 400074)

一、擴(kuò)展有限元法

(一)擴(kuò)展有限元法概念

擴(kuò)展有限元法采用的形狀(插值)函數(shù)是包括了不連續(xù)函數(shù)，利用單位分解的方法，在常規(guī)有限單元法的位移模式中采用不同類型的加強(qiáng)函數(shù)在裂紋上，使用漸進(jìn)位移場(chǎng)的低階項(xiàng)，來(lái)模擬裂紋尖端的奇異性，而應(yīng)力強(qiáng)度因子需要經(jīng)過(guò)特殊的積分計(jì)算。

(二)擴(kuò)展有限元的研究情況

Xiao和Karihaloo[1]總結(jié)了擴(kuò)展有限元法在靜態(tài)裂紋中的應(yīng)用的綜合表現(xiàn)，并且發(fā)現(xiàn)擴(kuò)展有限元法與廣義有限元法的相性較好。Karihaloo等[2]將擴(kuò)展有限單元法與廣義有限元法進(jìn)行了比較，提出了廣義有限單元容許P-自適應(yīng)，將有限元空間采用解析解或給定值問(wèn)題的數(shù)值解進(jìn)行改進(jìn)，無(wú)須精細(xì)化分的網(wǎng)格計(jì)算的精準(zhǔn)數(shù)值解。

余天堂[3-4]利用擴(kuò)展有限元法的基本原理，提出了解決不連續(xù)函數(shù)的數(shù)值積分，并運(yùn)用該方法推導(dǎo)出裂紋尖端的應(yīng)力強(qiáng)度因子的計(jì)算式，并且提出了三維裂紋問(wèn)題以及摩擦接粗裂紋問(wèn)題的擴(kuò)展有限元法。

二、廣義協(xié)調(diào)元

(一)廣義協(xié)調(diào)元的概念

由龍馭球等[6]提出了廣義協(xié)調(diào)元，歸納和總結(jié)了協(xié)調(diào)元和非協(xié)調(diào)元的特點(diǎn)，便于選取場(chǎng)函數(shù)，保證了單元的靈活性。廣義協(xié)調(diào)元實(shí)質(zhì)上是非協(xié)調(diào)元，但是在含以上卻不同于傳統(tǒng)的非協(xié)調(diào)元，將多變量的退化型(極限型)勢(shì)能原理來(lái)表示變分。

(二)含轉(zhuǎn)角自由度的平面斷裂膜元

在連續(xù)體平面問(wèn)題中，位移型的Lagrange單元及結(jié)點(diǎn)僅出現(xiàn)在邊上的Serendipity單元，可作為平面膜元。這類單元在板殼有限元中運(yùn)用最廣，它的每個(gè)結(jié)點(diǎn)位移分量為兩個(gè)線位移來(lái)保證收斂，Stricklin等[7]和Lee等[8]就此問(wèn)題，在四邊形八結(jié)點(diǎn)等參單元Q8上進(jìn)行研究和探討。為了減少內(nèi)部節(jié)點(diǎn)從而達(dá)到計(jì)算簡(jiǎn)化，提出了在平面膜元上增加旋轉(zhuǎn)自由度的概念，得到了更為精確的解，增加了單元位移場(chǎng)階次數(shù)。

1.平面斷裂膜元引入

平面斷裂膜元，就是基于平面膜元的基礎(chǔ)概念上，全新開(kāi)發(fā)的新型斷裂單元。龍馭球院士課題組雖然提出了含轉(zhuǎn)角自由度的平面膜元，但仍未考慮其在單元裂紋問(wèn)題的研究，對(duì)轉(zhuǎn)角自由度的處理，需要對(duì)裂紋單元所包含的裂紋的不同而分別討論。常規(guī)單元即采用平面膜元的表示方法，即用單元結(jié)點(diǎn)線位移確定的位移場(chǎng)和由角點(diǎn)剛體產(chǎn)生的附加旋轉(zhuǎn)位移場(chǎng)分別表示，而斷裂單元?jiǎng)t用這兩個(gè)位移場(chǎng)正確表示轉(zhuǎn)角自由度。

2.研究方法

選取合適的含轉(zhuǎn)角自由度的平面膜元，構(gòu)造考慮轉(zhuǎn)角自由度的位移場(chǎng)，在不連續(xù)處的構(gòu)造，考慮轉(zhuǎn)角自由度和線自由度的表達(dá)式，在這里將不連續(xù)位移場(chǎng)和連續(xù)位移產(chǎn)由角點(diǎn)剛體轉(zhuǎn)角產(chǎn)生的附加旋轉(zhuǎn)位移場(chǎng)與角點(diǎn)線位移引起的變形量分別單獨(dú)考慮，用不同的位移場(chǎng)公式進(jìn)行疊加。采用矩形平面膜元的時(shí)候，通常采用面積坐標(biāo)法來(lái)表示結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)，這里需要采用廣義協(xié)調(diào)元理論，求出待定系數(shù)，從而正確表示面積坐標(biāo)；擴(kuò)展有限元方法的公式理論推導(dǎo)，包括求解剛度矩陣、應(yīng)力強(qiáng)度計(jì)算等，推導(dǎo)裂紋貫穿單元和含裂尖單元的擴(kuò)展有限元格式；編寫(xiě)含轉(zhuǎn)角自由度的斷裂膜元計(jì)算程序，正確運(yùn)行平面斷裂膜元的開(kāi)發(fā)代碼并引用例子進(jìn)行準(zhǔn)確性校核。

3.研究結(jié)論

開(kāi)發(fā)一個(gè)垂直單元平面的含旋轉(zhuǎn)自由度的平面斷裂膜元，在引進(jìn)擴(kuò)展有限元法和增加位移場(chǎng)的階次的情況下，得到斷裂單元。它的角點(diǎn)自由度能非常方便地與其他類型單元，如板、殼及梁?jiǎn)卧噙B接，所以平面斷裂膜元的開(kāi)發(fā)上更加迫切。在具有旋轉(zhuǎn)自由度的斷裂膜元作為一部分理論基礎(chǔ)，對(duì)組成的平板型斷裂殼元研究提供理論參考，能夠了解殼體的斷裂情況，在運(yùn)用擴(kuò)展有限元知識(shí)的情況下解決此類問(wèn)題，還能為高層結(jié)構(gòu)中的剪力墻的斷裂分析提供一種思路。