反思與“重構(gòu)”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則

馬文杰

反思與“重構(gòu)”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則

馬文杰

（臺(tái)州學(xué)院 電子與信息工程學(xué)院，浙江 臺(tái)州 317000）

為了全面、深入地體現(xiàn)中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的“固有特征”，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的完整過(guò)程、主要環(huán)節(jié)與主要內(nèi)容，在綜合相關(guān)研究基礎(chǔ)上，基于建構(gòu)主義、社會(huì)互動(dòng)，以及習(xí)近平“四個(gè)引路人”等理論，從更廣泛的研究視角，“重構(gòu)”了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則，即：合理性原則、可用性原則、真實(shí)性原則、自主性原則、適切性原則、啟發(fā)性原則、過(guò)程性原則、多樣化原則、交流性原則、鞏固性原則、優(yōu)化性原則、評(píng)價(jià)性原則、補(bǔ)償性原則．可以直接“指導(dǎo)”中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正活動(dòng)，也可以在一定程度上豐富與完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正理論．

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤；數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則；反思；重構(gòu)

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤具有重要的教育與研究?jī)r(jià)值，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析與矯正，是數(shù)學(xué)教育及其數(shù)學(xué)教育研究的重要課題之一．基于建構(gòu)主義、社會(huì)互動(dòng)，以及習(xí)近平“四個(gè)引路人”[1]等理論，在綜合分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則已有研究的基礎(chǔ)上，從更廣闊的視角，反思與“重構(gòu)”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則．

1 基本內(nèi)涵

一方面，不同研究者，對(duì)于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤基本內(nèi)涵的界定并不完全一致，有些甚至有較大差異．另一方面，從教育實(shí)踐層面而言，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤所持有的態(tài)度與所具有的認(rèn)識(shí)也是形形色色．這當(dāng)中既有實(shí)質(zhì)的分歧，也有認(rèn)識(shí)層次上的差異，并與數(shù)學(xué)教師的數(shù)學(xué)素質(zhì)、數(shù)學(xué)觀、數(shù)學(xué)教育觀等密切相關(guān)[2-7]．郜舒竹等對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤進(jìn)行了較為長(zhǎng)期的研究，并在一些研究成果中對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤基本內(nèi)涵進(jìn)了較為全面、深入的分析[4-6，8-12]，體現(xiàn)出一定的數(shù)學(xué)特色與數(shù)學(xué)本質(zhì)．

研究贊同并采納郜舒竹對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的以下界定：根據(jù)小學(xué)數(shù)學(xué)（知識(shí)）的“客觀性和主觀性”特征，將其分為“規(guī)律性知識(shí)、規(guī)則性知識(shí)和規(guī)定性知識(shí)”3種類型：①規(guī)律性知識(shí)，即對(duì)數(shù)學(xué)中某種客觀規(guī)律的描述；②規(guī)則性知識(shí)，即依據(jù)數(shù)學(xué)自身邏輯發(fā)展的需要而人為規(guī)定的內(nèi)容；③規(guī)定性知識(shí)，即依據(jù)人的某種需要或者習(xí)慣而人為規(guī)定、約定俗成的內(nèi)容，規(guī)律性知識(shí)具有較強(qiáng)的客觀性，而規(guī)則性知識(shí)和規(guī)定性知識(shí)具有明顯的主觀特征．分析學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤時(shí)，不應(yīng)將“辨別錯(cuò)誤的標(biāo)準(zhǔn)局限于人的主觀方面”，而應(yīng)“定位于數(shù)學(xué)中的客觀實(shí)際”，亦即“規(guī)律性知識(shí)”，“辨別的標(biāo)準(zhǔn)主要看其違背的是客觀規(guī)律還是主觀規(guī)則或規(guī)定，違背客觀規(guī)律的結(jié)果自然可以認(rèn)定為錯(cuò)誤．若違背的是主觀規(guī)則或規(guī)定，需要慎重對(duì)待”[5-6]．

對(duì)于中小學(xué)數(shù)學(xué)內(nèi)容而言，郜舒竹的以上分類具有一定普遍意義．從而，其所確立的辨別學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的相應(yīng)標(biāo)準(zhǔn)也就具有了一定普適性．總的來(lái)說(shuō)，中小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤主要表現(xiàn)為對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)客觀規(guī)律性的違背．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析與矯正過(guò)程中，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師主要應(yīng)關(guān)注此類數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤．而當(dāng)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)，即其在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中表現(xiàn)出的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)行為和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)結(jié)果等，與數(shù)學(xué)的規(guī)定性知識(shí)和規(guī)則性知識(shí)相違背時(shí)，并非必然是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，這就需要教師以其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)表現(xiàn)是否具有數(shù)學(xué)的“合理性”為基本標(biāo)準(zhǔn)，對(duì)其進(jìn)行具體分析與判斷．

中小學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，主要是其錯(cuò)誤數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的外在表現(xiàn)，具有明顯的個(gè)體性特征與一定的群體性特征，等等．基于此，界定數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的基本含義為，通過(guò)教師啟發(fā)性講解，或引導(dǎo)學(xué)生以自主探究、共同討論等方式，分析、糾正其錯(cuò)誤數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，進(jìn)而促使學(xué)生理解與掌握相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)，提升數(shù)學(xué)能力的過(guò)程．

2 研究意義

對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則進(jìn)行“重構(gòu)”研究，至少具有以下兩方面基本意義．①對(duì)中小學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正活動(dòng)具有一定“指導(dǎo)”作用．在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生總會(huì)或多或少地出現(xiàn)一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤．因此，對(duì)其進(jìn)行科學(xué)、合理而有效的矯正就成為中小學(xué)數(shù)學(xué)教師的一項(xiàng)基本“教學(xué)常規(guī)”．中小學(xué)數(shù)學(xué)教師如何做好學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的“引路人”[1]：如何促使學(xué)生對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤持有更為正面、積極的情感與態(tài)度；如何通過(guò)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正錘煉學(xué)生的意志品質(zhì)；如何更加有效地引導(dǎo)學(xué)生矯正其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，并對(duì)其建立更加全面、客觀和辯證的認(rèn)識(shí)；如何在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程中進(jìn)一步拓展、深化學(xué)生的數(shù)學(xué)理解，進(jìn)一步提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維，以及數(shù)學(xué)的創(chuàng)新意識(shí)與創(chuàng)新能力等．在一定程度上而言，這一系列重要問(wèn)題的妥善解決，都有賴于對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤基本內(nèi)涵、基本特征，及其矯正原則等進(jìn)行更為多元、全面與深入的研究．在一定程度上而言，學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的基本內(nèi)涵與基本特征，“決定”了對(duì)其進(jìn)行矯正時(shí)應(yīng)該遵循的基本原則，而數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的基本原則,又對(duì)選擇相應(yīng)的矯正策略與矯正方式等具有直接而重要的“指導(dǎo)”作用．另外，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則的“重構(gòu)”研究，對(duì)中小學(xué)其它理科學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正也具有一定的借鑒與啟發(fā)作用．②可以在一定程度上豐富與完善數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正理論．相對(duì)于具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正策略和矯正方法而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則更為概括、抽象，也更為上位,從而也就表現(xiàn)出一定的“理論形態(tài)”．

3 進(jìn)一步分析

范德憲在數(shù)學(xué)教學(xué)中十分注重對(duì)學(xué)生“解題錯(cuò)例”的收集與整理,并將其分類整理，建立數(shù)學(xué)“病例卡”，用以診斷病因，對(duì)癥下藥，收到很好的教學(xué)效果．范德憲認(rèn)為建立數(shù)學(xué)“病例卡”應(yīng)遵循以下原則：典型性原則、針對(duì)性原則、普遍性原則、啟示性原則．并認(rèn)為病例卡的核心內(nèi)容是對(duì)病例的診斷，其診斷方法主要有：面診法、問(wèn)診法、議診法、會(huì)診法等[13]．謝紹義認(rèn)為上數(shù)學(xué)糾錯(cuò)課應(yīng)遵循以下原則：目的性原則、針對(duì)性原則、主體性原則、鞏固性原則[14]．陶君認(rèn)為，糾正學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的解題錯(cuò)誤時(shí)，既要遵循一般的教學(xué)原則，還要遵循以下4個(gè)“特殊”的教學(xué)原則：適時(shí)性原則、分類性原則、差異性原則和自主性原則[15]．洪幸良提出了提高糾錯(cuò)教學(xué)有效性的4條基本原則：關(guān)注學(xué)生的情感因素，注意保護(hù)學(xué)生的自尊心；精心設(shè)計(jì)糾錯(cuò)教學(xué)，把發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)留給學(xué)生；既要注意糾錯(cuò)的及時(shí)性，又要注意糾錯(cuò)的補(bǔ)救性；靈活選用不同的糾錯(cuò)方式[16]．馮竹林提出了糾正初中生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤的以下4條原則：主體性原則、針對(duì)性原則、分類性原則、鞏固性原則[17]．丁華干認(rèn)為高中生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中錯(cuò)題矯正的原則有：主體性原則、內(nèi)化性原則、生成性原則、反饋性原則、效益性原則、遷移性原則[18]．馬文杰提出并分析了矯正學(xué)生數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤應(yīng)遵循的11條基本原則：真實(shí)性原則、價(jià)值性原則、適時(shí)性原則、過(guò)程性原則、自主性原則、啟發(fā)引導(dǎo)原則、優(yōu)化原則、鞏固性原則、多樣化原則、評(píng)估性原則、補(bǔ)償性原則[19]．史桂存認(rèn)為矯正少數(shù)民族高一學(xué)生函數(shù)解題錯(cuò)誤時(shí)應(yīng)遵循以下原則：心理性輔導(dǎo)原則、針對(duì)性原則、適時(shí)適度性原則、二維訓(xùn)練原則．其中“‘二維訓(xùn)練’是指在對(duì)少數(shù)民族高一學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)教育過(guò)程中打破單一的邏輯思維訓(xùn)練，進(jìn)行形象思維和抽象思維這兩種思維能力的綜合訓(xùn)練”[20]．

以上關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則的相關(guān)研究，其研究?jī)?nèi)容具有較大的一致性．比如，有4位研究者[13-14，17，20]都提到了“針對(duì)性原則”；有3位研究者[14，17，20]都提出了“鞏固性原則”；有6位研究者[14-19]提出了“主體性原則”（自主性原則、把發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤的機(jī)會(huì)留給學(xué)生），且其主要內(nèi)涵是一致的．還有4位研究者[15-16，19-20]提出了“適時(shí)性原則”（注意糾錯(cuò)的及時(shí)性；適時(shí)適度性原則），其基本內(nèi)涵也具有一定一致性，等等．另外，對(duì)以上8位研究者所涉及的具體研究?jī)?nèi)容進(jìn)行更為深入和詳細(xì)的分析表明，不同研究者在某些研究?jī)?nèi)容之間“實(shí)質(zhì)的一致性”進(jìn)一步擴(kuò)大與增強(qiáng)．

不同的研究者關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則的相關(guān)研究，其研究?jī)?nèi)容具有較大差異性．首先，一個(gè)明顯的“基本事實(shí)”是：不同的研究者提出的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則的條數(shù)變化幅度相當(dāng)大：從4條到11條不等．其次，通過(guò)進(jìn)一步分析可知，不同的研究者，其研究視角和研究側(cè)重都有較大差異．比如，只有一位研究者[14]明確提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的“目的性原則”；只有一位研究者[19]明確提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的“真實(shí)性原則”；也只有一位研究者[20]提出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的“二維訓(xùn)練原則”，等等．另外，對(duì)不同研究者的具體研究?jī)?nèi)容進(jìn)行更為深入的分析與比較，可以發(fā)現(xiàn)不同研究者某些研究?jī)?nèi)容之間的相異性進(jìn)一步“拉大”．

以上大多數(shù)已有研究（除馬文杰[19]外）對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的特殊性方面揭示欠全面，解釋欠深入，未能全面而深刻地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則的“固有特征”等．因此，在一定程度上而言，也使其所構(gòu)建的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則失去了“本真意義”與應(yīng)有價(jià)值．

整體地來(lái)分析，以上已有研究的主要不足是十分明顯的．絕大多數(shù)研究（除馬文杰[19]外）是一種孤立性、局部性的“點(diǎn)狀研究”．在其研究過(guò)程中，研究者主要孤立地研究了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正某幾個(gè)方面的內(nèi)容，并對(duì)應(yīng)地形成了相應(yīng)矯正原則．而沒(méi)有整體地、聯(lián)系地研究整個(gè)完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程，從而形成比較系統(tǒng)、互相聯(lián)系的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則體系．

關(guān)于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則更為可取、合理與有效的研究應(yīng)該是：其所構(gòu)建的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則體系，既應(yīng)充分而深刻地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的本質(zhì)特征，也應(yīng)充分而全面地體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的完整過(guò)程，突出其主要環(huán)節(jié)和主要內(nèi)容等．因此，非常有必要對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則進(jìn)行更為全面、深入的研究．

4 “重構(gòu)”原則

盡管以上不同理論對(duì)研究所構(gòu)建的某些特定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則的支撐作用有大小之分，但其與研究所構(gòu)建的13條數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則之間并不是一種簡(jiǎn)單的對(duì)應(yīng)關(guān)系，而是作為其理論基礎(chǔ)，整體地支撐著整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則體系．在“重構(gòu)”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則的過(guò)程中，基于建構(gòu)主義理論，研究更加關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的個(gè)體性特征、建構(gòu)性特征，以及學(xué)生在其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正中的主體地位與自主性，等等．基于社會(huì)互動(dòng)理論、習(xí)近平“四個(gè)引路人”理論，研究更加關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的群體性特征，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的社會(huì)性特征，及教師在學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程中的主導(dǎo)作用等．

在矯正中小學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，首先，中小學(xué)數(shù)學(xué)教師應(yīng)該對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤建立正確的認(rèn)識(shí)，持有積極的態(tài)度．這也是研究構(gòu)建合理性原則、可用性原則、真實(shí)性原則的初衷．其次，應(yīng)該在整個(gè)矯正過(guò)程中突出學(xué)生的主體地位與教師的主導(dǎo)作用，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，適當(dāng)啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)自主探究、合作交流解決問(wèn)題．這些矯正思想主要體現(xiàn)在研究所構(gòu)建的自主性原則、適切性原則、啟發(fā)性原則、交流性原則等．再次，應(yīng)該在整個(gè)矯正過(guò)程中充分體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的固有特征，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的完整過(guò)程、主要環(huán)節(jié)與主要內(nèi)容．這些矯正思想主要體現(xiàn)在研究所構(gòu)建的自主性原則、過(guò)程性原則、多樣化原則、鞏固性原則、優(yōu)化性原則、評(píng)價(jià)性原則和補(bǔ)償性原則等．

4.1 合理性原則

在中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，學(xué)生出現(xiàn)一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是一種正常的現(xiàn)象，具有一定的必然性與合理性[9，11，21-23]．學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤與數(shù)學(xué)學(xué)科特點(diǎn)密切相關(guān)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)科具有較高的抽象性、概括性、連貫性與整體性等．只有學(xué)習(xí)者具備一定數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)，具有相應(yīng)數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中付出相當(dāng)?shù)恼J(rèn)知努力，才能較好地理解與掌握相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)．另一方面，歷史上不少數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，經(jīng)歷不少挫折，走過(guò)不少?gòu)澛?，出現(xiàn)很多失誤，有些失誤在事后來(lái)看甚至堪稱“低級(jí)”．而由“歷史發(fā)生原理”[24-25]可知，學(xué)生個(gè)體在學(xué)習(xí)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中所遭遇的種種挫折，經(jīng)歷的種種錯(cuò)誤，與歷史上那些數(shù)學(xué)家所遭遇的“境遇”具有一定的相似性．如果教師能夠理解當(dāng)時(shí)的數(shù)學(xué)家在發(fā)現(xiàn)（創(chuàng)造）那些數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中所出現(xiàn)的各種錯(cuò)誤，那么教師就更應(yīng)該理解當(dāng)下的學(xué)生在學(xué)習(xí)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中“遭遇”一定挫折，出現(xiàn)一些錯(cuò)誤，既有一定必然性，也有相應(yīng)合理性．

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤與數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程密切相關(guān)．理想的數(shù)學(xué)教學(xué)，應(yīng)在對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)和數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)能力等具有充分了解的基礎(chǔ)上，根據(jù)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)需要，以及數(shù)學(xué)建構(gòu)特征施以個(gè)別化的數(shù)學(xué)教育．但實(shí)際的情形是，人是怎么學(xué)習(xí)的，并沒(méi)有哪種理論能夠完全解釋清楚，或者更極端地說(shuō)，目前對(duì)人類的學(xué)習(xí)機(jī)理和學(xué)習(xí)過(guò)程依然知之不多，更不要說(shuō)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)機(jī)理與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程有足夠的了解．再加上較大班額的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，數(shù)學(xué)教師的教學(xué)水平參差不齊，更大大地“拉低”了數(shù)學(xué)教學(xué)的合理性與有效性．因此，在學(xué)生的所有數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤當(dāng)中，必然有一部分是由于數(shù)學(xué)教學(xué)不當(dāng)所造成的，“教師有時(shí)候也是導(dǎo)致學(xué)生錯(cuò)誤的原因之一”[4]．另外，即使再完美的教學(xué)設(shè)計(jì)，在教學(xué)實(shí)施過(guò)程中，都需要不斷地對(duì)其進(jìn)行反饋和調(diào)整，以真正契合學(xué)生學(xué)習(xí)需要，并與其進(jìn)行互動(dòng)[26]．而學(xué)生在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中表現(xiàn)出的各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困惑等常常成為進(jìn)行數(shù)學(xué)教學(xué)調(diào)整的最基本依據(jù)之一．

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤與學(xué)習(xí)者自身密切相關(guān)．學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤與其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)、數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)認(rèn)知能力，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心向等有密切關(guān)系．另外，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤充分地表明了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程的復(fù)雜性與建構(gòu)性，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤在很大程度上正是其基于具體的數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程，以及自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)等進(jìn)行自我數(shù)學(xué)建構(gòu)的“產(chǎn)物”，只不過(guò)它們不同程度地違背了數(shù)學(xué)知識(shí)所具有的客觀規(guī)律性．

4.2 可用性原則

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤絕非一無(wú)是處，而是有用的，也是可用的[11，19]，它有重要的教育價(jià)值，是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源．在一定程度上而言，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程是一個(gè)不斷地排除、修正、利用錯(cuò)誤的過(guò)程[22]．

學(xué)生的許多數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤具有一定“合理因素”．學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，并非總是完全錯(cuò)誤的，教師如果仔細(xì)分析，總能從其錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)中找到一些“合理因素”（合理成分[2]）．比如，有些數(shù)學(xué)解題錯(cuò)誤僅僅是一些細(xì)微的計(jì)算錯(cuò)誤，其解題方法是正確的；有些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是“錯(cuò)”中有“對(duì)”，正誤夾雜；有些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的思考方向是正確的，解決問(wèn)題的思路是可行的，等等．這就需要教師在分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，實(shí)事求是地指出，或引導(dǎo)學(xué)生自主地分析其正確因素與錯(cuò)誤之處，在矯正過(guò)程中積極利用其正確因素，并通過(guò)正誤對(duì)比加深學(xué)生對(duì)其錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的理解，通過(guò)適當(dāng)變式練習(xí)鞏固與拓展學(xué)生的正確認(rèn)識(shí)等[23]．因此，在分析與矯正數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生深入分析、積極挖掘、充分利用其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤所蘊(yùn)含的“合理因素”．基于學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的“合理因素”進(jìn)行錯(cuò)誤矯正．對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)，這樣的矯正處在其“最近發(fā)展區(qū)”，更為自然、合理與有效，也更易于理解、接受與內(nèi)化．另一方面，由于在矯正過(guò)程中，既充分利用了學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤中的“正確因素”，也深入分析與有效矯正了錯(cuò)誤，可以使學(xué)生對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)“更加辯證、全面、深入和客觀”[7]．

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是重要的數(shù)學(xué)教學(xué)資源．首先，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤揭示了學(xué)生數(shù)學(xué)理解上的誤區(qū)與盲點(diǎn)．各種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤背后所隱含的是學(xué)生各種錯(cuò)誤數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)．一方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)具有一定的干擾與阻滯；另一方面，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤具有一定的合理性、資源性價(jià)值與可利用性，通過(guò)深入分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，可以在一定程度上揭示其數(shù)學(xué)思維的水平與特征，也可以對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)進(jìn)行一定的診斷與反饋等[7]．其次，學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤與其有直接關(guān)系，他們自己或同伴的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤更能激發(fā)其“一探究竟”的迫切愿望．在教學(xué)過(guò)程中合理利用這些錯(cuò)誤資源，既可以最大限度地調(diào)動(dòng)學(xué)生的求知欲望，也能夠最大限度地達(dá)成他們的“自我實(shí)現(xiàn)”[26]．“與已經(jīng)定型的教材等外來(lái)資源相比，學(xué)生學(xué)習(xí)中產(chǎn)生的錯(cuò)誤更貼近學(xué)生的實(shí)際，更能引起學(xué)生的興趣，更能促進(jìn)其自我實(shí)現(xiàn)，因此學(xué)生的錯(cuò)誤是更鮮活的教學(xué)資源．”[26]另外，“錯(cuò)誤案例的正確運(yùn)用會(huì)激發(fā)學(xué)生的元認(rèn)知，并且還可以引起學(xué)生自我解釋、反思、探究、批判性的思考”[9]，在Borasi的相關(guān)研究中，分析了運(yùn)用學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的3種基本取向：矯正取向、發(fā)現(xiàn)取向、探究取向，并引導(dǎo)學(xué)生基于其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤進(jìn)行數(shù)學(xué)探究與數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)[27]．在一定程度上而言，這是對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的一種創(chuàng)造性地運(yùn)用與研究，非常值得在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程中進(jìn)行學(xué)習(xí)與借鑒．

4.3 真實(shí)性原則

盡管有些經(jīng)驗(yàn)豐富的數(shù)學(xué)教師確實(shí)可以預(yù)計(jì)出學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的部分錯(cuò)誤表現(xiàn)，但學(xué)生實(shí)際的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤表現(xiàn)遠(yuǎn)比數(shù)學(xué)教師，或數(shù)學(xué)教育研究者所能想象的更為豐富、深刻．真實(shí)的具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的研究?jī)r(jià)值，也遠(yuǎn)比一般數(shù)學(xué)教師和數(shù)學(xué)教育研究者所認(rèn)為的更為巨大、深遠(yuǎn)．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的教育價(jià)值蘊(yùn)含在一個(gè)個(gè)真實(shí)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤之中，也蘊(yùn)含在一個(gè)個(gè)具體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的形成過(guò)程與矯正過(guò)程中．因此，教師要分析與矯正學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，首先應(yīng)該以適當(dāng)方式全面收集、詳細(xì)整理學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，并對(duì)其進(jìn)行科學(xué)的分析與研究．應(yīng)該關(guān)注一個(gè)個(gè)“真實(shí)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是什么，它們是如何形成的，主要受到哪些因素影響，一個(gè)個(gè)“真實(shí)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤背后所隱含的學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)是什么，這些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)是如何形成的，學(xué)生又是如何意識(shí)到自己的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，并逐步對(duì)其進(jìn)行改變，等等．盡管研究強(qiáng)調(diào)教師要關(guān)注和分析學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中真實(shí)發(fā)生的錯(cuò)誤，但也應(yīng)注意并不是所有“真實(shí)”的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤都具有同等教育價(jià)值，更不是在矯正過(guò)程中要把學(xué)生所有的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤都原原本本地“和盤(pán)托出”，而應(yīng)根據(jù)矯正需要等對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)選擇、取舍、歸納與強(qiáng)調(diào)等[19]．

4.4 自主性原則

對(duì)于學(xué)生暴露出的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，教師應(yīng)盡量避免將之直接指出和予以糾正．應(yīng)該給出錯(cuò)的學(xué)生提供適當(dāng)?shù)淖晕曳此紮C(jī)會(huì)，引導(dǎo)其通過(guò)自我反思，或與同伴討論自己去發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、糾正錯(cuò)誤[26]．在學(xué)生自主糾錯(cuò)的過(guò)程中，教師并不是放任不管，而是需要“站在更高的角度去指導(dǎo)學(xué)生，以引領(lǐng)學(xué)生走出認(rèn)知的誤區(qū)，提高學(xué)生的認(rèn)知能力、自查能力，養(yǎng)成縝密的思維習(xí)慣，從而提高糾錯(cuò)教學(xué)的效率”[16]．

一方面，學(xué)生個(gè)體的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是一種具有一定個(gè)性化特征的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)象，是與學(xué)習(xí)者個(gè)體息息相關(guān)的．另一方面，在一個(gè)特定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)群體中，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤必然表現(xiàn)出相應(yīng)的群體性（共通性）[23]．在分析與矯正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，應(yīng)該充分激發(fā)與調(diào)動(dòng)學(xué)生自身的積極性與主動(dòng)性，充分體現(xiàn)其主體地位，充分發(fā)揮其主觀能動(dòng)性．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的一種外在表現(xiàn)，而要改變學(xué)生自身所存在的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，就需要充分調(diào)動(dòng)學(xué)生所具有的各種認(rèn)知與非認(rèn)知力量，進(jìn)一步激發(fā)與調(diào)動(dòng)學(xué)生的矯正需要、矯正興趣與矯正動(dòng)力，促使學(xué)生盡可能通過(guò)自己的認(rèn)知努力，對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤進(jìn)行深入分析與徹底改正等．即使有些學(xué)生通過(guò)自主探索活動(dòng)并不能完全“解決”其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，但通過(guò)相應(yīng)的自主探索活動(dòng)，他對(duì)自己數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)總要比初始階段更為清晰、全面與深入．這也是有益于教師通過(guò)啟發(fā)性講解促使學(xué)生完全理解，進(jìn)而徹底矯正其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的．因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該有意識(shí)、有目的地逐步培養(yǎng)學(xué)生自主分析與矯正其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的意識(shí)、方法、能力與習(xí)慣．另外，盡管研究強(qiáng)調(diào)在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程中，應(yīng)遵循“自主性原則”，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性，但教師啟發(fā)性講解依然是分析與矯正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的一種重要方式．尤其當(dāng)一個(gè)學(xué)生群體出現(xiàn)一些普遍的、頑固的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)在深入剖析其出錯(cuò)原因的基礎(chǔ)上，綜合運(yùn)用包括啟發(fā)性講解在內(nèi)的多種矯正方式，以進(jìn)一步提高錯(cuò)誤矯正的針對(duì)性與有效性．

4.5 適切性原則

應(yīng)在適宜的時(shí)機(jī)，采用適當(dāng)?shù)姆绞?，運(yùn)用適度的頻率對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤進(jìn)行分析與矯正．

矯正時(shí)機(jī)適宜．即對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的矯正時(shí)機(jī)選擇要適宜．如果教師對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤關(guān)注不夠，矯正不足，學(xué)生自己也沒(méi)有進(jìn)行相應(yīng)的自我矯正，當(dāng)那些錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)已經(jīng)在學(xué)生的頭腦里扎根、發(fā)芽，甚至茁壯成長(zhǎng)起來(lái)．這時(shí)教師再要進(jìn)行矯正就要花費(fèi)更大的精力，付出更大的代價(jià)，因?yàn)槿说恼J(rèn)識(shí)和觀念的改變是比較困難的，尤其當(dāng)這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)在其頭腦里成為一種比較穩(wěn)定的存在的時(shí)候．另外，數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的連貫性、系統(tǒng)性與整體性，學(xué)生在前面數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，如果沒(méi)有得到及時(shí)的矯正，日積月累，必然會(huì)嚴(yán)重影響與阻礙其后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)．因此，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的矯正應(yīng)及時(shí)，應(yīng)盡可能把它們“消滅”在萌芽狀態(tài)中，或者在學(xué)生還未形成穩(wěn)定的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的時(shí)候，就以適當(dāng)方式對(duì)其予以清除．

矯正方法適當(dāng)．學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是其錯(cuò)誤數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)的外在表現(xiàn)．要想數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析和矯正產(chǎn)生真正的教學(xué)效果，教師應(yīng)該運(yùn)用適當(dāng)方式，恰當(dāng)揭示學(xué)生錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，并有針對(duì)性地設(shè)計(jì)相應(yīng)矯正材料與矯正過(guò)程，以期學(xué)生真正理解自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，并能內(nèi)化相應(yīng)的正確數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)．

矯正強(qiáng)度適合．應(yīng)該根據(jù)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的性質(zhì)、程度等確定適當(dāng)?shù)某C正強(qiáng)度．有些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤既不穩(wěn)定，也不嚴(yán)重，更不普遍，只是表明少數(shù)學(xué)生對(duì)某些數(shù)學(xué)知識(shí)有一些輕微的誤解．隨著數(shù)學(xué)教學(xué)的逐步深入，或?qū)W生數(shù)學(xué)認(rèn)知水平的逐步提升，這些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤常常會(huì)自動(dòng)減弱，甚至完全消失．中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在矯正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中沒(méi)有必要過(guò)度關(guān)注此類錯(cuò)誤．有些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤具有一定的普遍性與根本性，表明有較多的學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)產(chǎn)生了比較普遍的嚴(yán)重的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．對(duì)于這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，教師當(dāng)然要“嚴(yán)陣以待”，爭(zhēng)取盡快地、盡可能地徹底干凈地予以“消滅”等．

4.6 啟發(fā)性原則

啟發(fā)性原則是數(shù)學(xué)教學(xué)中需要“一以貫之”的一條基本原則，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析與矯正過(guò)程中，尤其要重視對(duì)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)?shù)膯l(fā)與引導(dǎo)．

啟發(fā)學(xué)生找“錯(cuò)”．可以提出問(wèn)題：請(qǐng)同學(xué)們仔細(xì)檢查自己的解法有沒(méi)有什么錯(cuò)誤？或給出適當(dāng)提示：你的解法（或想法）有一定錯(cuò)誤，你能找到錯(cuò)在哪里嗎？或“通過(guò)反例或啟發(fā)等途徑暴露矛盾,引發(fā)當(dāng)事者自我反省”[21]．所有這些措施的基本目的在于：?jiǎn)l(fā)和引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考，逐步激發(fā)其“認(rèn)知沖突”，不斷聚焦思考方向，進(jìn)一步明確錯(cuò)誤所在．

啟發(fā)學(xué)生析“錯(cuò)”．通過(guò)適當(dāng)啟發(fā)與引導(dǎo)，促使學(xué)生意識(shí)到其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤之后，接下來(lái)就應(yīng)該進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行析“錯(cuò)”．學(xué)生可以獨(dú)立地分析自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，或結(jié)成小組，互相探疑問(wèn)難．錯(cuò)誤解法（想法）的主要錯(cuò)誤之處在哪里？導(dǎo)致其出錯(cuò)的主要原因是什么？當(dāng)時(shí)是怎么考慮的，為什么會(huì)出現(xiàn)這種錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)？如何改正自己的錯(cuò)誤解法（想法）？

啟發(fā)學(xué)生改“錯(cuò)”．在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，分析學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的主要目的之一，就是為了揭示學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤背后的“錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)”，更加有效地矯正其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤．應(yīng)該啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生以獨(dú)立探索，或以小組討論等方式矯正其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤．在矯正數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，可以繼續(xù)引導(dǎo)學(xué)生考慮以下問(wèn)題：已有的錯(cuò)誤解法（想法）有沒(méi)有“合理因素”？如何在有效利用錯(cuò)誤解法（想法）“合理因素”的基礎(chǔ)上改正其錯(cuò)誤解法（想法）？有沒(méi)有其它的改錯(cuò)方式？如何進(jìn)一步優(yōu)化與拓展自己的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)？等．當(dāng)學(xué)生通過(guò)自我探究，以及小組討論等并不能完全解決其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤時(shí)，教師應(yīng)該進(jìn)行適當(dāng)?shù)貑l(fā)性講解．

4.7 過(guò)程性原則

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是其數(shù)學(xué)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)的一種外在表現(xiàn)，而認(rèn)知的改變往往是比較困難的，尤其某些頑固的根本性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤更是“冥頑不化”[23]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的矯正要注重矯正結(jié)果，更要注重矯正過(guò)程，以及學(xué)生在矯正過(guò)程中所形成的積極的矯正感受與體驗(yàn)[19]，“學(xué)生有效知識(shí)量的增多、相關(guān)能力的生成，以及積極情感、價(jià)值觀的形成都是糾錯(cuò)的目標(biāo)”[28]．

從分析與矯正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的一般過(guò)程而言，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的矯正應(yīng)該包括：呈現(xiàn)錯(cuò)誤、分析錯(cuò)誤、矯正錯(cuò)誤、鞏固拓展、回顧總結(jié)、檢測(cè)評(píng)估、補(bǔ)償跟進(jìn)等[19]．應(yīng)該逐步引導(dǎo)學(xué)生明確相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的類型、程度，以及致錯(cuò)原因，逐步引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤背后隱含的數(shù)學(xué)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，逐步引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度探索矯正數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的有效方式，并對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)優(yōu)化與拓展．最后還應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程進(jìn)行適當(dāng)回顧與總結(jié)，不斷積累數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正經(jīng)驗(yàn)，逐步提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正能力等．另外，還要設(shè)置相應(yīng)的鞏固性練習(xí)，并考慮是否有必要進(jìn)行補(bǔ)償性矯正等．教師應(yīng)該鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用專門(mén)的“錯(cuò)題本”收集與整理他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤．為了更加深入與全面地了解學(xué)生的改錯(cuò)行為與改錯(cuò)過(guò)程，為了真正落實(shí)學(xué)生的改錯(cuò)行為，并使之產(chǎn)生應(yīng)有的教育價(jià)值，教師應(yīng)對(duì)學(xué)生運(yùn)用“錯(cuò)題本”的情況進(jìn)行相應(yīng)的跟蹤研究與督促檢查[7]．通常的數(shù)學(xué)課堂講授矯正方式，之所以很難達(dá)到理想的矯正效果，有一個(gè)根本原因就是沒(méi)有體現(xiàn)出數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的過(guò)程性原則．學(xué)生缺乏對(duì)其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析過(guò)程，缺乏對(duì)矯正方式的探索過(guò)程，也缺乏對(duì)相應(yīng)正確認(rèn)識(shí)的理解與內(nèi)化過(guò)程．這樣的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程往往難以“切中要害”，盡管所有學(xué)生都聆聽(tīng)了教師對(duì)正確解法（想法）的講解，很多學(xué)生（可能）依然沒(méi)有完全明白自己原來(lái)的解法（想法）到底錯(cuò)在何處．另外，由于學(xué)生缺乏對(duì)相應(yīng)正確數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)（解法）的理解與內(nèi)化過(guò)程，對(duì)學(xué)生而言，所謂的正確數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)（解法）依然是外在的，不穩(wěn)定與不清晰的，并沒(méi)有完全地真正內(nèi)化在其已有數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)當(dāng)中．

就分析與矯正學(xué)生某一個(gè)（類）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的具體過(guò)程而言，教師應(yīng)該讓學(xué)生自然地暴露出其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤[26]，并引導(dǎo)其主動(dòng)反思、自我糾錯(cuò)．通常情況，教師對(duì)學(xué)生的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤都有一定預(yù)見(jiàn)能力，但在教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有必要處處設(shè)防，時(shí)時(shí)預(yù)警．這樣既打亂了學(xué)生思維的自然進(jìn)程，也不利于其發(fā)揮學(xué)習(xí)的積極性與主動(dòng)性．學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中產(chǎn)生錯(cuò)誤,說(shuō)明在其思維過(guò)程的某個(gè)環(huán)節(jié)存在一定問(wèn)題，只有通過(guò)這種自我暴露才能將這個(gè)環(huán)節(jié)展現(xiàn)出來(lái)，才能找出錯(cuò)誤根源，標(biāo)本兼治地進(jìn)行糾錯(cuò)[29]．當(dāng)學(xué)生暴露出自己的學(xué)習(xí)錯(cuò)誤之后，教師應(yīng)盡量避免將之直接指出和予以糾正．而應(yīng)該給學(xué)生提供適當(dāng)?shù)姆此紮C(jī)會(huì)，讓出錯(cuò)的學(xué)生通過(guò)自我反思，或與同伴討論自己去發(fā)現(xiàn)與糾正錯(cuò)誤[26]．“由于徹底改變學(xué)生根本性的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)并不是一件容易的事情，學(xué)生認(rèn)識(shí)自己的錯(cuò)誤，理解自己的錯(cuò)誤，修正自己的錯(cuò)誤，以及完善和鞏固正確的認(rèn)識(shí)等都需要一定的時(shí)間，都要經(jīng)歷相應(yīng)的過(guò)程．因此，在矯正學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，應(yīng)該給學(xué)生安排一定的時(shí)間，促使其積極反思自己的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，消化吸收正確的認(rèn)識(shí)，并根據(jù)矯正需要和矯正反饋等，適當(dāng)進(jìn)行多次鞏固性矯正．”[23]

4.8 多樣化原則

學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤是多方面的，導(dǎo)致出錯(cuò)的原因也是復(fù)雜的，因而其矯正策略應(yīng)當(dāng)是多樣的，有時(shí)需要將多種矯正策略配合起來(lái)，靈活運(yùn)用[22]．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正材料的選擇，矯正方式的確定，以及矯正視角的切入都應(yīng)盡可能體現(xiàn)出多樣化的特點(diǎn)．

矯正材料多樣化．在矯正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，運(yùn)用的矯正材料應(yīng)多樣化．既有典型的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤素材，也有當(dāng)堂使用的練習(xí)性材料，還有課后完成的鞏固性作業(yè)、檢測(cè)性材料等．

矯正方式多樣化．應(yīng)該根據(jù)矯正需要等適當(dāng)確定多樣化的矯正方式．比如，對(duì)于個(gè)別性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，宜用個(gè)別化矯正方式，而對(duì)于普遍性數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，可用課堂集體矯正的方式．不管采用哪種矯正方式，都可以學(xué)生自主矯正為主，也可以教師啟發(fā)性講解為主．另外，還可以在教師的指導(dǎo)下，通過(guò)小組討論的方式，以小組為單位，共同探索與分析本組成員所面對(duì)的一些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤．小組合作矯正數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的突出優(yōu)點(diǎn)是：可以集中整個(gè)小組的數(shù)學(xué)智慧，實(shí)現(xiàn)優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，互相激勵(lì)、互相啟發(fā)、互相促進(jìn)、互相補(bǔ)充．這既有利于學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的理解、分析與解決，也有利于其矯正經(jīng)驗(yàn)的傳遞、共享與提升，還有利于學(xué)生合作能力、交流能力與表達(dá)能力的培養(yǎng)．洪幸良在其研究中提出了糾正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的6種基本方式，并指出了每一種“糾錯(cuò)方式”的適用范圍、適用的錯(cuò)誤類型，及其方法特點(diǎn)，值得中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在數(shù)學(xué)糾錯(cuò)教學(xué)中借鑒[16]．

分析視角和分析手段多樣化．對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析視角與分析手段，應(yīng)該是全方位與多元化的．可以從正（反）面進(jìn)行分析，可以考慮極端情形或特殊情形，還可以綜合運(yùn)用多種數(shù)學(xué)手段進(jìn)行分析，比如進(jìn)行邏輯分析，或者運(yùn)用圖形表示，等等．不同學(xué)生的認(rèn)知方式、能力傾向，以及數(shù)學(xué)知識(shí)基礎(chǔ)等都有一定差異．教師在分析和矯正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，提供多種矯正材料，運(yùn)用多種矯正方式，基于多個(gè)矯正視角，就可以為每個(gè)學(xué)生多開(kāi)一扇窗，多指一條路．

4.9 交流性原則

不論是個(gè)別矯正還是課堂集體矯正，都應(yīng)注重矯正過(guò)程中師生、生生之間的互動(dòng)與交流．尤其在課堂集體矯正過(guò)程中，要積極引導(dǎo)學(xué)生，在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上，大家一起交流對(duì)某些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的認(rèn)識(shí)．比如可以引導(dǎo)大家一起分析某些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的錯(cuò)誤之處，出錯(cuò)原因，背后所隱含的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，以及如何進(jìn)行矯正，等等．在某個(gè)（些）數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的分析與矯正結(jié)束之后，還可以引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)與交流各自的矯正經(jīng)驗(yàn)．比如，通過(guò)回顧與反思整個(gè)矯正過(guò)程，可以說(shuō)說(shuō)各自都有哪些主要收獲．通過(guò)師生、生生之間的“深度”互動(dòng)與交流，有助于進(jìn)一步澄清一些學(xué)生的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)，也可以進(jìn)一步強(qiáng)化或拓展一些學(xué)生的正確理解．

從學(xué)生個(gè)體的角度而言，其對(duì)整個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程的回顧與反思，是對(duì)其數(shù)學(xué)認(rèn)知過(guò)程或數(shù)學(xué)認(rèn)知改變過(guò)程的一種自我反思，從而也就具有了元認(rèn)知的性質(zhì)，也可以在一定程度上提高其數(shù)學(xué)元認(rèn)知能力．從學(xué)生群體的角度而言，師生、生生之間“深度”的互動(dòng)與交流，既有利于傳遞、共享與拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正經(jīng)驗(yàn)；也有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)交流能力與表達(dá)能力等．另外，通過(guò)師生、生生之間的“深度”互動(dòng)與交流，還有利于培育學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤進(jìn)行矯正的意識(shí)，并對(duì)其建立比較正面而積極的情感、態(tài)度與價(jià)值觀．因?yàn)橥ㄟ^(guò)師生、生生之間的“深度”互動(dòng)與交流，大家會(huì)“欣喜”地發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤并不是少數(shù)學(xué)生的“專利”，而是一種具有一定普遍性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤并非不可理喻、可惡之極，而是可以理解的、可用的，也是可以改變的．通過(guò)學(xué)生獨(dú)立探究，或互相討論，以及教師的啟發(fā)引導(dǎo)等可以逐步清除其數(shù)學(xué)錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)．

4.10 鞏固性原則

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的根本目的在于逐步改變學(xué)生的錯(cuò)誤數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，并促使其逐步形成比較穩(wěn)定和完善的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)．因此，在學(xué)生初步認(rèn)識(shí)到自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，基本明確如何改正自己的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，并確實(shí)改正其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤之后，還應(yīng)該設(shè)置適量的鞏固性練習(xí)．所有的鞏固性練習(xí)都應(yīng)該基于矯正需要、數(shù)量適當(dāng)、難度適中、體現(xiàn)變式、適度拓展．在這些鞏固性練習(xí)當(dāng)中，既要有學(xué)生當(dāng)堂完成的即時(shí)性鞏固練習(xí)，也要有課后完成的延后性鞏固練習(xí)．鞏固性練習(xí)一方面可以加強(qiáng)學(xué)生對(duì)相應(yīng)數(shù)學(xué)知識(shí)的理解與運(yùn)用能力．另一方面，也具有檢測(cè)與評(píng)價(jià)相應(yīng)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正效果的基本功能．另外，根據(jù)矯正需要，矯正鞏固既可一次完成，也可分多次進(jìn)行，矯正鞏固方式也應(yīng)靈活多樣[19]．

4.11 優(yōu)化性原則

矯正學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，并非僅僅改錯(cuò)那么簡(jiǎn)單，關(guān)鍵是引導(dǎo)學(xué)生澄清其錯(cuò)誤的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，形成比較穩(wěn)定與完善的數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，在此基礎(chǔ)上適當(dāng)優(yōu)化和拓展其數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，培養(yǎng)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的積極情感、態(tài)度與認(rèn)識(shí)等．

優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正方法．在矯正數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的過(guò)程中，應(yīng)積極引導(dǎo)學(xué)生從多個(gè)角度，運(yùn)用多種方式分析錯(cuò)誤，改正錯(cuò)誤，適當(dāng)進(jìn)行正誤對(duì)比，逐步加深學(xué)生對(duì)正確解法（想法）的理解，并通過(guò)對(duì)不同解法（想法）之間的分析與對(duì)比，進(jìn)一步揭示它們之間的區(qū)別與聯(lián)系，并對(duì)其進(jìn)行適當(dāng)優(yōu)化與拓展．

優(yōu)化數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正經(jīng)驗(yàn)．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程中，通過(guò)自我反思、師生交流，生生交流可以傳遞、共享、優(yōu)化與拓展學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤矯正經(jīng)驗(yàn)，提升其錯(cuò)誤矯正能力．

“培育”對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤更為正面而積極的情感、態(tài)度與認(rèn)識(shí)．學(xué)生“深度卷入”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正的完整過(guò)程，通過(guò)科學(xué)、合理與有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正活動(dòng)，所收獲的不僅僅是數(shù)學(xué)知識(shí)，提升的也不僅僅是數(shù)學(xué)能力，也能在一定程度上促使學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正建立更為客觀、全面、深入與辯證的認(rèn)識(shí)，進(jìn)而促進(jìn)其對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤形成更為積極的情感、態(tài)度與價(jià)值觀．

4.12 評(píng)價(jià)性原則

運(yùn)用適當(dāng)方式，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程和矯正效果進(jìn)行科學(xué)的分析與評(píng)價(jià)，可以進(jìn)一步明確矯正成效，也可以了解可能的矯正不足，為“確定”是否有必要進(jìn)行補(bǔ)償性矯正提供最基本、最直接的依據(jù)．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程中，教師通過(guò)對(duì)矯正活動(dòng)的適當(dāng)觀察與分析，可以對(duì)矯正效果進(jìn)行一定的即時(shí)性評(píng)價(jià)，并以此為據(jù)，對(duì)矯正活動(dòng)與矯正過(guò)程進(jìn)行一定調(diào)整與改變．在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正活動(dòng)初步完成之后，主要可以通過(guò)以下方式，對(duì)其進(jìn)行更為深入與完整的分析與評(píng)價(jià)．

通過(guò)教師自我回顧進(jìn)行矯正評(píng)價(jià)．教師可以通過(guò)對(duì)矯正材料和矯正過(guò)程的全面回顧與深入分析，對(duì)整個(gè)矯正過(guò)程和矯正效果做出一個(gè)初步的整體性評(píng)價(jià)．

通過(guò)學(xué)生問(wèn)卷和訪談進(jìn)行矯正評(píng)價(jià)．對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的矯正結(jié)束之后，可以通過(guò)預(yù)先設(shè)計(jì)的學(xué)生問(wèn)卷，或以訪談方式，從學(xué)生視角進(jìn)一步收集與分析有關(guān)矯正過(guò)程和矯正效果的基本數(shù)據(jù)．這種矯正評(píng)價(jià)方式的主要特點(diǎn)是：可以比較深入地了解一些有關(guān)矯正過(guò)程的細(xì)節(jié)信息，易于量化，相對(duì)客觀等．

通過(guò)專門(mén)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)測(cè)試卷或數(shù)學(xué)作業(yè)進(jìn)行矯正評(píng)價(jià)．進(jìn)行一定的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正之后，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，及其錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)究竟有沒(méi)有改變，在多大程度上發(fā)生了改變，學(xué)生的數(shù)學(xué)表現(xiàn)究竟如何，還在哪些方面存在不足，等等．這些問(wèn)題都可以通過(guò)專門(mén)設(shè)計(jì)的數(shù)學(xué)測(cè)試卷，或數(shù)學(xué)作業(yè)進(jìn)行進(jìn)一步的分析與評(píng)價(jià)．通過(guò)學(xué)生完成數(shù)學(xué)測(cè)試卷（作業(yè)）的種種“具體表現(xiàn)”，又可以從另一個(gè)角度提供有關(guān)矯正效果的實(shí)際“證據(jù)”．綜合分析以上3種評(píng)價(jià)數(shù)據(jù)，可以比較全面、深入地掌握有關(guān)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正過(guò)程和矯正效果的多種信息，可以對(duì)整個(gè)矯正過(guò)程和矯正效果做出比較科學(xué)而合理的評(píng)價(jià)．

4.13 補(bǔ)償性原則

如果通過(guò)一次數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正活動(dòng)并不能完全改變學(xué)生的錯(cuò)誤數(shù)學(xué)認(rèn)識(shí)，就需要適當(dāng)設(shè)置相應(yīng)的補(bǔ)償性矯正．學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的各種具體外在表現(xiàn)，及其背后的深層錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)是異常復(fù)雜的．因此，對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的矯正往往是困難的，一次矯正未必完全奏效，尤其對(duì)某些具有一定普遍性和頑固性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤而言更是如此．要根據(jù)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正評(píng)價(jià)結(jié)果，同時(shí)結(jié)合數(shù)學(xué)教學(xué)需要等，確定是否有必要進(jìn)行補(bǔ)償性矯正．補(bǔ)償性矯正可以只進(jìn)行一次，也可以分多次進(jìn)行，每次進(jìn)行補(bǔ)償性矯正之后，都要以適當(dāng)方式進(jìn)行相應(yīng)矯正評(píng)估，以確定補(bǔ)償性矯正的效果及其可能存在的問(wèn)題，進(jìn)一步確定是否需要進(jìn)行后續(xù)矯正等[19]．

5 結(jié)語(yǔ)

研究強(qiáng)調(diào)的是：中小學(xué)數(shù)學(xué)教師在分析與矯正學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤時(shí)，應(yīng)該“淡化形式，注重實(shí)質(zhì)”[30]，判斷是否為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤應(yīng)該以其是否違背數(shù)學(xué)知識(shí)的客觀規(guī)律為主要標(biāo)準(zhǔn)．在矯正過(guò)程中應(yīng)該抓住學(xué)生主要的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，及其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤的主要方面，并充分調(diào)動(dòng)與發(fā)揮中小學(xué)生錯(cuò)誤矯正的積極性與主動(dòng)性．矯正學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，尤其那些具有一定根本性與普遍性的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤，往往并不能一蹴而就，需要適當(dāng)進(jìn)行補(bǔ)償性矯正，有時(shí)甚至需要“積極前進(jìn)，循環(huán)上升”[31]，在前進(jìn)過(guò)程中逐步解決學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中暴露出的各種問(wèn)題等．

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[11] 孫盛南，郜舒竹．分析小學(xué)生數(shù)學(xué)錯(cuò)誤的合理性——以“萬(wàn)以內(nèi)加法豎式”中的錯(cuò)誤分析為例[J]．教育與教學(xué)研究，2011，25（8）：90-94．

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[30] 陳重穆，宋乃慶．淡化形式，注重實(shí)質(zhì)——兼論《九年義務(wù)教育全日制初級(jí)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱》[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，1993，2（2）：4-9．

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Reflecting and Reconstructing Principles of Correcting Learning Errors in Mathematics

MA Wen-jie

(School of Electronics and Information Engineering, Taizhou University, Zhejiang Taizhou 317000, China)

In order to comprehensively and profoundly reflect the inherent characteristics of students’ errors in mathematics learning, the whole process, main links and main contents of correcting mathematics learning errors. Based on related researches, individual construction theory, social interaction theory and Xi Jinping’s “four guiders” theory, and so on. From more extensive perspectives, the 13 principles of correcting errors in mathematics learning are reconstructed. That is: rationality principle, usability principle, authenticity principle, autonomy principle, appropriateness principle, heuristic principle, process principle, diversification principle, communication principle, consolidation principle, optimization principle, evaluation principle and compensation principle. Which can directly guide correcting activities of mathematics learning errors in primary and secondary schools, and enrich and perfect theories of error correction in mathematics learning to a certain extent.

mathematical learning error; principles of error correction in mathematics learning; reflecting; reconstructing

G40–03

A

1004–9894（2020）02–0011–07

2019–10–11

2017年度浙江省高等學(xué)校訪問(wèn)學(xué)者教師專業(yè)發(fā)展項(xiàng)目——數(shù)學(xué)教育研究的一般過(guò)程與方法（FX2017066）；2019年度臺(tái)州市教育規(guī)劃課題——基于“學(xué)習(xí)共同體”促進(jìn)中小學(xué)數(shù)學(xué)教師專業(yè)成長(zhǎng)的“研學(xué)模式”研究（gg19006）

馬文杰（1978—），男，甘肅天水人，副教授，博士，主要從事數(shù)學(xué)課程與教學(xué)論研究．

馬文杰．反思與“重構(gòu)”數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)錯(cuò)誤矯正原則[J]．?dāng)?shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)，2020，29（2）：11?17．

[責(zé)任編校：陳雋、陳漢君]