土顆粒形態(tài)的二維數(shù)學表達及其適用性

李 強,喬志甜,沈 偉,李 萍,李同錄

(長安大學地質工程與測繪學院,陜西 西安 710054)

黃土顆粒的形態(tài)是極為重要的,它很大程度上影響黃土天然結構與濕陷性[1]。所以在微觀土體建模方面,黃土顆粒形態(tài)應盡量符合實際。土顆粒形態(tài)的描繪方法最初起源于圖形學。在圖形學上,形態(tài)是圖形的多個基本特征之一[2],也是進行圖形分析和圖形識別的重要途徑。目前,已有的土顆粒形態(tài)描繪方法可分為2類:一類是基于區(qū)域形態(tài)函數(shù)法,這種方法常用力矩陣理論來描繪顆粒形態(tài)[3-4],其中力矩類型包括幾何矩、Legendre矩和Zernike矩等。區(qū)域形態(tài)描繪法將閉合曲線所包圍的區(qū)域看作一個整體,對區(qū)域內所有像素點進行整合,故能反映曲線內部的情況。另一類方法基于邊界形態(tài)描繪法,包括Hough變換法[5-6]、Fourier法[7]以及小波變換法[8-9]。該方法通過提取輪廓信息來描繪形態(tài),所以僅能描繪形態(tài)的邊界形態(tài),而其區(qū)域內部的形態(tài)得不到反映。

對于二維土顆粒,在建立其微觀力學模型時僅需要給出顆粒的外邊界形態(tài),因此邊界形態(tài)函數(shù)法就能滿足要求,其中Fourier法是目前應用最廣、可擴展性最高的一種邊界形態(tài)描繪方法。該方法已在建筑、地質、古生物等領域得到廣泛應用。例如,Wang 等[10]利用Fourier法定量分析了水泥中粗骨料形態(tài)的幾何特征;Ehrlich等[11]發(fā)現(xiàn)Fourier法可以量化顆粒形態(tài),這些量化指標包含大量的地質信息;Bowman等[12]通過定義Fourier描繪符來定量分析砂粒在不同地理位置以及在受到不同沖刷作用下的形態(tài)差異;Khouya等[13]采用Fourier法描繪化石的形態(tài)并對化石分類。雖然Fourier法具有計算簡單,靈活性高等優(yōu)點,但也存在一些不足,如在需要較高的擬合精度時,該方法需要采集大量的樣本點,構建過程繁瑣;有限的Fourier級數(shù)雖能較好地描繪顆粒形態(tài),但無法使擬合曲線通過采樣點,因此以此構建的力學模型將不能精確判斷顆粒的接觸位置和范圍。針對Fourier法的不足,分別用Lagrange函數(shù)、Hermite函數(shù)以及Spline函數(shù)構建3種新的顆粒形態(tài)描繪方法,而后利用它們對甘肅正寧的實際黃土顆粒的形態(tài)進行描繪,根據(jù)結果探討了這4種方法各自的特點及適用性。

1 二維土顆粒形態(tài)的描繪方法

1.1 Fourier函數(shù)法

Fourier函數(shù)[12]可表示為

(1)

其中:ai、bi為Fourier系數(shù);i為頻率;R為距離參考形心的半徑;θ為采樣點方位角。

在使用Fourier函數(shù)時,形態(tài)的參考形心位置需精確定位:

(2)

選取樣本點后,Fourier系數(shù)ai、bi可由最小二乘法確定。Garboczi等[14]發(fā)現(xiàn)Fourier系數(shù)ai、bi隨i增加而降低,并逐漸趨近于0。根據(jù)Wang等[15]的研究,式(1)中i≤4的部分為形態(tài)描繪項,主要控制圖形的拉伸;i≤25的部分為角度描繪項,主要控制顆粒表面較大的起伏;此外,i≥26的部分為表面紋理描繪項,主要控制顆粒表面較細微的結構。因此使用有限的Fourier項數(shù)就能較好地描繪顆粒形態(tài)。

1.2 Lagrange函數(shù)法

通過Lagrange插值函數(shù)可以對二維平面上若干個已知點的分布函數(shù)進行插值,其原理是通過已知的n+1個節(jié)點值擬合出一個n次多項式。函數(shù)形式為

(3)

其中:Ri為樣本點半徑;li為Lagrange基函數(shù),li表達式為

(4)

當函數(shù)次數(shù)<7時,Lagrange函數(shù)的插值結果較好[16],隨著次數(shù)的增加,誤差將會增加,這種現(xiàn)象被稱為Runge現(xiàn)象。

1.3 Hermite函數(shù)法

(5)

其中:ii(θi)可由式(4)求導獲得。

1.4 Spline函數(shù)法

以往的民間文學(民間故事)經典研究，都是立足于民間文學學科本位，通過對民間文學對象的題材內容、結構形態(tài)等認識達到外在的、主觀的、實然的實踐目的，即對“真”的追求。此種研究從獨立于、優(yōu)越于實踐的認識主體立場出發(fā)，無論怎樣歸納諸種價值范疇，其思考結果都必然是外在的，都依賴于民間文學對象的外在語境。一旦外在語境消失，就喪失了實然(真)的發(fā)生條件與存在理由，在認識主體(研究者)眼中，民間文學即面臨著消亡命運。

(6)

其中:Mi為系數(shù);hi為區(qū)間長度,其形式為

hi=(xi-xi-1)。

(7)

三次樣條插值函數(shù)在每一個小區(qū)間上是不超過3次的多項式,含有4個待定系數(shù),在整個區(qū)間上有4n個待定系數(shù),依據(jù)三次樣條插值函數(shù)的定義,可確定4n-2個約束條件。要確定4n個系數(shù)需附加2個約束條件。為了保證輪廓曲線在連接點處光滑,選擇轉角邊界條件。

1.5 示例

由于Lagrange和Hermite函數(shù)存在Runge現(xiàn)象,在描繪顆粒形態(tài)時,應分段對顆粒進行描繪。此外,在應用上述4種函數(shù)法時,須保證角度(θ)與半徑(R)一一對應。研究舉1例說明了各個函數(shù)的特點。

圖1為文獻[14]中一個任意形態(tài)土顆粒,定義其邊界到中心的半徑為R,角度為θ,利用上述4種函數(shù)對其形態(tài)進行描繪,說明采樣點選取即參數(shù)計算方法。每隔1度選一個采樣點,共360個點來控制土顆粒的真實形態(tài)。不同采樣點數(shù)下各方法對給定土顆粒的描繪效果見圖2。圖2中4種函數(shù)法所使用的采樣點都為等間距均勻采樣。

由圖2可知,從擬合結果的形態(tài)上來看,隨著采樣點數(shù)的增加,4種函數(shù)法的擬合結果都逐漸趨近于實際形態(tài)。

圖1 不規(guī)則形態(tài)土顆粒示意圖Fig.1 Schematic diagram of soil particles with irregular morphology

對于Fourier法,當采樣點數(shù)N≤60時,擬合結果的形態(tài)與原始顆粒有較大差距;當采樣點數(shù)N≥60時,擬合結果的形態(tài)與原始形態(tài)較為接近,且隨著采樣點數(shù)的進一步增加,擬合結果在形態(tài)變化上趨于穩(wěn)定,但最終仍無法與原始形態(tài)完全重合。

由于Lagrange和Hermite函數(shù)均存在Runge現(xiàn)象,因此在使用Lagrange和Hermite函數(shù)法時,需對實際顆粒分段描述,分段的段數(shù)必須滿足在各分段內不會出現(xiàn)Runge現(xiàn)象。

對于Lagrange函數(shù)法,當采樣點個數(shù)為20和36時,在形態(tài)上,各分段的連接點附近與原始形態(tài)有較大誤差,這是由于Lagrange函數(shù)在連接點處的導數(shù)不連續(xù)。經試算發(fā)現(xiàn),當在各分段連接點處密集采樣時,能夠保證在點數(shù)較少的情況下,降低連接點附近在形態(tài)上的誤差(見圖3)。此外,當采樣點數(shù)N≥60時,各分段連接點處誤差相對較小。

對于Hermite函數(shù)法,因該函數(shù)為帶導數(shù)型插值函數(shù),故在各分段連接點附近沒有出現(xiàn)由于不可導而造成的誤差現(xiàn)象。

圖2 不同采樣點數(shù)下各方法對給定土顆粒的描繪效果Fig.2 Schematic diagram of the effect of depicting a given soil particle with different sampling points by using different methods

圖3 Lagrange函數(shù)法描繪結果 Fig.3 Lagrange function method depicting effect

對于Spline函數(shù)法,當N=20時,擬合結果的形態(tài)與原始圖形的形態(tài)有較大的差距,其原因在于采樣點較少且間隔較大。當N進一步增加,采樣點間隔變小時,擬合結果的形態(tài)逐步趨近于原始顆粒形態(tài)。

當采樣點數(shù)N≤36時,Hermite和Spline函數(shù)法的描繪結果相對于其他2種函數(shù)法更接近于原始形態(tài),這是由于Hermite函數(shù)為帶導數(shù)插值函數(shù),其插值精度相對高于其他方法。Spline函數(shù)是一種分段插值函數(shù),對復雜曲線的刻畫能力較強。當采樣點數(shù)N≥60時,相對于其他3種函數(shù)法,Fourier法的擬合結果最差,其他3種函數(shù)法的擬合結果都與原始形態(tài)極為接近。這種現(xiàn)象是由于研究使用有限Fourier級數(shù)來代替無窮項Fourier級數(shù)。此外,隨著采樣點數(shù)的進一步增加,4種函數(shù)法的擬合結果在形態(tài)上的變化基本趨于穩(wěn)定。

綜上所述,使用Fourier函數(shù)法描繪形態(tài)時,采樣點的個數(shù)不宜少于60。使用Lagrange函數(shù)法時,可采取2種采點方式:第1種,可取少量采樣點,但在各分段連接點附近應密集采點;第2種,可取較多的采樣點,以此降低連接點附近的誤差。對于Hermite和Spline函數(shù)法,可選擇相對較少的采樣點來描述實際形態(tài),但不宜少于36。但是,在使用Hermite函數(shù)法時,需要量取采樣點的導數(shù)值,相對于Spline法,采點的工作量較大。

2 黃土顆粒形態(tài)描繪

2.1 樣本選取

黃土顆粒輪廓可分為光滑和棱角結構明顯2類,為了檢驗上述函數(shù)法是否適用于黃土顆粒,從隴東正寧L1黃土土層中分別取了幾個代表性土樣。利用掃描電鏡獲得顆粒形態(tài),再從中選取一個光滑、一個棱角結構明顯的顆粒,如圖4所示。注意只分析2個粗的骨架顆粒的輪廓,大顆粒表面分散一些細粒,不考慮其影響。其中顆粒1輪廓較為圓滑,顆粒2輪廓棱角結構明顯。在采樣點為120的情況下,利用4種函數(shù)法分別對顆粒1、顆粒2進行描繪,描繪結果如圖5所示。

圖4 選取的顆粒樣本鏡下照片F(xiàn)ig.4 Photos of the selected particle samples under the microscope

圖5 各方法對真實土顆粒的描繪效果Fig.5 Effect of depicting real soil particles with each method

2.2 結果分析

(1) 形態(tài)分析 圖5表明,對于顆粒1,4種函數(shù)法的描繪結果與原始顆粒的形態(tài)都較為接近,其中Fourier函數(shù)法的描繪結果在少部分區(qū)域內與原始結果略有差異。Fourier函數(shù)法的描繪結果與使用的Fourier函數(shù)的階數(shù)密切相關,Fourier函數(shù)的階數(shù)越高,描繪結果與原始結果越接近[21]。由于研究使用12項Fourier函數(shù)來描繪顆粒形態(tài),因此描繪結果與原始顆粒略有差異,其余3種函數(shù)法的描繪結果在形態(tài)上無明顯不同。對于顆粒2,Lagrange和Hermite函數(shù)法的描繪結果較好地體現(xiàn)了原始顆粒的棱角結構,Fourier和Spline函數(shù)法的描繪結果未能體現(xiàn)原始顆粒的部分棱角。由于Lagrange 函數(shù)法使用的Lagrange函數(shù)的各分段連接點為不可導點,這種不可導點能很好地體現(xiàn)顆粒表面的棱角形態(tài)。Hermite函數(shù)為帶導數(shù)型插值函數(shù),當各分段連接點處于棱角結構處時,由于各分段連接點處左右導數(shù)值不同,從而達到與Lagrange函數(shù)法相同的效果。在Fourier和Spline函數(shù)法描繪出的顆粒邊界上,導數(shù)處處連續(xù),這使得邊界曲線較為光滑,但對于棱角結構明顯的顆粒來說,棱角結構會被圓滑。這表明Lagrange和Hermite函數(shù)法比Fourier和Spline函數(shù)法更加適合描繪棱角分明的顆粒。

(2) 半徑誤差 在一些力學模擬中,需要精確控制顆粒接觸位置,故在顆粒描繪中,必須保證控制點位置與擬合結果相同。在實際應用中,可將部分采樣點作為控制點。圖6展示了4種函數(shù)法在點數(shù)不同的情況下,顆粒1和顆粒2的擬合半徑與實際半徑的相對誤差變化。

圖6表明,Lagrange、Hermite、Spline函數(shù)法在采樣點處的相對誤差均為0,而Fourier函數(shù)法在采樣點處均有誤差。這表明除Fourier函數(shù)法,其他3種函數(shù)法都能有效通過采樣點,這是由于研究使用Fourier函數(shù)的階數(shù)有限造成的,而其他3種函數(shù)法均基于插值函數(shù),故可保證描繪結果通過采樣點。

隨著采樣點數(shù)的增加,各函數(shù)法的描繪結果在半徑上產生的誤差均有減小趨勢。當點數(shù)增加到120時,對于顆粒1,Fourier函數(shù)法的描繪結果在半徑上產生的誤差相對于其他3種函數(shù)法較大,而其他3種函數(shù)法的描繪結果在半徑上產生的誤差在大部分位置都接近于0,這是由于Fourier函數(shù)法不過采樣點造成的。對于顆粒2,各方法的描繪結果在半徑上產生的誤差變化情況基本與顆粒1類似。此外,Fourier和Spline函數(shù)法在195°～240°產生的誤差相對于Lagrange和Hermite函數(shù)法較大,這是由于在該范圍內,顆粒2棱角結構最為明顯。從不同顆粒描繪結果的半徑相對誤差來看,各方法對顆粒1的描繪結果在半徑上產生的誤差要小于顆粒2。綜上表明,4種函數(shù)法對圓滑顆粒的描繪能力優(yōu)于對有棱角結構顆粒的描繪。此外,同形態(tài)分析結果一致,Lagrange和Hermite函數(shù)法比Fourier和Spline函數(shù)法更加適合描繪棱角分明的顆粒。

(3) 周長誤差 考慮到顆粒邊界凹凸不平,將邊界分為360個微段,每1°為一段。周長(S)可表示為

圖6 真實土顆粒的擬合半徑與實際半徑的相對誤差變化Fig.6 The relative error changing graph of real soly particles between the fitted radius and the actual radius

(8)

其中:N為微段總數(shù),取360。

在采樣點個數(shù)不同的情況下,4種函數(shù)法描繪結果的周長變化規(guī)律如圖7所示。

圖7表明,當采樣點數(shù)較少時,周長的相對誤差變化較大,這是由于采樣點個數(shù)較少時,描繪結果的形態(tài)很難控制;隨采樣點數(shù)進一步增加,控制點逐步增多,周長逐漸趨于穩(wěn)定。由于使用Fourier函數(shù)的階數(shù)有限,這使得除Fourier函數(shù)法外,Lagrange、Hermite、Spline 3種函數(shù)法的描繪結果周長相對誤差最終達到0。

圖7 周長隨采樣點個數(shù)變化趨勢Fig.7 Trend graph of perimeter with the number of sampling points

對于顆粒1,Spline和Hermite函數(shù)法描繪結果周長相對誤差的變化規(guī)律基本一致,在采樣點數(shù)較少的情況下,這2種函數(shù)法的相對誤差也相對較小。對于顆粒2,Lagrange和Hermite函數(shù)法在采樣點達到60時,這2種函數(shù)法的描繪結果在周長上產生的誤差相對于其他2種方法較小。這表明,Lagrange和Hermite函數(shù)法比Fourier和Spline函數(shù)法更加適合描繪棱角分明的顆粒。此外,4種函數(shù)法對顆粒1的描繪結果在周長上產生的相對誤差小于對顆粒2的描繪結果。同形態(tài)、半徑誤差分析的結果一致,即4種函數(shù)法對圓滑顆粒的描繪能力優(yōu)于對有棱角結構顆粒的描繪能力。

3 結論

基于4種函數(shù)法對土顆粒描繪,結合形態(tài)分析、半徑及周長誤差分析,得出4種函數(shù)法的特點及其適用性:

(1) 在采樣點合適的情況下,4種函數(shù)法都能有效地描繪顆粒形態(tài)。此外,相對于棱角結構明顯的顆粒,4種函數(shù)法對圓滑顆粒的描繪能力較強。

(2) Fourier函數(shù)法所需要的采樣點數(shù)要遠多于其他3種描繪方法,描繪結果在形態(tài)上與原始顆粒較為接近,但其擬合結果不會通過采樣點。Lagrange、Hermite、Spline函數(shù)法的擬合結果均通過采樣點。

(3) 相對于Fourier和Spline函數(shù)法,Lagrange函數(shù)法更適合描繪棱角分明的顆粒。當在較少的采樣點下使用Lagrange函數(shù)法時,各分段連接點附近需密集采點。

(4) Hermite函數(shù)法能描繪棱角分明的顆粒也可以描繪形態(tài)圓滑的顆粒。所需的采樣點相對較少,但采點過程較為繁瑣。

(5) Spline函數(shù)法對采樣點的分布要求相對較低,采樣過程簡單。