擔保信用等級變換的利率互換衍生品定價

梁 進， 鄒宏春

(同濟大學 數(shù)學科學學院，上海 200092)

自20世紀80年代初發(fā)生了第一筆互換合約后，互換市場發(fā)展迅猛，金融互換交易已成為目前國際金融市場最大的融資工具之一，其中利率互換和貨幣互換是目前市場上最核心的2種互換工具. 雖然利率互換可以降低資金風險和利率風險，但是隨著次貸危機和歐債危機的爆發(fā)，作為反映受評對象違約可能性大小的信用等級，越來越受到人們的關(guān)注.

信用等級確定的目的在于評估受評對象違約可能性的大小，一般由專門的信用評級機構(gòu)進行評估. 目前國際三大評級機構(gòu)對信用評級的定義基本一致，均認為信用評級是對債務人償債能力和償債意愿的綜合評價. 三大評級機構(gòu)認為：信用評級只是對受評對象信用風險的評價，不是對其資產(chǎn)價值的度量，不能單獨用作投資操作的依據(jù)[1].

目前市場上對于信用風險的管理主要集中在違約風險上，對于信用等級變換風險管理的研究還比較少. 在利率互換過程中，雖然利率作為一種公共因子存在，但是在利率互換這一特定的參考實體中，利率的高低會影響到互換一方違約的可能性(如利率下跌會使得固定利率支付方違約可能性變大)，和公司的信用掛鉤，因此定義利率信用等級.利率越低，固定利率支付方公司違約可能性越大，利率信用等級越低.

國內(nèi)外學者對信用等級變換模型做了許多研究. Jarrow等[2]首次用Markov鏈模型描述信用等級遷移過程，并給出了在遷移強度為常數(shù)以及回收率為零的情況下公司債券價格的解析解. 梁進等[3]研究了約化方法下信用等級遷移和違約風險的零息票債券定價，模型中信用等級遷移強度與利率公共因子有關(guān)，在假設參數(shù)為常數(shù)的情況下得出了每個信用等級債券價值的解析解. 以上都是基于約化模型框架下對信用等級變換過程進行刻畫，但信用等級變換與公司資產(chǎn)價值密切相關(guān)，所以采用結(jié)構(gòu)化模型刻畫信用等級變換比約化方法更加自然直接. 目前為止，通過結(jié)構(gòu)化模型刻畫信用等級變換的研究比較少. 曾楚琨[4]利用結(jié)構(gòu)化方法討論了具信用等級遷移的債券定價，分別研究了利率為常數(shù)和隨機利率情況下的定價. Hu等[5]研究了具信用等級遷移債券定價的自由邊界問題，通過結(jié)構(gòu)化方法對債券定價并得到了自由邊界問題的一些性質(zhì). Liang等[6]利用結(jié)構(gòu)化方法研究了具信用等級遷移風險公司債券的效用無差異定價.

針對目前市場上存在的各種信用問題，投資者們自然想要采用某種手段來規(guī)避自己所面臨的信用風險，于是信用違約互換(CDS)應運而生. 它是一份為特定公司的違約風險提供保護的合約，特定公司稱為參考公司. 當投資者買入?yún)⒖脊景l(fā)行的參考債券時，為減少或避免參考公司違約對投資者造成的損失，投資者(即CDS買方)會向交易對手(即CDS賣方)買入一份CDS合約. 合約規(guī)定，當參考公司違約時，交易對手須對投資者的損失進行賠償，為此投資者須定期向交易對手支付保費，直至合約到期或信用事件的發(fā)生. 作為目前市場上最流行的信用衍生產(chǎn)品，CDS研究受到廣大學者的關(guān)注，研究主要集中在擔保違約風險的情況[7-9].

對于利率互換中的違約風險問題，梁進等[10]利用約化方法討論了信用攸關(guān)的利率互換的定價，并且對定價函數(shù)的性質(zhì)和參數(shù)的依賴關(guān)系進行分析. Huang等[11]研究了無違約條款和違約條款的信用攸關(guān)的利率互換的定價，利用歷史數(shù)據(jù)對參數(shù)進行估計并得出了合約價值的數(shù)值解.

在結(jié)構(gòu)化方法框架下，本文給出在利率互換過程中擔保信用等級的首次遷移所帶來損失的合約定價模型. 采用結(jié)構(gòu)化方法刻畫利率信用等級的首次遷移，并且在對合約價值的自變量的處理方法中，將低等級下零息票利率互換的價值作為合約價值函數(shù)的自變量. 利用對沖技巧推導合約價值滿足的偏微分方程，并且利用計價單位轉(zhuǎn)換的方法得到合約價值的半解析解. 最后,通過對偏微分方程進行數(shù)值模擬得到合約價值隨時間變化的關(guān)系圖，并且分析了各個參數(shù)對合約價值的影響.

1 模型的建立

在利率互換中，浮動利率支付方支付浮動利率，固定利率支付方支付固定利率. 隨機利率時時刻刻都在變化，隨機利率下跌使得固定利率支付方違約的可能性變大(相對應的隨機利率上升導致浮動利率支付方的違約可能性變大)，一旦隨機利率低于某個特定值(信用等級邊界)，隨機利率所遵循的隨機過程就會發(fā)生變化. 因此，對于浮動利率支付方而言，采用零息票定價法計算得到的利率互換的價值就會不一樣，那么就有可能導致浮動利率支付方產(chǎn)生損失.

考慮這樣一則合約，其目的是將利率互換過程中信用等級變換的風險轉(zhuǎn)移給愿意承擔這份風險的金融機構(gòu)，在合約期限內(nèi)，公司A(浮動利率支付方)與公司B(固定利率支付方)進行利率互換. 公司A面臨隨機利率發(fā)生信用等級變換的風險，即若利率下跌，則公司B違約的可能性就會變大，公司B的信用等級下降. 于是，公司A與另外一家金融機構(gòu)C簽訂一張合約來規(guī)避利率信用等級變換帶來的損失，其中公司A為利率保護買方，金融機構(gòu)C為利率保護賣方. 公司A一次性向金融機構(gòu)C支付保費，在合約期間一旦隨機利率發(fā)生信用等級變換，則合約終止，并且公司A利率互換的損失由金融機構(gòu)C來支付.

本節(jié)主要從Vasicek利率模型出發(fā)，假設信用等級只有高低2種等級，并且只擔保首次發(fā)生信用等級變換所帶來的損失. 利用結(jié)構(gòu)化方法來定義利率信用等級遷移時刻，將低等級下利率互換的價值作為合約價值的自變量，以此來構(gòu)建利率互換過程中利率等級發(fā)生變換的合約定價模型.

1.1 基本假設

作如下基本假設:

(1) 假設市場是完備的，不存在套利機會.

(2) 利率產(chǎn)品由一張面值為1、到期日為T的零息票債券構(gòu)成.

(3) 擔保的是固定利率支付方的信用等級，保費由利率信用等級保護買方(浮動利率支付方)在期初一次性支付給賣方(相應的擔保浮動利率支付方也可以做類似考慮).

(4) 存在一個信用等級邊界ra.當隨機利率r≥ra，利率處于高等級；當r

(5) 市場利率模型為Vasicek模型,如下所示:

drt=a(θ-rt)dt+(σ11{rt≥ra}+σ21{rt

式中:a、θ均為正常數(shù)；1A為事件A的示性函數(shù)；σ1和σ2為常數(shù)，分別表示高、低等級下波動率,有σ1<σ2；{Wt∶0≤t≤T}為由概率空間(Ω,F,Q)生成的標準Brown運動.

(6) 合約擔保的是固定利率支付方信用等級的下降，并且只考慮擔保信用等級的首次遷移. 隨機利率首次發(fā)生信用等級遷移的時刻定義為

τ=inf{t|r0>ra,rt≤ra}

1.2 現(xiàn)金流分析

1.2.1零息票定價公式[12]

若不考慮信用等級變換，市場利率模型為以下Vasicek模型：

drt=a(θ-rt)dt+σdWt

由Feynman-Kac公式可知，在鞅測度下函數(shù)P(r,t;T)適合以下偏微分方程Cauchy問題：

(1)

其中,

上述Cauchy問題有如下形式的仿射結(jié)構(gòu)解:

P(r,t;T)=A(t)e-rB(t)

(2)

其中,

1.2.2現(xiàn)金流損失分析

由于在信用等級變換之前并沒有產(chǎn)生損失，損失是由發(fā)生信用等級變換引起的，因此只需要分析信用等級變換以后直至到期日的時間段內(nèi)2個不同信用等級下零息票的價值差.

高、低等級下利率分別用r1t和r2t表示，相應地零息票利率互換的價值分別為P1t和P2t. 對于高等級而言，將低等級下零息票P2t=P(r2t,t;T)看作一種風險資產(chǎn)，由It公式可知[12]

由式(2)可知

同時,由于P2t滿足式(1)，立刻可得P2t滿足的隨機微分方程，如下所示：

(3)

若固定利率支付方因隨機利率下降而在利率互換合約到期日T之前發(fā)生信用等級變換，變換時刻為τ，則利率保護買方(浮動利率支付方)將由于固定利率支付方信用等級變換而產(chǎn)生利差. 若P1τ>P2τ，則利差為P1τ-P2τ；若P1τ≤P2τ，則利差為零. 因此，此時利率保護賣方應該向保護買方賠付的金額為(P1τ-P2τ)+.

由于賠付金額的表達式含低等級下零息票的價值P2，因此本文從一個新的角度對合約價值的自變量進行定義. 信用等級一旦發(fā)生變化(從高等級到低等級)，那么此時低等級下零息票對于高等級下利率可以看作是一種風險資產(chǎn).式(3)為低等級零息票價值滿足的隨機微分方程.類似于債券和期權(quán)定價模型[13]，將風險資產(chǎn)低等級下零息票價值P2作為合約價值的自變量，把合約的價值看作是時間t、高等級下利率r1和風險資產(chǎn)低等級下零息票價值P2的函數(shù). 因此，在t時刻合約的價值

1.3 偏微分方程的推導

下面利用對沖技巧[13]來推導合約的價值Vt=V(t,r1,P2)所滿足的偏微分方程.

構(gòu)造投資組合

Πt=Vt-Δ1tP1t-Δ2tP2t

式中：Δ1t和Δ2t分別表示無等級變換風險高等級下零息票債券和低等級下風險資產(chǎn)的份額. 通過選取適當?shù)摩?t和Δ2t，使得投資組合在高等級隨機利率r1下是無風險的，如下所示：

dΠt=dVt-Δ1tdP1t-Δ2tdP2t=r1tΠtdt

(4)

(5)

其中,

(6)

將式(6)代入式(5)，則在區(qū)域

有

(7)

f(t)=(P1t,ra-P2t,ra)+

P1t,ra=A1(t)e-raB(t),P2t,ra=A2(t)e-raB(t)

式中:Ai(t)(i=1,2)分別為A(t)中σ取σi(i=1,2)的情形.

2 模型求解與數(shù)值分析

2.1 偏微分方程求解

接下來對偏微分方程(7)進行求解. 偏微分方程(7)是一個二維偏微分方程. 首先利用計價單位轉(zhuǎn)化方法[12]將方程轉(zhuǎn)化為一維問題，然后通過各種變量變換和函數(shù)變換將方程轉(zhuǎn)化為對拋物型偏微分方程的第一類初邊值問題的求解.

(8)

其中,

為了將上述方程(8)轉(zhuǎn)化為一般的熱傳導方程的初邊值問題，作如下變換[13]:

在上述變換下, 方程變?yōu)槿缦滦问?

(9)

其中,

方程(9)為拋物型方程第一初邊值問題，作如下變換[14]:

z=x-x0,φ(s,z)=u(s,z)-h(s)

代入方程(9)可以求解得到如下形式的解：

其中,

結(jié)合上述變換，有合約的價值

(10)

2.2 數(shù)值結(jié)果

其中,

相應的定解條件和人工邊界條件為

利用上面的九點顯式差分格式，繼而代回原變量，即得到利率保護買方的保費的預期支付額.

圖1顯示了保費的預期支付額V與隨機利率r和時間t的關(guān)系曲面. 取參數(shù)a=0.5,θ=0.04,σ1=0.04,σ2=0.06,ra=0.04,T=5，時間步長τ1=0.05, 空間步長h=0.01.

圖1 保費預期支付額與隨機利率和時間的關(guān)系

Fig.1Variationofexpectedpremiumswithrandominterestratesandtime

圖2顯示了隨機利率r取定后，保費的預期支付額V和時間t的關(guān)系. 然而，由圖2并不能說明保費隨時間的增長而變大.

圖2 保費預期支付額和時間的關(guān)系Fig.2 Variation of expected premiums with time

圖3顯示了利率回歸速度a對保費的影響，a的大小反映了利率的變化速度.a越大，利率變化越快，保費的預期支付額越小. 從圖3可以進一步看出，當a很小時，保費與時間的關(guān)系不再是單調(diào)的關(guān)系，這也就解釋了之前的結(jié)論.

圖3 回歸速度對保費預期支付額的影響Fig.3 Effect of regression speed on expected premiums

圖4顯示了利率回歸均值θ對保費的影響.θ影響了利率最終趨于的值的大小，θ越大，說明隨機利率最終趨于的值越大，也說明隨機利率支付者的損失越少，所需支付的保費相應越少.

圖5顯示了信用等級變換邊界ra對保費的影響. 由圖5可以看出，ra越大，保費的預期支付額越小. 這是因為信用等級變換邊界越大，在發(fā)生信用等級變換時對于浮動利率支付方來說損失就越少，故而保費的預期支付額就越小.

圖5 信用等級邊界對保費預期支付額的影響Fig.5 Effect of credit rating border on expected premiums

3 結(jié)語

在利率互換合約實施過程中，利率下跌造成固定利率支付方信用等級下降，因此浮動利率支付方與第三方機構(gòu)簽訂一份擔保合約.通過分析利率信用等級變換的首達時刻以及由于利率互換過程信用等級下降所產(chǎn)生的利差，給出了合約現(xiàn)金流的表達式，并且將低等級下零息票的價值作為合約價值的自變量，利用結(jié)構(gòu)化方法推導出滿足合約價值的二維偏微分方程.通過坐標變換和計價單位轉(zhuǎn)換將問題化為一般拋物型偏微分方程的初邊值問題，進而得到解析解的表達式. 最后,利用有限差分方法的顯式格式得到問題的數(shù)值解，得出了合約價值隨時間變化的關(guān)系圖，并且分析了各個參數(shù)對合約價值的影響.結(jié)果表明,合約價值與時間的單調(diào)關(guān)系與參數(shù)a有關(guān)，并且與參數(shù)a、θ、ra有著明顯的單調(diào)遞減關(guān)系.