錯誤資源巧開發(fā)誤中悟道明真知

朱賢良 唐錄義 金超

摘要：“誤中悟”教育理念傳承中國傳統(tǒng)文化中“博學”“審問”“審思”“明辨”“篤行”的精神，借鑒現(xiàn)當代西方主流教育理論，結合當前我國新課程改革的實際情況，倡導合理開發(fā)、利用“錯誤”這一寶貴資源，引導學生以一種積極、主動的姿態(tài)去正視錯誤、辨析錯誤、改正錯誤，通過辨析正誤的恩維過程去探明錯誤的根源，最終達到對知識與方法的透徹領悟、培育數(shù)學核心素養(yǎng)。

關鍵詞：錯誤資源;誤中悟;糾錯教學;核心素養(yǎng)

在數(shù)學學習活動中，“錯誤”總是遭人討厭，卻又似乎揮之不去、如影隨形，伴隨著學生學習的全過程，這是讓每個學生和教師都深感苦惱的一件事，如何減少學生“錯誤”發(fā)生的次數(shù)、甚至是從根本上消滅“錯誤”，相信這是師生雙方共同的夢想，國家“萬人計劃”教學名師、安徽省特級教師工作室首席負責人、正高級教師唐錄義帶領我們這一教研團隊一直致力于“誤中悟”教育理念的研究，力求通過改善教師的教學方式與學生學習模式來提高教與學的效率。

英國心理學家貝恩布里奇（R，Bainbridge）告誡我們：“差錯人皆有之，作為教師不利用是不能原諒的，”我們團隊一直堅持認為，只要我們能正確地對待錯誤，利用好這一寶貴的資源，在錯誤中反思、感悟，就一定可以悟出真相、悟出規(guī)律、悟出本質(zhì)、悟出智慧，因此，在數(shù)學教學活動中，要讓學生勇敢去嘗試、去碰壁和跌跤，充分地暴露問題，然后引導學生順著錯誤認真辨析，反復思考，讓知識與方法在糾錯的過程中不斷清晰起來，讓自身的批判思維與思辨水平逐漸提升，讓數(shù)學的思維方式與核心素養(yǎng)穩(wěn)步發(fā)展，這也是我們團隊所倡導的“誤中悟”的真諦。

1正確認識“錯誤”的價值

我們在學習與生活中力圖不犯或者少犯錯誤，這是因為“錯誤”的結果與我們所探尋的目標不相一致，甚至于與最初的設想背道而馳，由此，我們往往害怕“錯誤”、回避“錯誤”，進而錯過認識“錯誤”自身價值的良機，作為教師，倘若因?qū)W生在認識或理解上的錯誤去苛責和懲罰他（她），很有可能會使學生失去嘗試解決問題的勇氣和反思錯誤根源的動力，進而在前行的道路上畏首畏尾、患得患失，我們所倡導的“誤中悟”教育理念首先要解決的就是如何看待與評估“錯誤”的價值問題。

1.1敢于嘗試錯誤代表了一種科學的探究精神

英國當代哲學家卡爾·波普爾（Karl RaimundPopper，1902～1994）在其著作《猜想與反駁——科學知識的增長》的中文版自序中曾談到中國人特別害怕犯錯的現(xiàn)象，他表示非常不理解，在波普爾看來，所謂科學知識的增長過程本身就是一個不斷證偽的過程，也就是試錯法，如果要真正追求知識，探尋真理，那么，犯錯是必要的階段，沒有誰的認識能繞過錯誤，換而言之，學生在掌握新的定義定理公式、領悟知識內(nèi)涵的過程中，“錯誤”是必經(jīng)的關卡，而教師引導學生放開手腳、不受外在約束的大膽嘗試與創(chuàng)新就成為培育學生理性思維與探究精神的重要手段。

鑒于此，我們理應將學生在學習過程中敢于嘗試錯誤的行為看待成是一種科學的探究精神，這種敢于試錯的行為習慣有利于分辨知識的表象與本質(zhì)，促進學生對數(shù)學思想方法的深入理解，從這個意義上說，“錯誤”讓知識以一種更自然的方式生成，也正是在出錯和修正錯誤的探究過程中，課堂才是最鮮活的，教學才是最美麗動人的，因而，在開展具體教學活動時，教師需要做的是鼓勵學生去嘗試與努力，尊重他們探究的過程與結果，并幫助學生反思合理與不當之處、理清事實真相，捫心自問，在日常的課堂教學中，我們是否對學生所展現(xiàn)出來的主動探究的精神缺乏一顆敬畏之心呢？

1.2擅長總結錯誤是掌握知識與方法的必備技能

犯錯不可怕，它不意味著失敗，這只是認知過程中的一次暫時性的挫折，俗語“吃一塹，長一智”與貝恩布里奇的名言“沒有大量錯誤作為臺階就不能攀登上正確結果的寶座”都言明“錯誤”對于“成功”的巨大價值，正如同孩子是在多次的跌倒中慢慢學會走路，學生也是通過犯錯后的不斷總結與反思來生成新的知識、掌握新的本領，因此，擅長總結錯誤，從錯誤中分析出合理與不合理的成分，是對知識與方法形成正確認知的一項必備技能。

我們追求高效的學習模式，就是要遵循“知其然，知其所以然”的學習準則，具體到反思錯誤、總結教訓的環(huán)節(jié)中，我們必須要做到“知其錯，知其所以錯”，一般來說，總結錯誤可從四個方面著手：是否因?qū)A知識掌握不牢靠、對數(shù)學思想方法未領會、基本數(shù)學活動經(jīng)驗不足，或者數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)分析、數(shù)學語言與符號表達等能力存在不足，導致“四基”性失誤;是否因解題方向上的偏差、方法策略上的笨拙，以致思路受阻、解題過程繁雜，導致策略性失誤;是否因觀察不仔細造成審題膚淺、思維慣性造成思維定勢與僵化、過分焦慮造成思維抑制、意志品質(zhì)不過硬而知難而退，導致心理性失誤;是否因思維不嚴謹造成推理不嚴密、充要關系混亂造成轉化不等價、數(shù)學概念混淆造成偷換命題，導致邏輯性失誤，由此四個方面將錯誤進行歸因，是最富有成效的學習良機，這也正是我們“誤中悟”教育理念的重要層面。

1.3學生學習中的錯誤是具有開發(fā)價值的教學資源

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》在關于課程目標的表述中指出：“通過高中數(shù)學課程的學習……樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神……”這就要求我們通過數(shù)學教學，引導學生養(yǎng)成求實、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習慣和鍥而不舍的追求真理的精神，以此來指導我們的教學實踐，關鍵是要解決如何具體地對待“錯誤”、發(fā)現(xiàn)“錯誤”、糾正“錯誤”，如何將“錯誤”當作一筆寶貴的資源，努力開發(fā)并利用這筆資源，以充分發(fā)揮“錯誤”的多方面的教學功能。

從教師“教”的角度來看，學生的“錯誤”往往反映了其認知過程中的盲區(qū)與疑難所在，這給我們準確掌握學情、合理確定教學重心提供了參考，從而強化教學活動的針對性與有效性，從學生“學”的角度來看，數(shù)學概念與技能的掌握，既需要樹立正面的“形象”，還需要“錯誤”這面鏡子，以“錯誤”為鑒，可糾正偏離的認知，正、反“形象”的比照，對學生的思維可產(chǎn)生強烈的刺激，以促進對正確理念的深刻理解、領悟與牢固記憶，增強對“錯誤”的免疫力，并豐富他們的數(shù)學經(jīng)驗，我們教研團隊倡導“誤中誤”的教育理念，就是要充分利用好“錯誤”這一資源，分析其中對教與學有積極影響的因素，讓“錯誤”成為改善教與學方式的強大推動力。

2“誤中悟”教育理念的理論淵源與時代背景

在教育界，關注糾錯、善待錯誤的研究由來以久，對學生錯解或是相關錯誤案例分析的文章在報刊中占有相當重的比例，多年來，我們的教研團隊積極開展“誤中悟”教育理念的解讀與研究，堅持從中國傳統(tǒng)文化中汲取營養(yǎng)，并借鑒國內(nèi)外的理論研究成果，豐富我們的認識，指導我們的實踐，我們認為，“誤中悟”教育理念是對中國傳統(tǒng)文化的傳承與發(fā)展，并且從現(xiàn)當代西方主流的教育理論中汲取營養(yǎng)，同時又與我國教育改革的趨勢相適應，具有鮮明的時代印記。

2.1“誤中悟”教育理念與中國傳統(tǒng)文化

中國傳統(tǒng)文化中強調(diào)正視過錯，重視對個人言行得失的反思，孟子日：“子路，人告之以有過則喜，”（見《孟子·公孫丑上》）子路不因別人指出自己的過錯而無地自容或是惱羞成怒，反而高興地面對，這也是非常人所能做到的，于是有“聞過則喜”的美談流傳后世，曾子曰：“吾日三省吾身：為人謀而不忠乎？與朋友交而不信乎？傳不習乎？”（見《論語·學而》）曾參勤奮好學，深得孔子的喜愛，同學問他為什么進步那么快，曾參將原因歸之為“吾日三省”，這種對自己勇于反省、勤于反省的精神和做法影響深遠，宋代儒學大師朱熹在《論語集注》中指出：“曾子以此三者日省其身，有則改之，無則加勉，其自治誠切如此，可謂得為學之本矣，”朱熹強調(diào)反省自身有無過錯，“有則改之，無則加勉”，這是治學修身的精髓與關鍵。

對于改正錯誤的態(tài)度，中國傳統(tǒng)文化的要求是十分堅決的，所謂“改過不吝”（見《尚書-仲虺之誥》），就是指改正錯誤態(tài)度堅決、不猶豫;“不貳過”（見《史記·仲尼弟子列傳》），就是要求自己不重復犯同樣的錯誤”，中國傳統(tǒng)文化認為，敢于承認自己的過失和錯誤，并進行改正，這是一種勇氣和美德，也是不斷地完善自我、取得進步的階梯：“人誰無過？過而能改，善莫大焉，”（見《左傳·宣公二年》）“君子之過也，如日月之食焉：過也，人皆見之;更也，人皆仰之，”（見《論語·子張》）有了過錯并不可怕，可怕的是頑固地堅持錯誤，不肯加以改正：“過而不改，是謂過矣，”（見《論語·衛(wèi)靈公》）“過而不悛，亡之本也，”（見《左傳·襄公七年》）改過不嫌晚，只要有了改正錯誤的決心與行動，就不要覺得太遲了：“亡羊而補牢，未為遲也，”（見《戰(zhàn)國策·楚策》）。

關于古代求學治學，無論是個人治學還是學生的學習，都非常重視良好學習方法的掌握與習慣的養(yǎng)成，強調(diào)思考與辨析，子曰：“學而不思則罔，思而不學則殆，”（見《論語·為政》）、“學而時習之，不亦說乎？”（見《論語·學而》）孔子意思是說，學習時要學思并重，并且要經(jīng)常復習，《禮記·中庸》這樣說：“博學之，審問之，慎思之，明辨之，篤行之，有弗學，學之，弗能弗措也;有弗問，問之，弗知弗措也;有弗思，思之，弗得弗措也;有弗辨，辨之，弗明弗措也;有弗行，行之，弗篤弗措也，”朱熹據(jù)此在《白鹿洞書院揭示》中指出學有五序，分別為“博學”“審問”“審思”“明辨”與“篤行”，明末清初著名的教育家、思想啟蒙家黃宗羲在我國教育與人才培養(yǎng)史上首次明確提出獨創(chuàng)與創(chuàng)新，并提出了達到創(chuàng)新的四條途徑，即由博致精（多讀書，有淵博的學識，這是提出獨立見解的前提）、重視“異同之論”、深思與能疑、討論與辯難，清代國子監(jiān)規(guī)定，學生在聽講后需要自學和質(zhì)疑問難，對于不懂的知識要向老師求教，在數(shù)千年的歷史發(fā)展過程中，我國傳統(tǒng)教育把思考與辨析作為求學治學的重要手段，形成了獨具特色的教育內(nèi)容、辦學體制和人才選拔方式。

中國傳統(tǒng)文化中有關改正錯誤與治學方法的論述，對我們今天的教學活動也極具意義，“誤中悟”教育理念秉承傳統(tǒng)文化中“博學”“審問”“審思”“明辨”“篤行”的精神，強調(diào)以一種積極、主動的姿態(tài)去正視錯誤、辨析錯誤、改正錯誤，通過辨析正誤的思維過程去探明錯誤的根源，并最終達到對知識與方法的透徹領悟。

2.2“誤中悟”教育理念與桑代克的聯(lián)結一試誤說

桑代克（E，L，Thorndike，1874～1949）是美國著名心理學家，聯(lián)結主義學習理論的創(chuàng)始人，他把動物和人類的學習過程定義為刺激與反應之間的聯(lián)結，認為知識與技能的獲得必須通過嘗試——錯誤——再嘗試這樣的一個過程，桑代克的這一理論觀點是建立在其動物學習實驗的基礎之上：將一只饑餓的貓放在裝有特殊開關的籠中，貓經(jīng)過不斷地嘗試后觸到了開關，逃離出籠，然后他提出了著名的聯(lián)結——試誤學說，主要觀點是：學習是一種盲目、漸進地嘗試與改正錯誤的過程，隨著練習，錯誤的反應逐漸減少，正確的反應得以產(chǎn)生，于是在刺激與反應之間形成了一種穩(wěn)固的聯(lián)結。

作為教育心理學發(fā)展史上第一個較為系統(tǒng)的理論，桑代克的聯(lián)結——試誤學說在美國的影響延續(xù)整整半個世紀，他的理論以實驗研究為基礎，闡述了學習和學習過程及其規(guī)律，引起了有關學習理論的一系列爭論與研究，對教育心理學的發(fā)展具有巨大推動作用，這一理論并不完善，存在不科學、不合理的因素，如把所有的學習過程都歸結為嘗試錯誤的過程，忽視了人類學習中認知與理解的作用;把人類和動物的學習簡單地等同起來，抹殺了人類學習與動物學習的區(qū)別，但其所強調(diào)的嘗試錯誤現(xiàn)象就是一種客觀存在的事實，是人類學習的一種方式或途徑，這對我們貫徹“誤中悟”教育理念、形成可操作性的教學環(huán)節(jié)具有借鑒的價值。

“誤中悟”教育理念以“誤”為教學活動的出發(fā)點，倡導學生主動分析錯誤，培養(yǎng)學生自覺糾錯的能力，借鑒桑代克的學習理論，在實施課堂教學時，教師要善于創(chuàng)設“誤”的情境，讓學生大膽嘗試，并在“誤中悟”的經(jīng)歷中建立問題與知識方法之間的穩(wěn)固聯(lián)結。

2.3“誤中悟”教育理念與建構主義學習理論

建構主義學習理論源自教育學，是為改進教學而提出的理論，被譽為當代教育心理學中的一場革命，其主要目的在于了解發(fā)展過程中的各式活動如何引發(fā)兒童的自主學習，以及在學習的過程中，教師應當如何適當?shù)匕缪葜С终叩慕巧?，建構主義學習理論作為一種理論思潮，觀點眾多，本身沒有形成統(tǒng)一的理論流派，盡管不同傾向的建構主義的觀點五花八門、內(nèi)容豐富，但其核心思想可以概括為一句話：以學生為中心，強調(diào)學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學知識意義的主動建構（而不是像傳統(tǒng)教學那樣，只是把知識從教師頭腦中傳送到學生的筆記本上），以學生為中心，強調(diào)的是“學”;以教師為中心，強調(diào)的是“教”，建構主義學習理論認為，學生對知識的“接受”只能靠他自己的建構來完成，以他們自己的經(jīng)驗、信念為背景來分析知識的合理性;學生的學習不僅是對新知識的理解，而且是對新知識的分析、檢驗和批判，所以，教學不能無視學生的經(jīng)驗，從外部裝進新知識，而是要把學生的現(xiàn)有知識經(jīng)驗作為新知識的生長點，引導學生從原有的知識經(jīng)驗中“生長”出新的知識經(jīng)驗，教師不僅是知識的呈現(xiàn)者，更應該重視學生自己對各種現(xiàn)象的理解，傾聽他們的看法，洞察這些想法的由來，以此為根據(jù)，引導學生豐富或調(diào)整自己的理解，同時，教學需要增進學生之間的合作，相互交流與質(zhì)疑，使他們看到那些與自己不同的觀點，彼此作出些調(diào)整，從而促進學習的進行。

在建構主義學習理論指導下，“誤中悟”教育理念重視把學習的知識置于多種具有一定復雜性的問題情境中，分別著眼于不同的側面，使學生對知識形成多角度、多層次的理解，在開展具體教學活動時，從展示錯例出發(fā)，引導學生暴露自己的思維過程，通過列舉反例、變式等手段組織學生進行辯論、交流，讓學生深深地進入教學情境，表現(xiàn)出較高的批判性，并對知識的對與錯表現(xiàn)出高度的敏感，進而矯正并豐富學生的認知，建構準確、合理的知識體系。

2.4“誤中悟”教育理念的時代背景

1999年，《中共中央國務院關于深化教育改革全面推進素質(zhì)教育的決定》頒布，把推進素質(zhì)教育確立為黨的教育方針，明確提出要建立基礎教育課程新體系，2001年，教育部頒發(fā)了《基礎教育課程改革綱要（試行）》等一系列政策文件，我國新一輪基礎教育課程改革正式啟動，2003年，《普通高中數(shù)學課程標準（實驗）》（以下簡稱“實驗版課標”）出爐，采用先實驗后推廣的原則，于2004年在寧夏、廣東、海南、江蘇四省作為實驗區(qū)進入實施，并陸續(xù)在全國范圍內(nèi)進行推廣，“實驗版課標”在“課程的基本理念”中提出“高中數(shù)學課程還應倡導自主探索、動手實踐、合作交流、閱讀自學等學習數(shù)學的方式”“高中數(shù)學課程應力求通過各種不同形式的自主學習、探究活動，讓學生體驗數(shù)學發(fā)現(xiàn)和創(chuàng)造的歷程，發(fā)展他們的創(chuàng)新意識”，“實驗版課標”還在“教學建議”中建議“教學中應引導學生……養(yǎng)成求實、說理、批判、質(zhì)疑等理性思維的習慣和鍥而不舍的追求真理精神”。

2014年，為落實黨的十八大關于立德樹人根本任務的部署，教育部發(fā)布了《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》，明確將“研究制訂學生發(fā)展核心素養(yǎng)體系和學業(yè)質(zhì)量標準”“修訂課程方案和課程標準”等作為本次深化課程改革著力推進的關鍵領域和主要環(huán)節(jié)，在總結21世紀以來我國普通高中課程改革的寶貴經(jīng)驗、充分借鑒國際課程改革的優(yōu)秀成果的基礎上，教育部于2013年啟動了普通高中課程修訂工作，《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》（以下簡稱“2017版課標”）于2018年元月正式印發(fā)，“2017版課標”在“課程目標”中指出：“在學習數(shù)學和應用數(shù)學的過程中，學生能發(fā)展數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學建模、直觀想象、數(shù)學運算、數(shù)據(jù)處理等數(shù)學學科核心素養(yǎng)”“通過高中數(shù)學課程的學習，學生能……養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，發(fā)展自主學習的能力;樹立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神”，對于具體的學法指導，“2017版課標”在“教學建議”中強調(diào)：“教師要把教學活動的重心放在促進學生學會學習上，積極探索有利于學生學習的多樣化教學方式，不僅限于講授與練習，也包括引導學生閱讀自學、獨立思考、動手實踐、自主探索、合作交流等”“教師要加強學習方法指導，幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)……”。

在認真學習、領會我國課程改革精神的基礎上，“誤中悟”教育理念倡導在具體問題中通過大膽質(zhì)疑、合作交流、討論辨析等多樣化的途徑來改善傳統(tǒng)課堂教學模式，培育數(shù)學核心素養(yǎng)，課堂教學中，教師只是課堂活動的引領者、協(xié)助者，學生則成為探究交流的主角和創(chuàng)新思維的突破者，同時，將“誤中悟”的教育理念延伸至課后自主學習，引導學生在自糾、交流、反思與實踐中把握知識本質(zhì)，領悟思想方法的內(nèi)涵。

3“誤中悟”教育理念的應用前景

“誤中悟”教育理念根植于數(shù)學教與學的實踐，致力于提高從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力，為培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng)服務，基于團隊的教學實踐與反思總結，可以認為“誤中悟”教育理念在改善課堂教學模式、培養(yǎng)良好學習習慣、豐富試題考查形式等方面有著廣闊的應用前景。

3.1突出“誤中悟道”理念，改善課堂教學模式

“誤中悟”教育理念中突出兩個關鍵詞：“誤”與“悟”，“誤”是教師為開展課堂教學而精心設置的情境，是課堂教學的良好契機與切人點，重點關注學生學習過程中的易錯點與盲點;“悟”強調(diào)對錯誤的總結與反思，進而把握概念或問題的本質(zhì)，形成思想與方法，是課堂教學效果的集中體現(xiàn)，在開展課堂教學時，教師要充分利用現(xiàn)有的資源，合理、有效地創(chuàng)設“誤”的教學情境，引導學生進行思考與辨析、合作與交流，形成思維的碰撞與統(tǒng)一，實現(xiàn)“誤中悟道”的初心。

在開展“誤中悟”教育理念的實踐活動時，我們團隊將“誤中悟”課堂教學設置成六個環(huán)節(jié)：問題情境、質(zhì)疑審問、慎思參悟、明辨頓悟、悟中演練、反思悟道，其中，“問題情境”環(huán)節(jié)要求教師在日常教學工作中注意搜集、整理具有典型性、代表性的錯誤資源，為學生提供具有思考價值的教學情境;“質(zhì)疑審問”環(huán)節(jié)由學生自主對問題情境進行分析，生成疑惑不解，引發(fā)認知沖突，誘發(fā)求知欲望，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的能力;“慎思參悟”環(huán)節(jié)鼓勵學生大膽嘗試，區(qū)分事實與假設，辨別信息的真?zhèn)?，識別系統(tǒng)中變量之間的關系，借助事實和合理的推理形式進行有效認證，積極尋求問題的解決方法，從而培養(yǎng)學生分析問題的能力;“明辨頓悟”環(huán)節(jié)是在交流、討論、爭辯的過程中，對問題情境中的各種關系產(chǎn)生頓悟和理解，獲得新的發(fā)現(xiàn)，培養(yǎng)學生解決問題的能力;“悟中演練”環(huán)節(jié)在學生參悟、頓悟的基礎上，提供類似但有變化的問題情境由學生進行練習，進一步鞏固學生的認知，提升“四能”（發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的能力）;“反思悟道”環(huán)節(jié)不是對學習的一般性回顧或重復，而是深究學習活動中所涉及的知識、方法、思路、策略等，是對思考過程的進一步精細化、精致化，并提煉成規(guī)律和結論，用數(shù)學的語言表達出來，從而悟出方法、悟出思想、悟出智慧、悟出核心素養(yǎng)。

倡導“誤中悟”教育理念，改善課堂教學模式，就是要引導學生在“誤”的基礎上展開“悟”的思維活動，要充分借助小組合作交流、爭辯的手段，體現(xiàn)學生的主動性、主體性，讓課堂成為學生思維跳躍、碰撞的舞臺，讓知識與方法以“風吹草低見牛羊”的姿態(tài)呈現(xiàn)在學生的頭腦之中。

3.2培養(yǎng)良好學習習慣，發(fā)展數(shù)學核心素養(yǎng)

在教學活動中，我們常用“授人以魚，不如授之以漁”來告誡自己，與其直接呈現(xiàn)給學生一個冰冷生硬的知識，不如引導學生展開火熱的思維活動，讓學生學會思考、掌握方法，現(xiàn)在又有人說：“授人以漁，不如授之以欲，”與其教會學生解決問題的方法，不如培養(yǎng)其熱愛學習的興趣、堅定其堅持學習的信念，這與孔子的教育理念一脈相承：“知之者不如好之者，好之者不如樂之者，”（見《論語·雍也》）我們開展教育教學活動，既要讓學生領悟思想方法，形成分析、解決問題的能力，更要讓學生養(yǎng)成動手實踐、善于思考的學習習慣，讓能力升華成一種習慣、一種愛好、一種素養(yǎng)，從而在問題的解決過程中自覺地加以應用。

2016年9月18日發(fā)布的中國學生發(fā)展核心素養(yǎng)以培養(yǎng)“全面發(fā)展的人”為核心，分為文化基礎、自主發(fā)展、社會參與3個方面，綜合表現(xiàn)為人文底蘊、科學精神、學會學習、健康生活、責任擔當、實踐創(chuàng)新等6大素養(yǎng)，具體細化為18個基本要點，其中，樂學善學、勤于反思、理性思維、批判質(zhì)疑、勇于探究等基本要點與“誤中悟”教育理念高度契合，“2017版課標”建議教師“幫助學生養(yǎng)成良好的數(shù)學學習習慣，敢于質(zhì)疑、善于思考，理解概念、把握本質(zhì)，數(shù)形結合、明晰算理，理清知識的來龍去脈，建立知識之間的關聯(lián)”，“誤中悟”教育理念重視引導學生大膽質(zhì)疑、嚴謹求證，深層次挖掘錯誤背后的秘密，無疑有助于培養(yǎng)學生良好的學習習慣，發(fā)展核心素養(yǎng)，這就要求教師在日常備課、學習過程中要注意整理歸類錯誤的試題、錯誤的解題與錯誤的認知，將其轉化為珍貴的教學資源，既有助于加深學生對相關知識點的認識，更有益于發(fā)展學生的批判性思維，培養(yǎng)其科學的理性精神，把數(shù)學學科核心素養(yǎng)的發(fā)展落到實處。

3.3拓展試題命制角度，豐富試題考查形式

課程是教學活動的出發(fā)點，考試是檢驗教學效果的必要手段，如何讓考試能真正有效檢測出學生對知識、思想與方法的掌握情況，各級各類考試的命題工作就顯得非常重要了，“2017版課標”對學業(yè)水平考試與高考命題有這樣的建議：“注重對學生數(shù)學學科核心素養(yǎng)的考查，處理好數(shù)學學科核心素養(yǎng)與知識技能的關系，要充分考慮對教學的積極引導作用……聚焦學生對重要數(shù)學概念、定理、方法、思想的理解和應用……命題時，應有一定數(shù)量的應用問題，還應包括開放性問題和探究性問題……”“誤中悟”教育理念提倡從辨析、糾錯、舉反例等角度進行試題的命制，豐富試題的考查形式，突出對數(shù)學學科核心素養(yǎng)的檢測，并反過來指導教師的教與學生的學。

案例

同一知識點的不同考查形式

教師研究試題，既要花些力氣探究試題的背景與解法，更需要關注試題的命制角度，分析知識點考查形式的創(chuàng)新，同一個知識點的不同命題角度與考查形式，往往影響了試題考查的深度與有效性。

點評單調(diào)性是函數(shù)的重要性質(zhì)，是中學數(shù)學的核心概念之一，判斷函數(shù)單調(diào)性是一類常見的題型，可以選用定義法、圖象法、導數(shù)法、復合函數(shù)法等進行求解，題3屬于此類問題，事實上，在學習單調(diào)性的過程中，學生對定義中的“任意兩個自變量的值x1.x2”理解有困難，教師往往通過列舉反例等途徑突破這一難點與易錯點，題4靈活地抓住關鍵點進行命制，以開放題的形式呈現(xiàn)出來，需要學生對單調(diào)性的定義進行辨析，思維量更大，有利于考查學生對單調(diào)性概念本質(zhì)的理解。

有趣的是，在語文與英語學科的高考試題中都有“短文改錯”這一題型，要求學生將隱藏在短文中的五處或十處錯誤指出來并改正，從而有效地考查學生綜合運用語言的能力，數(shù)學學科完全可以從其他學科的命題中去尋找智慧，啟發(fā)數(shù)學學科的命題思路。

當然，創(chuàng)新試題的考查形式是一項系統(tǒng)性的工程，要兼顧知識考查的有效性與實際的可操作性，“誤中悟”教育理念堅持從“誤”出發(fā)，在易混淆、易錯漏的關鍵處設置糾錯、辨析、探究等題型，適當?shù)卦黾铀季S量，全面考查學生對相關知識與思想方法的領悟程度，我們的教研團隊將繼續(xù)開展這項研究，力求從新的視角切人，將“誤中悟”這一元素融入試題的命制，實現(xiàn)命題形式的創(chuàng)新、知識考查有效性及可操作性的兼容與統(tǒng)一。

4“誤中悟”教育資源的開發(fā)

在“誤中悟”教育理念的指引下，可以從整理匯編數(shù)學錯題集、打造高效“誤中悟”教學、開發(fā)創(chuàng)新“誤中悟”訓練等三個方面著手，積極開發(fā)“誤中悟”教育資源，努力探索并實現(xiàn)“錯誤”資源的高效應用途徑。

4.1整理匯編數(shù)學錯題集

學生在學習中易犯的錯誤是寶貴的教育資源，是教師開展教學活動的基本依據(jù)，是提升學生學習能力與數(shù)學素養(yǎng)的出發(fā)點，我們教研團隊進行了詳細調(diào)查研究，發(fā)現(xiàn)不少學生對錯題集的認識與整理存在誤區(qū)：有些學生沒有養(yǎng)成整理錯題集的習慣，學習過程中不斷重復犯錯;有些學生的錯題集雖然整理得全面，但是不會充分利用錯題集來進行學習反思，沒有發(fā)揮錯題集的強大功能，鑒于此，為了引導學生用好“錯誤”資源，并起到良好的示范作用，我們教研團隊在教學實踐的基礎上收集、整理了大量的易錯知識點與錯解，經(jīng)過再三思考與討論，付印成冊，供教師與學生研究與參考，目前，已出版的包括《高中數(shù)學誤中悟》《初中數(shù)學誤中悟》（七年級、八年級、九年級）共四冊。

在整理匯編數(shù)學錯題時，我們將學生自主誤中悟的過程設計為六步：考點涉及（分析題中所涉及的考點與知識內(nèi)容，為學生的“悟”提供方向）、錯解呈現(xiàn)（呈現(xiàn)典型錯解的完整過程）、尋錯索因（學生分析錯解，自主排查錯點，并對“四基”性失誤、策略性失誤、心理性失誤、邏輯性失誤四個方面進行歸因）、正解參考（學生將自己的解答與參考答案進行比較）、反思悟道（糾錯過程所獲得的啟迪）、悟中演練（類似題與變式題的練習、鞏固），需要注意的是，引導學生做數(shù)學錯題集時，要把重點放在對錯題價值的挖掘上，對錯誤的“障礙點”進行重點“敲打”，努力使崎嶇曲折的道路變得平直順暢，并進行精細的反思總結：一是總結發(fā)現(xiàn)知識和技能中的“盲點”或“誤區(qū)”，及時克服和彌補;二是回顧反思難點突破的過程，將有關的技能、技巧通過“上綱上線”，進一步與基本數(shù)學思想掛鉤，并將它們組建成知識網(wǎng)絡;三是對錯題由此及彼，舉一反三，廣泛聯(lián)想，求新應變，使學生收到“解一題，會一類，熟一片”之功效。

4.2打造高效“誤中悟”教學

由于數(shù)學具有高度的抽象性，這就使得學生在理解時常常是勉強知其然，很難知其所以然，只能依葫蘆畫瓢，談不上深刻理解和靈活運用，學生在學習中還經(jīng)常出現(xiàn)一些易犯的錯誤，盡管教師多次講解、反復強調(diào)，總有些學生“冥頑不靈”、一錯再錯，針對這些情況，在處理這樣的教學難點和學生的易錯點時，教師可以利用錯誤資源作為突破口，憑借教學經(jīng)驗和學生的實際情況，預測學生學習時可能出現(xiàn)的某些錯誤，教學設計時有選擇地設計合適的、“錯誤”的教學情境，包括教師自己在解題過程中的曲折的心理歷程，這樣不僅能防患于未然，更能有效激發(fā)學生內(nèi)心的認知沖突，提高其思維積極性，有效地突破教學難點。

打造高效的“誤中悟”教學，除了教師提前預設的“錯誤”情境外，還需要靈活地抓住學生在課堂中臨時出現(xiàn)的錯誤開展“誤中悟”，教師面對學生暴露出來的錯誤，教師不要著急解釋、評判，而要把“錯誤”拋給學生，將錯就錯，把學生的“錯誤”作為新的教學情境，給學生一些研究、爭論的時間和空間，從而讓學生在爭論中分析、辯駁，在爭論中求知、明理，在爭論中完成知識與思想方法的內(nèi)化，在爭論中達成學習習慣的養(yǎng)成與數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展。

目前，我們的教研團隊已打造“誤中悟”教學課例二十余節(jié)，其中部分課例研究成果已刊發(fā)于中學數(shù)學期刊，同時，我們重視在教研活動中開設現(xiàn)場教學實踐，獲取反饋建議2018年12月29日，在中學數(shù)學安徽省特級教師工作室（池州、銅陵）區(qū)域聯(lián)合教研活動中，我們團隊中的詹娟老師開設了《平面向量的數(shù)量積》展示課，將“誤中悟”教育理念滲透其中，2019年6月20日，在銅陵市中學數(shù)學“誤中悟方式課堂展示暨論文寫作經(jīng)驗分享”主題教研活動中，由全國優(yōu)質(zhì)課一等獎獲得者陳良驥老師執(zhí)教的《探索函數(shù)y=x+k/x的圖象與性質(zhì)》展示課，積極推進“誤中悟”教育理念在新教材中的教學實踐在未來的一兩年內(nèi)，我們團隊將開發(fā)更多、更優(yōu)質(zhì)的“誤中悟”教學課例展現(xiàn)給大家，

4.3開發(fā)創(chuàng)新“誤中悟”訓練

傳統(tǒng)的問題以“已知+結論”的形式呈現(xiàn)，要求學生由所掌握的知識出發(fā)，經(jīng)過分析、推理的過程，得出需要求解的“結論”，這樣的解題訓練，能強化學生對相關概念、公式的熟練程度，能滿足一定程度上的“漲分”需求，但長期進行傳統(tǒng)的習題練習，既不利于對知識本質(zhì)的透徹理解，“漲分”也會遇到瓶頸期，更為嚴重的是不利于培養(yǎng)學生的質(zhì)疑、批判精神，不利于學生學習研究能力和數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展，“誤中悟”教育理念下的習題訓練，針對學生由于對數(shù)學概念、法則、定理、公式等理解不夠深刻，導致在判斷、推理及解題上出現(xiàn)失誤的現(xiàn)象，有的放矢地選編一些頗具迷惑性的題目或錯解，在易錯的節(jié)骨眼上布設“陷阱”，誘使學生陷入歧途，制造思維沖突，從而激發(fā)靈感，產(chǎn)生真知，一方面可充分暴露學生思維的薄弱環(huán)節(jié)，有利于對癥下藥;另一方面能使學生痛切地、突破性地認識到錯誤所在，有利于自診自治，提高對錯誤的免疫力，

實際上，我們在編著《高中數(shù)學誤中悟》一書時，就已啟動開發(fā)創(chuàng)新“誤中悟”訓練題的研究，目前我國的數(shù)學教育對此項研究較少，可以直接借鑒的經(jīng)驗不多，我們的教研團隊也只是在探索之中不斷思考、討論，尋求突破，力爭在未來的兩三年的時間內(nèi)將研究成果奉獻給大家。

“誤中悟”教育理念的開發(fā)與落實必然是一段艱難而曲折的旅程，但我們相信“誤中悟”所指向的一定是我們心中那片美麗的教育桃花源，“路漫漫其修遠兮，吾將上下而求索，”“誤中悟”教研團隊愿與所有寄情于中國數(shù)學教育的同行一起，攜手開拓奮進。