函數極值點偏移問題的本質探究

廣東省中山紀念中學(528454) 鄧啟龍

函數極值點偏移問題是近幾年高考的熱點，也是高考復習中的重點和難點，而處理極值點偏移問題，也有一些成熟有效的方法，比如構造對稱函數、利用對數平均不等式等.本文通過對函數極值點偏移問題的本質進行探究，得到了處理函數極值點偏移問題的一種新方法.

1.極值點偏移

已知函數y=f(x)在(a,b)上連續(xù)，且在(a,b)內只有一個極值點x0.

定義1若對任意滿足f(x1)=f(x2)，且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2，都有則函數f(x)在(a,b)上極值點x0左偏.

定義2若對任意滿足f(x1)=f(x2)，且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2，都有則函數f(x)在(a,b)上極值點x0右偏.

2.本質探究

眾所周知，函數f(x)在(a,b)上是單調遞增還是單調遞減，取決于f′(x)在(a,b)上的符號.f(x)在(a,b)上是上凸還是下凸，取決于f′′(x)在(a,b)上的符號.若f(x)在(a,b)上先遞減后遞增，則f(x)在(a,b)上極值點是左偏還是右偏，取決于什么呢?是不是取決于f′′′(x)在(a,b)上的符號呢?筆者先從函數f(x)的直觀圖象上作了一番探究，若f′′′(x)在(a,b)上是正的，則f′′(x)在(a,b)上單調遞增，因為f′′(x)是f′(x)即切線斜率的瞬時變化率，表示切線斜率的變化速度，所以f(x)函數圖象上點的切線斜率的變化速度越來越快，函數圖象越來越陡峭，于是極值點x0右偏.若f′′′(x)在(a,b)上是負的，同理可推出極值點x0左偏.但是以上推導不能代替證明，筆者經過深入探究，得到以下定理并嚴格證明.

定理1已知函數f(x)在(a,b)內只有一個極值點x0，當x ∈(a,x0)時，f′(x)＜0，當x ∈(x0,b)時，f′(x)＞0.若任意x ∈(a,b)，f′′′(x)＞0 (＜0)恒成立，則f(x)在(a,b)上極值點x0右偏(左偏).

證明對任意滿足f(x1)=f(x2)，且a ＜x1＜x2＜b的x1,x2，由泰勒中值定理將f(x1)和f(x2)分別在x=處泰勒展開得

由f(x1)=f(x2)得

若任意x ∈(a,b),f′′′(x)＞0 (＜0)恒 成 立，則所以則f(x)在(a,b)上極值點x0右偏(左偏).

定理1 給出了在(a,b)上先減后增的函數f(x)的極值點偏移情況的判定方法，若f(x)在(a,b)上先增后減，類似地，有以下定理(證明略)：

定理2已知函數f(x)在(a,b)內只有一個極值點x0，當x ∈(a,x0)時，f′(x)＞0，當x ∈(x0,b)時，f′(x)＜0.若任意x ∈(a,b)，f′′′(x)＞0 (＜0)恒成立，則f(x)在(a,b)上極值點x0左偏(右偏).

3.典型例題

下面給出幾個典型的函數極值點偏移問題，并結合本文的定理加以分析.

例1(2016 高考全國Ⅰ卷理科第21 題)已知函數f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2有兩個零點.

(1)求a的取值范圍;

(2)設x1,x2是f(x)的兩個零點，證明：x1+x2＜2.

解(1)a ＞0(過程略);

(2)由f′(x)=(x-1)(ex+2a)得f(x)在? 上只有一個極值點1，當x ∈(-∞,1)時，f′(x)＜0，當x ∈(1,+∞)時，f′(x)＞0.不妨設x1＜x2，由已知可得f(x1)=f(x2)= 0，且x1＜1＜x2＜2.

(i)若x1≤0，顯然有x1+x2＜2.

(ii)若x1＞0，則0＜x1＜1＜x2＜2.

因為f′′(x)=xex+2a,f′′′(x)= (x+1)ex，所以任意x ∈(0,2)，f′′′(x)＞0 恒成立.由定理1 得f(x)在(0,2)上極值點右偏，于是，得x1+x2＜2.

例2已知函數f(x)=xlnx,0＜x1＜x2且f(x1)=f(x2).證明： (1)

證明(1)由f′(x)= 1+lnx得f(x)在(0,+∞)只有一個極值點當時，f′(x)＜0，當時，f′(x)＞0.因為所以任意x ∈(0,+∞),f′′′(x)＜0 恒成立.由定理1 得f(x)在(0,+∞)上極值點左偏，于是，得

(2)令t= lnx，則第(2)問等價于已知函數g(t)=tet,t1＜ t2且g(t1)=g(t2)，證明t1+t2＜ -2.由g′(t)= (t+ 1)et得g(t)在? 上只有一個極值點-1，當t ∈(-∞,-1)時，g′(t)＜0，當t ∈(-1,+∞)時，g′(t)＞0.由已知可得t1＜-1＜t2＜0.

(i)若t1≤-2，顯然有t1+t2＜-2.

(ii)若t1＞-2，則-2＜t1＜-1＜t2＜0.

因為g′′(t)= (t+ 2)et,g′′′(t)= (t+ 3)et，所以任意t ∈(-2,0),g′′′(t)＞0 恒成立.由定理1 得g(t)在(-2,0)上極值點右偏，于是，得t1+t2＜-2.

例3已知函數f(x)=ax-ex有兩個零點x1,x2.證明： (1)2＜x1+x2＜2 lna;(2)x1x2＜1.

證明(1)易得a ＞e.

(i)首先證明x1+x2＜2 lna.由f′(x)=a - ex得f(x)在? 上只有一個極值點lna，當x ∈(-∞,lna)時，f′(x)＞0，當x ∈(lna,+∞)時，f′(x)＜0.因為f′′(x)=-ex,f′′′(x)=-ex，所以任意x ∈?,f′′′(x)＜0恒成立.由定理2 得f(x)在? 上極值點右偏，因為f(x1)=f(x2)=0，所以，得x1+x2＜2 lna.

(ii)再證2＜x1+x2.不妨設x1＜x2，由已知易得0＜x1＜1,x2＞lna.由f(x)=ax - ex= 0 得x -lnx= lna.構造函數g(x)=x -lnx，則g(x1)=g(x2)=lna.由得g(x)在(0,+∞)只有一個極值點1，當x ∈(0,1)時，g′(x)＜0，當x ∈(1,+∞)時，g′(x)＞0.因為所以任意x ∈(0,+∞),g′′′(x)＜0 恒成立.由定理1 得g(x)在(0,+∞)上極值點左偏，于是得2＜x1+x2.

(2)由f(x)=ax-ex= 0 得,x-lnx= lna.令t=lnx，則第(2)問等價于已知函數g(t)=et-t,t1＜t2且g(t1)=g(t2)，證明t1+t2＜0.由g′(t)=et-1 得g(t)在? 上只有一個極值點0，當t ∈(-∞,0)時，g′(t)＜0，當t ∈(0,+∞)時，g′(t)＞0.因為g′′(t)=et,g′′′(t)=et,所以任意t ∈?,g′′′(t)＞0 恒成立.由定理1 得g(t)在? 上極值點右偏，于是得t1+t2＜0.

函數極值點偏移問題是考查導數的一種常見的題型，本文通過直觀推理和嚴格證明對函數極值點偏移問題的本質進行探究，得到了判定函數極值點偏移的非常有效的方法.