太陽帆航天器三維人工平動點變化特性研究

段 遜，岳曉奎，黨朝輝

(1. 西北工業(yè)大學航天學院，西安 710072；2. 航天飛行動力學技術重點實驗室，西安 710072)

0 引 言

太陽帆航天器是利用太陽光壓作為動力實現(xiàn)軌道機動的航天器，可廣泛用于各種深空探測任務，例如平動點探測[1-2]。雖然太陽帆航天器所獲得的光壓力量級比較小，但深空探測任務時間相對較長，其作用是不能忽略的?？紤]太陽光壓模型后，航天器軌道動力學會更加精確，可有效提高GPS衛(wèi)星定軌、星際軌道轉移和平動點附近周期軌道保持的精度。

平動點[3]又稱為拉格朗日點，是航天器同時受到兩個天體引力而相互平衡的位置，因其重要的動力學特性受到廣泛的關注。將太陽帆航天器發(fā)送至平動點附近[4]，可用作多種空間科學試驗或天文觀測的良好平臺，目前美日等國家已開展或計劃開展相關在軌驗證任務。

美國航空航天局(NASA)于2010年11月發(fā)射NanoSail-D2[5]太陽帆航天器，成為第一個部署于近地軌道的太陽帆航天器，但其面積較小，僅有10 m2，所能提供的加速度有限。未來計劃發(fā)射的Light Sail-2[6]太陽帆航天器，任務是維持航天器在日地系統(tǒng)L1平衡點附近的周期軌道上。

2010年，日本宇航局(JAXA)發(fā)射了Ikaros號太陽帆航天器[7]，標志著第一個真正意義上的太陽帆航天器的誕生。其動力完全來源于太陽光壓，并實現(xiàn)了飛掠金星的任務，具有標志性和里程碑意義。但整個任務過程中，并未考慮多體的情況。

最早利用太陽帆進行深空探測的概念是在1921年由前蘇聯(lián)學者Tsiolkovsky[8]提出的。而太陽光壓模型最早是在1873年，由Maxwell提出的，后續(xù)Wie[9]、McInnes等[10]又對太陽光壓模型進行了改進。在傳統(tǒng)的限制性三體問題中，存在著五個平動點。而當添加太陽光壓加速度后，則會導致平動點位置發(fā)生移動，從而形成一系列“人工”平動點。其中太陽光壓加速度的大小主要受以下三個參數(shù)影響：光壓因子以及太陽帆板與太陽方向之間的兩個角度，錐角和鐘角。光壓因子主要受太陽帆板參數(shù)和面質比等參數(shù)影響。目前，國外的學者Farrés等[11]和Soldini等[12]研究了在不同坐標系下的平動點變化情況，但他們均忽略了鐘角的影響，具有很大的局限性。國內學者龔勝平等[13]，張青斌等[14]，羅超等[15]研究了太陽帆航天器的軌道動力學和軌道控制研究，但均基于固定的平動點。侯錫云等[16]對太陽帆定點探測器在地—月系共線的平動點附近進行了研究，張輝[17]和朱敏[18]也進行了太陽帆影響下的平動點移動研究，不過只考慮了共線平動點在不同光壓因子影響下的變化情況。

基于上述研究的不足，本文考慮了太陽帆航天器在光壓因子、錐角和鐘角三者共同作用下的五個平動點變化情況，從而得到了更加細致全面的五個三維“人工”平動點家族面。由于平動點的重要位置以及特殊意義，“人工”平動點可以為未來的科研任務提供更多的可能，包括提供新的周期軌道及日地流形選擇等，更好地為未來太陽帆航天器在日地系統(tǒng)內的運動和平動點周期軌道等方面研究提供有效參考。

1 太陽帆航天器的動力學模型

太陽帆航天器在限制性三體模型下，只考慮兩個主天體(地球和太陽)的力以及太陽帆產(chǎn)生的太陽光壓力。假設兩個主天體質量匯于質點，由于二者之間的互相吸引力，以圓形圍繞其質量中心運行。同時，太陽帆航天器也被當成一個質點，它不影響兩個主天體的運動，相反它受兩個主天體的引力以及太陽帆的光壓力影響。本文的模型為限制性三體模型加上太陽光壓模型(CR3BP+SRP)。

本文采用旋轉坐標系，中心原點位于太陽-地球的質量中心，X軸沿著連接兩個天體的線，方向為從地球指向太陽，Z軸垂直于軌道平面，Y軸完成正交參考系。因此，在此旋轉坐標系下，太陽的位置是X>0，而地球的位置是X<0。采用無量綱化，認為太陽和地球的質量之和為1，太陽地球距離為1，軌道周期是2π。在日地系統(tǒng)中，地球的質量是μ=3.00348060100486×10-6，1-μ對應的是太陽質量。圖1為太陽帆航天器在日地限制性三體旋轉坐標系中的示意圖。

圖1 太陽帆在日地系統(tǒng)下的示意圖Fig.1 Schematic diagram of a solar sail under the Sun-Earth system

設(X,Y,Z)為太陽帆航天器在上述旋轉坐標系中的位置，則其動力學模型可以寫成：

(1)

式中：

(2)

圖2 太陽帆航天器角度示意圖Fig.2 Schematic diagram of solar sail spacecraft’s angle

(3)

2 人工平動點的變化特性

平動點是在限制性三體問題中，受到天體引力與離心力互相平衡的位置，則在這些特殊位置下，探測器理論上速度和加速度均為零。滿足：

(4)

如果不考慮太陽光壓的作用，傳統(tǒng)限制性三體問題有五個平動點：有三個平動點在太陽和地球的連線上，且具有不穩(wěn)定性。另外兩個平動點在黃道面上，與兩個主天體形成等邊三角形[7]，且是線性穩(wěn)定的。圖3為五個平動點在日地限制性三體坐標系下的示意圖。表1給出了日地系統(tǒng)五個平動點的空間位置[12]。

圖3 日地系統(tǒng)在CR3BP中平動點分布圖Fig.3 The Sun-Earth system libration points distributionmap in CR3BP

表1 日地系統(tǒng)平動點位置
Table 1 The liberation points position in the Sun-Earth system

平動點XYZL1-0.9899900L2-1.0100800L31.0000000L4-0.500003/20L5-0.50000-3/20

若太陽帆航天器受到太陽光壓的作用，則平動點位置發(fā)生改變，新形成的平動點分別記為：SL1，SL2，…，SL5。則在CR3BP-SRP模型下，平動點應滿足下式：

(5)

對式(5)進行求解，則可得到新的“人工”平動點。本文在求解太陽帆航天器的“人工”平動點過程中，考慮了公式內的各個變量參數(shù)：包括光壓因子(β∈(0,1))，錐角(α∈(-π/2，π/2))和鐘角(δ∈(0,2π))，從而在不同的光壓因子下，形成了以錐角和鐘角為變量的3維平動點圖。

2.1 “人工”平動點SL3，SL4和SL5的變化特性

當光壓因子小于10-6的時候，改變鐘角和錐角的大小，則會形成五個不相連的“人工”平動點家族面，如圖4所示，其光壓因子取值為7×10-7。圖4中每一個點都對應著一個太陽帆角度?？梢园l(fā)現(xiàn)，其不再只是五個點，而是形成了五個面。隨著光壓因子增大，大于10-6的時候，“人工”平動點SL3，SL4和SL5開始相互靠近(如圖5所示，此時光壓因子為3×10-6)并最終融合，逐漸合并成了一個面，此時形成了三個不相連的平動點家族(即SL1和SL2各一個平面，SL3，SL4和SL5共形成一個面)。

圖4 不相連的五個人工平動點(β=7×10-7)Fig.4 Five artificial libration points that are notconnected(β=7×10-7)

圖5 逐漸靠近的人工平動點(β=3×10-6)Fig.5 The artificial libration points that areapproaching(β=3×10-6)

考慮SL3到SL5的“人工”平動點隨著光壓因子的擴大，相互融合成一個平面，且變化不大，故后續(xù)主要研究離地球最近的兩個“人工”平動點(即SL1和SL2)，也更加具有工程意義。

2.2 “人工”平動點SL1的變化特性

當光壓因子小于0.03時，“人工”平動點SL1家族是一個封閉的球面，如圖6所示。圖6(a)、圖6(b)分別是光壓因子為0.01和0.02時的SL1家族“人工”平動點的情況。所選取的參考系及三軸范圍是相同且固定的，圖6(a)中，坐標軸內部的封閉球面為SL1三維“人工”平動點家族，而在XY平面內的圖形為三維平動點對應的投影，便于觀察其變化情況(圖 6(b)及圖7同理)。從圖6可以看出，SL1點“人工”平動點家族隨著光壓因子增大，球面擴大。

圖6 SL1平動點(β<0.03)Fig.6 SL1 liberation points (β<0.03)

當光壓因子大于0.03時，SL1家族“人工”平動點分裂成兩個平面，而不再是一個封閉的球面。如圖7所示。圖7(a)、圖7(b)分別是光壓因子為0.03和0.05時的SL1家族“人工”平動點的情況。

圖7 SL1平動點(β>0.03)Fig.7 SL1 liberation points (β>0.03)

針對SL1家族的“人工”平動點，從圖6和圖7可以得到：當光壓因子為零的時候(即無太陽光壓力的作用)，其平動點是一個點。當存在太陽光壓的作用下，SL1平動點會從一個點擴大至一個球面，并隨著光壓因子的增大，球面也隨之擴大。直到光壓因子擴大接近某個臨界值(0.02～0.03)，其會從一個封閉的球面分裂成兩個平面(見圖7(a)和圖7(b))，右半部分隨著光壓因子的增大，向中心點方向移動，而左半部分會隨著光壓因子的增大，向地球方向緩慢移動，二者皆與SL3，SL4和SL5形成的平面融合在一起。此時系統(tǒng)內只有兩個不相連的平動點面，一個是SL1，SL3，SL4和SL5合并組成的，另一個則是SL2單獨形成的。

2.3 “人工”平動點SL2的變化特性

相比較“人工”平動點家族SL1的復雜，SL2家族的“人工”平動點，更加穩(wěn)定，也更加直觀，如圖8所示。

圖8中從里到外的光壓因子，分別是0.01，0.05，0.09和0.13。從圖8可以看出，SL2家族的“人工”平衡點，不會隨著光壓因子的變大而分裂，始終是一個封閉的球面，只是球面不斷擴大。

2.4 “人工”平動點的變化特性小結

當錐角α=±π/2時，太陽帆板方向與日射方向垂直，則無太陽光壓力，此時的模型則可簡化為傳統(tǒng)的限制性三體模型(SLi=Li，i=1,…,5)。

當錐角α=0的時候，太陽光垂直照射到太陽帆板上，即太陽帆板方向與入射光線平行。在這種情況下，太陽光壓力與太陽的引力方向相反，所以可以理解成太陽的質量減少了。對應的SL1和SL2家族“人工”平動點會隨著光壓因子的增大，向太陽方向靠近運動。

若錐角取其他值，鐘角δ=±π/2，則會產(chǎn)生一個在XY平面內的力，“人工”平動點也會對應著向左或向右移動。同理，若錐角δ=0°或δ=π，則會產(chǎn)生一個垂直于XY平面的力，“人工”平動點會向上或向下移動。

當錐角(α∈(-π/2，π/2))和鐘角(δ∈(0，2π))各自單獨變化，則會得到一個二維的“人工”平動點。若二者同時改變，會形成分析中所展示的三維情況。圖4～圖8中的每一個點均對應著一個確定的錐角和鐘角。

當太陽光壓(β∈(0，1))改變的時候，其各個平動點也會隨之改變。當β<10-6時，則會有五個獨立互不連接的平動點家族。當β>10-6時，SL3到SL5開始相互靠近并融合形成了一個大的平動點家族SL3～5。當β<0.02時，SL1始終保持著一個封閉的球面，此時有三個獨立互不連接的平動點家族。當β>0.03，SL1會分裂成兩個平面，且與SL3～5融合在一起，最終形成兩個獨立不連接的平動點家族。無論β如何變化，SL2“人工”平動點始終是封閉的曲面，只會隨著β的增大而擴大球面。值得一提的是，“人工”平動點分裂后的左側的SL1始終無法與SL2家族相融合。

表2 平動點基于光壓因子變化特性Table 2 Variation characteristics of liberation points based onsolar parameters

注.Ⅰ表示獨立封閉不相連球面，Ⅱ表示獨立不相連面，Ⅲ表示融合。

綜上所述，平動點位置的改變，對應的周期軌道也隨之改變，如圖9所示。圖9(a)為三維的圖形，圖9(b)為其XY平面投影。設置光壓因子為0.02，當錐角等于0°，鐘角為90°的時候，平動點和周期軌道為圖9(a)和圖9(b)的右側部分。若錐角等于60°，鐘角為90°時，則平動點和周期軌道更改為左側部分。本文對航天器軌道設計的研究意義：1)周期軌道的保持，若航天器沿不穩(wěn)定流形脫離原周期軌道，利用太陽帆角度的改變，使航天器沿著穩(wěn)定流形進入新的周期軌道。2)規(guī)避地球陰影的影響，如圖9所示。若右側的周期軌道被陰影遮擋，則可以通過太陽帆轉移至左側的周期軌道上進行規(guī)避。3)由原先的五個平動點拓展成了平動點家族，為未來深空探測軌道設計提供了更多的可能性。

圖9 平動點位置改變及Lissajous軌道Fig.9 The change of liberation points position andLissajous trajectory

3 結束語

本文針對太陽帆航天器受太陽光壓作用會改變平動點位置的問題，研究了五個平動點在光壓因子、錐角和鐘角的影響下形成的三維人工平動點的變化情況。

本文討論了在不同光壓因子情況下的人工平動點SL1～SL5的變化情況。其中，考慮到SL2家族“人工”平動點不會隨著光壓因子β有巨大的改變，適合太陽帆航天器在此平動點進行周期軌道保持等研究，針對“人工”平動點SL1，SL3，SL4和SL5可以互相融合的特點，為未來的太陽帆航天器在日地系統(tǒng)內的轉移提供了新思路。