一元函數(shù)的凹凸性在證明不等式中的應(yīng)用

吳建軍 劉晶

【摘要】函數(shù)的凹凸性是函數(shù)的重要性質(zhì)之一，它描述和刻畫的是函數(shù)圖象的彎曲程度。本文首先介紹了描述函數(shù)凸性的四種定義，其次對函數(shù)凹凸性的相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行了討論，總結(jié)了函數(shù)凸性的判別法和凸函數(shù)的一些重要的性質(zhì)，得到了幾個關(guān)于函數(shù)凹凸性的命題，并對函數(shù)凹凸性的應(yīng)用進(jìn)行了研究，最后簡要地給出了函數(shù)凸性在證明不等式方面的一些應(yīng)用，利用函數(shù)凹凸性的定義證明了幾個重要的不等式。

【關(guān)鍵詞】凹凸性;可導(dǎo);單調(diào);連續(xù)

【基金項目】本文系省級課題“基于核心素養(yǎng)理念下的數(shù)學(xué)史知識在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中的運用研究”（課題編號：GS〔2017〕MSZX141）。

函數(shù)是基礎(chǔ)數(shù)學(xué)研究的一個重要組成部分，更是高中數(shù)學(xué)教學(xué)研究的中心課題，了解和掌握函數(shù)的內(nèi)在本質(zhì)就需要我們從“數(shù)”和“形”兩個方面去探究和分析。在具體的研究實踐中，我們更多的是通過研究函數(shù)的基本性質(zhì)去刻畫和描述函數(shù)的圖象，再通過觀察函數(shù)的圖象發(fā)現(xiàn)更多的更加深刻的函數(shù)的基本性質(zhì)。函數(shù)的凹凸性作為函數(shù)的基本性質(zhì)，它反映在函數(shù)圖象上就是曲線的彎曲方向。探究和分析函數(shù)的凹凸性，可以較好地掌握函數(shù)對應(yīng)曲線的性狀，所以深入研究函數(shù)的凹凸性對于我們掌握和了解函數(shù)的整體性質(zhì)和圖象具有不可替代的重要意義。

一、下凸函數(shù)的幾種定義

1.下凸函數(shù)的定義1

定義1 設(shè)函數(shù)在區(qū)間?I?上有定義，?f（x）?稱為?I?上的下凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，有，若不等號嚴(yán)格成立，則稱?f（x）?是?I?上的嚴(yán)格下凸函數(shù).

2.下凸函數(shù)的定義2

定義2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間?I?上有定義，?f（x）?稱為?I?上的下凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)，有

若不等號嚴(yán)格成立，則稱?f（x）?是?I?上的嚴(yán)格下凸函數(shù).

3.下凸函數(shù)的定義3

定義3 設(shè)函數(shù)在區(qū)間?I?上有定義，?f（x）?稱為?I?上的下凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)曲線?f（x）?的切線保持在曲線之下.若除切點之外，切線嚴(yán)格保持在曲線的下方，則稱?f（x）?是?I?上的嚴(yán)格下凸函數(shù).

二、 判定函數(shù)凸性的方法

定理1.1.設(shè)函數(shù)在區(qū)間?I?上有定義，則以下條件等價（） ：

〈Ⅰ〉?f（x）?在?I?上為下凸函數(shù); 〈Ⅱ〉;

〈Ⅲ〉; 〈Ⅳ〉;

〈Ⅴ〉 曲線y=?f（x）?上的三點A（，f（））， B（，f（））和

C所圍的有向面積.

（對嚴(yán)格的下凸函數(shù)有類似的結(jié)論，只要將“≤”改為“<”即可）

證明：10. 〈Ⅰ〉〈Ⅱ〉：對?I?中任意，根據(jù)下凸函數(shù)的定義，條件〈Ⅰ〉等價于≤.另一方面，將條件〈Ⅱ〉中的不等式乘以，移項變形，可知其等價于

可見，，令=，則，于是，，從而由 〈Ⅰ〉可推到<Ⅱ〉 .

反之，λ（0，1），若令，則，故 〈Ⅰ〉〈Ⅱ〉 。

20.類似可證〈Ⅲ〉， 〈Ⅳ〉與〈Ⅴ〉等價。

30.證明〈Ⅱ〉與〈Ⅴ〉等價。將〈Ⅱ〉中的不等式乘以并移項，可知〈Ⅱ〉中的不等式等價于：，此即：

命題1.2.?f（x）?是區(qū)間?I?上的下凸函數(shù)，則對?I?的任意內(nèi)點，其單側(cè)導(dǎo)數(shù)都存在，且都為增函數(shù)，且，（），（其中是?I?的內(nèi)部）.

定理1.3.設(shè)函數(shù)?f（x）?在區(qū)間?I?上有定義，則?f（x）?為?I?上的

下凸函數(shù)的充要條件是：，.

證明：（必要性）：因下凸函數(shù)，由命題1.2，可知，存在且單調(diào)遞增且趨于。由此任取，則時有?f（x）（）+?f?（）;同理，當(dāng)取，則時有f（x）?≥a（x-x0）+?f（x0）.因，故對任意的：

恒有?f（x）（）+?f（）。

（充分性）：設(shè)是區(qū)間?I?上的任意點。由已知條件，對存在，使得?f?（x）（）+f（），.由此，令 x=和x=，可得：

，由定理1.1知?f（x）?為下凸函數(shù).

推論1.4.設(shè)?f（x）?在區(qū)間?I?內(nèi)可導(dǎo)，則?f（x）?為?I?上的下凸函數(shù)的充要條件是：，.

注：由此可見，若?f（x）?可導(dǎo)，則下凸函數(shù)的定義1，2，3等價.

定理1.5 .設(shè)?f（x）?在區(qū)間?I?上有導(dǎo)數(shù)，則?f（x）?在?I?上為下凸函數(shù)的充要條件是：單調(diào)遞增（）.

證明：10.（充分性）（不妨設(shè)）及（0，1）.記來證

即： （1）

（1）式等價于

（2）

應(yīng)用Lagrange中值定理，，使得

但

故〈2〉式左端

（3）

由已知單調(diào)遞增，知從而〈3〉式. （1）式得證.

20.（必要性）據(jù)命題3.2，在內(nèi)單調(diào)遞增，因存在，故亦在內(nèi)單調(diào)遞增，若?I?有右端點?b?，按已知條件?f?在?b?點有左導(dǎo)數(shù)，易知同理，若?I?有左端點a，則由此得證?f（x）?在?I?上是遞增的.

定理1.6.若?f（x）?在區(qū)間?I?上有二階導(dǎo)數(shù)，則?f（x）?在?I?上為下凸函數(shù)的充要條件是：.

證明：可由定理1.5及函數(shù)單調(diào)性的充要條件推出。

三、函數(shù)凹凸性的若干性質(zhì)

性質(zhì)3.1 若（x）在區(qū)間?I?上為下凸函數(shù)，則?I?上任意三點x1.

證明：由定理1.1易得證。

注：對曲線y=f（x）上任意一弦AB，若用KAB表示弦AB的斜率，點.則上不等式的幾何意義為KAB

性質(zhì)3.2：若（x）在區(qū)間I上為下凸函數(shù)，則過點的弦的斜率是x的增函數(shù)。（若?f?為嚴(yán)格下凸的，則嚴(yán)格的單調(diào)遞增）。

性質(zhì)3.3：若是區(qū)間?I?上的下凸函數(shù)，則?I?上任意四點，有。（若?f?是嚴(yán)格的下凸函數(shù)，則取“<”）

性質(zhì)3.4：若?f（x）?在區(qū)間?I?上為下凸的，則?f?存在任意內(nèi)點上連續(xù)。

證明：由命題1.2知，與存在，故?f?在?x?處左右都連續(xù)。

性質(zhì)3.5：若在區(qū)間?I?上為下凸的，則，在曲

線上一點可做一條直線L：，使曲線位于的L上方。

注：若為嚴(yán)格的下凸函數(shù)，則除點之外，曲線嚴(yán)格的在直線?L?的上方，這是著名的分離定理，也是可導(dǎo)下凸函數(shù)的幾何特征，而直線?L?稱為?y=f（x）?的支撐。

四、利用函數(shù)的凹凸性證明不等式

例1.（Jensen不等式）設(shè)?f（x）為[a，b]上的連續(xù)下凸函數(shù)，證明對于任意的，，成立.

證明：應(yīng)用數(shù)學(xué)歸納法.當(dāng)k=2時，由下凸函數(shù)定義知Jensen不等式成立.

現(xiàn)假設(shè)當(dāng)k= n-1時Jensen不等式成立，則當(dāng)k=n 時，

所以，Jensen不等式對一切正整數(shù)n成立.

例2.證明不等式對于正數(shù)a，b，c成立.

證 ：設(shè)

所以在下凸，因而

利用平均值不等式，得到

即

命題得證.

五、結(jié)語

本文通過對函數(shù)的凹凸性定義的梳理和刻畫，對函數(shù)的凹凸性作了深入的探索，通過對凸函數(shù)的一些重要性質(zhì)的刻畫，讓學(xué)生對函數(shù)的凹凸性有了更深層次的認(rèn)識。這對于學(xué)生今后認(rèn)識和學(xué)習(xí)新的函數(shù)，無疑具有重要的意義。本文對函數(shù)凹凸性的應(yīng)用方面的探索也是極富意義的，通過函數(shù)的凹凸性證明了數(shù)學(xué)中的若干重要的不等式，這對于開拓今后的數(shù)學(xué)研究者思路和思維，也具有積極的借鑒意義。

【參考文獻(xiàn)】

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