基于自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重和搜索策略的鯨魚優(yōu)化算法

孔 芝， 楊青峰， 趙 杰， 熊浚鈞

(東北大學(xué)秦皇島分校 控制工程學(xué)院， 河北 秦皇島 066004)

優(yōu)化問題一直是計算機(jī)科學(xué)、 人工智能和工程實踐等多個領(lǐng)域研究的熱點問題.研究學(xué)者受到自然界動物群體行為方式的啟發(fā)，提出多種智能優(yōu)化算法，如粒子群優(yōu)化(particle swarm optimization，PSO)算法[1]，蟻群優(yōu)化(ant colony optimization，ACO)算法[2]，差分進(jìn)化(differential evolution，DE)算法[3]，螢火蟲算法(firefly algorithm, FA)[4]，蝙蝠算法(bat algorithm, BA)[5], 灰狼優(yōu)化(grey wolf optimization，GWO)算法[6]等，為復(fù)雜函數(shù)優(yōu)化求解問題提供了強(qiáng)有力的工具，充分證明了智能優(yōu)化算法強(qiáng)大的優(yōu)化性能.

鯨魚優(yōu)化算法(whale optimization algorithm, WOA)[7]是澳大利亞學(xué)者于2016年提出的一種啟發(fā)式算法，通過模擬海洋中鯨魚群覓食行為來實現(xiàn)對目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化求解.WOA具有操作簡單、需要設(shè)置的參數(shù)少、尋優(yōu)性能強(qiáng)等優(yōu)點, 但也存在收斂精度低、容易陷入局部最優(yōu)的缺陷.針對這些不足，國內(nèi)外很多學(xué)者對其進(jìn)行改進(jìn)，如郭振洲等[8]提出一種WOAWC算法，選取柯西逆累積分布函數(shù)對鯨魚個體進(jìn)行變異，利用自適應(yīng)權(quán)重提高算法搜索能力；龍文等[9]提出一種IWOA，通過對立學(xué)習(xí)策略初始化種群，利用非線性收斂因子增強(qiáng)算法的探索能力，最后利用最優(yōu)個體變異操作，使得算法在解決大規(guī)模優(yōu)化問題中表現(xiàn)出較強(qiáng)的尋優(yōu)性能；王堅浩等[10]提出一種CWOA，引入混沌搜素策略，使得算法的收斂精度和魯棒性有了很大提升；張永等[11]提出一種MWOA，通過分段Logistic混沌映射的方法進(jìn)行種群初始化，利用非線性自適應(yīng)權(quán)重平衡局部和全局尋優(yōu)能力；黃清寶等[12]提出一種CPWOA，根據(jù)余弦曲線變化規(guī)律來控制參數(shù)，同時加入同步余弦慣性權(quán)值和最優(yōu)鯨魚個體變異的思想.目前WOA已成功應(yīng)用于訓(xùn)練神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)中的多層感知器[13]、電力系統(tǒng)[14]和徑向配電網(wǎng)電容器的最佳選址[15]等多個領(lǐng)域.但是WOA在處理更加復(fù)雜的優(yōu)化問題時，無法根據(jù)當(dāng)前計算結(jié)果調(diào)整參數(shù), 得到的解具有隨機(jī)性.同時, WOA在迭代后期, 群體中其他鯨魚均向種群中最優(yōu)鯨魚個體靠攏，這就導(dǎo)致種群的多樣性缺失，使算法陷入局部最優(yōu)解.

針對WOA所存在的不足，本文提出了基于自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重和搜索策略的鯨魚優(yōu)化算法(adaptive adjustment of weights and search strategies-based whale optimization algorithm，AWOA)，利用動態(tài)慣性權(quán)重，在算法迭代初期，因種群個體比較分散，可以賦予較大的權(quán)重值，加快算法的全局搜索能力；在迭代后期，算法可以根據(jù)當(dāng)前種群中個體的分布情況，自適應(yīng)地改變權(quán)值的大小，使其在最優(yōu)解周圍精細(xì)搜索、加快收斂速度.同時利用自適應(yīng)調(diào)整搜索策略，使得算法在迭代前期能以較大的概率在全局范圍內(nèi)隨機(jī)產(chǎn)生一組解，增加種群的多樣性，使其具有更強(qiáng)的全局搜索能力.利用13個基準(zhǔn)測試函數(shù)、5個大規(guī)模測試函數(shù)和5個固定維測試函數(shù)對該算法進(jìn)行仿真，結(jié)果表明，本文提出的AWOA在求解高維度目標(biāo)函數(shù)和較高精度的優(yōu)化問題時，表現(xiàn)出較強(qiáng)的尋優(yōu)能力.

1 鯨魚優(yōu)化算法

座頭鯨是一類群居動物，由于它們只能捕食成群的小型魚蝦，因此進(jìn)化出一種獨特的覓食方式，即泡泡網(wǎng)覓食方式.根據(jù)座頭鯨這種獨特的狩獵行為，Seyedali等[7]于2016年模擬其群體行為方式，提出了鯨魚優(yōu)化算法，該算法主要分為兩部分，一部分為泡泡網(wǎng)覓食，另一部分為隨機(jī)搜索.

1.1 泡泡網(wǎng)覓食

座頭鯨覓食行為示意圖如圖1所示，從圖中可以看出，鯨魚通過包圍獵物和螺旋更新位置實現(xiàn)局部尋優(yōu)的目的.WOA中，搜索空間中的每只鯨魚的位置代表一個解.假設(shè)當(dāng)前種群中最接近目標(biāo)函數(shù)值的個體為最優(yōu)鯨魚的位置, 通過全局最優(yōu)解的位置信息，群體中其他鯨魚個體均向最優(yōu)鯨魚位置包圍來更新其自身位置.鯨魚包圍獵物行為如式(1)所示：

X(t+1)=X*(t)-A·D.

(1)

式中:D=|C·X*(t)-X(t)|;t為當(dāng)前迭代次數(shù)；X*表示全局最優(yōu)鯨魚位置向量；X表示當(dāng)前鯨魚位置向量；A,C為矩陣系數(shù)，A=2a·r1-a，C=2·r2，r1,r2為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù)；a=2-2t/tmax，tmax表示最大迭代次數(shù).

在螺旋更新位置時，首先計算當(dāng)前位置與最優(yōu)鯨魚個體之間的距離，然后通過螺旋運動方式游向最優(yōu)個體，這個階段的數(shù)學(xué)模型表示如下：

(2)

鯨魚通過螺旋形游向獵物的同時又以收縮包圍的方式靠近獵物，此行為即為泡泡網(wǎng)覓食行為.在WOA中，當(dāng)|A|<1時，鯨魚在包圍圈內(nèi)尋優(yōu)，進(jìn)行局部最優(yōu)搜索，以概率0.5實行包圍獵物行為和螺旋更新行為，其數(shù)學(xué)模型如下：

(3)

式中，p為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù).

1.2 隨機(jī)搜索

|A|≥1時，鯨魚在收縮包圍圈外尋優(yōu)，進(jìn)行隨機(jī)搜索.算法在當(dāng)前鯨魚種群中隨機(jī)選取一個鯨魚個體作為全局最優(yōu)解，種群中其他鯨魚向其聚攏.通過這種方式更新種群的位置，增強(qiáng)了鯨魚種群的多樣性，算法的全局搜索能力得到增強(qiáng)，其數(shù)學(xué)模型公式如下：

X(t+1)=Xrand-A·D′.

(4)

式中，D′=|C·Xrand-X|，Xrand表示隨機(jī)選取的鯨魚位置向量.

2 鯨魚優(yōu)化算法的改進(jìn)

2.1 自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重

慣性權(quán)重作為鯨魚優(yōu)化算法中一個重要的參數(shù)，對目標(biāo)函數(shù)的優(yōu)化求解起到了很大的作用.合適的權(quán)重值對算法尋優(yōu)能力的提升有很大幫助.由于WOA在優(yōu)化求解的過程中,線性的慣性權(quán)重調(diào)整策略若選擇不合適，將影響算法的收斂速度.因此，本文提出了一種根據(jù)當(dāng)前鯨魚種群分布情況來自適應(yīng)改變權(quán)值的大小, 公式如下：

(5)

X(t+1)=w·X*(t)-A·D,

(6)

(7)

2.2 自適應(yīng)調(diào)整搜索策略

為防止算法陷入局部最優(yōu)，隨機(jī)搜索階段，個體根據(jù)概率閾值Q來選取隨機(jī)搜索的更新方式，概率閾值定義為

(8)

Xrand=Xjmin+r·(Xjmax-Xjmin).

(9)

式中：r為[0,1]之間的隨機(jī)數(shù);Xmin,Xmax分別為變量Xrand取值的最小值和最大值.

2.3 AWOA流程圖及步驟

綜上所述，本文提出的AWOA執(zhí)行過程中的流程圖如圖2所示，具體說明如下：

步驟1 參數(shù)初始化. 設(shè)置種群規(guī)模為N，最大迭代次數(shù)tmax; 設(shè)置參數(shù)d1,d2；

步驟2 種群初始化. 隨機(jī)生成初始解，計算個體適應(yīng)度{F(Xi),i=1,2,,N}，并記錄全局最優(yōu)解;

步驟3 根據(jù)式(5)和式(8)計算權(quán)重w和概率閾值Q; 更新參數(shù)A,C,l,p和q;

步驟4 如果p≥0.5，根據(jù)式(7)更新當(dāng)前鯨魚位置；

步驟5 如果p<0.5并且|A|≤1，根據(jù)式(6)更新當(dāng)前鯨魚位置；

步驟6 如果p<0.5，|A|>1并且q

步驟7 判斷算法是否滿足終止條件，若是，則輸出最優(yōu)解；否則返回步驟3.

3 仿真對比與分析

3.1 測試函數(shù)與性能指標(biāo)

選取的測試函數(shù)為文獻(xiàn)[7]中的13個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)(F1(x)～F13(x)); 另外，為驗證AWOA的可行性，本文選取5個典型的復(fù)雜高維函數(shù)(n=200,500,1 000和1 500維)和5個固定維多峰函數(shù)(n=2，4維)進(jìn)行對比仿真.測試函數(shù)如表1和表2所示.

表1 高維測試函數(shù)

表2 固定維測試函數(shù)

選取平均值、標(biāo)準(zhǔn)差和成功率3個性能指標(biāo)(運行30次)來分析算法的優(yōu)化性能.

3.2 仿真結(jié)果分析

仿真在Inter(R) Core(TM) CUP:i7-4510U, 4GB內(nèi)存，2.00 GHz主頻的計算機(jī)上運行，程序采用MATLAB 2015a 編程實現(xiàn).

通過比較AWOA與標(biāo)準(zhǔn)WOA[7], WOAWC[8], IWOA[9], CWOA[10], CPWOA[12]的仿真結(jié)果來驗證AWOA的尋優(yōu)能力.因CPWOA算法在文獻(xiàn)[12]中已經(jīng)和其他算法(象群優(yōu)化(EHO)算法[16]、灰狼優(yōu)化(GWO)算法[6]、正余弦算法[17](SCA)等)做了仿真對比，且CPWOA在收斂速度與精度上優(yōu)于這些算法.因此，這里不再將AWOA與其他優(yōu)化算法作比較.

經(jīng)過反復(fù)多次仿真，對AWOA算法的最優(yōu)參數(shù)設(shè)置如下:常數(shù)b=1，d1=1×10-4，d2=1×10-4.標(biāo)準(zhǔn)WOA，IWOA，WOAWC，CWOA和CPWOA中的其他參數(shù)均按照其對應(yīng)參考文獻(xiàn)設(shè)置.表3給出了6種算法對13個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)(F1(x)～F13(x)，n=30維)的仿真結(jié)果，其中標(biāo)準(zhǔn)WOA的結(jié)果來源于文獻(xiàn)[7]，IWOA的結(jié)果來源于文獻(xiàn)[9].表4為6種算法對5個高維測試函數(shù)(n=200,500,1 000，1 500維)的仿真數(shù)據(jù).表5為6種算法對5個固定維測試函數(shù)(n=2，4維)的仿真數(shù)據(jù)比較.仿真中最好的結(jié)果以黑色加粗字體表示.

表3 6種算法對13個低維測試函數(shù)的尋優(yōu)性能比較

注：種群規(guī)模N=30, 最大迭代次數(shù)tmax=500.

由表3中的仿真數(shù)據(jù)可知，AWOA和CPWOA在測試函數(shù)F1(x),F2(x),F3(x),F4(x),F9(x)和F11(x)上均可以收斂到理論最優(yōu)值0, 表現(xiàn)出較好的尋優(yōu)能力.AWOA除在測試函數(shù)F6(x)上的搜索結(jié)果差于IWOA外，在其他測試函數(shù)上均優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)WOA, IWAO, WOAWC, CWOA和CPWOA，表明AWOA具有更強(qiáng)的尋優(yōu)性能和穩(wěn)定性.

由表4中的仿真數(shù)據(jù)可知，針對高維函數(shù)的優(yōu)化問題，AWOA對目標(biāo)函數(shù)的求解精度和尋優(yōu)成功率上總體要優(yōu)于其他5種算法的仿真結(jié)果.對于測試函數(shù)f1(x)，6種算法在n=200,n=500,n=1 000和n=1 500維時的收斂成功率均可達(dá)到100%，但CWOA均可以收斂到理論最優(yōu)值0，表現(xiàn)出更強(qiáng)的尋優(yōu)能力和穩(wěn)定性.然而AWOA對于測試函數(shù)f4(x)在n=200,n=500,n=1 000和n=1 500維下的尋優(yōu)成功率分別為100%,96.67%,73.33%,80.00%，而其他5種算法最好的收斂成功率為20.00%.這說明AWOA在求解大規(guī)模優(yōu)化問題時顯示出較強(qiáng)尋優(yōu)能力和魯棒性.

表4 6種算法對5個高維測試函數(shù)的尋優(yōu)性能比較

續(xù)表

注：種群規(guī)模N=30, 最大迭代次數(shù)tmax=500.

由表5的仿真數(shù)據(jù)可知，AWOA對于5個固定維測試函數(shù)的仿真結(jié)果在平均值上均優(yōu)于其他5種算法.對于測試函數(shù)f10(x)，除IWOA外其他5種算法均能收斂到理論最優(yōu)值-1，CWOA的標(biāo)準(zhǔn)差更小，具有更強(qiáng)的穩(wěn)定性.但是，對于測試函數(shù)f8(x)和f9(x)，AWOA也能收斂到理論最優(yōu)值，其求解結(jié)果明顯優(yōu)于其他5種算法.

為了便于觀察AWOA的尋優(yōu)性能，圖3給出了6種算法在不同維度下測試函數(shù)的仿真曲線.由圖3可以看出，相較于其他5種算法，本文提出的AWOA在收斂精度和收斂速度方面更具有優(yōu)勢.

表5 6種算法對5個固定維測試函數(shù)的尋優(yōu)性能比較

注：種群規(guī)模N=50, 最大迭代次數(shù)tmax=1 000.

4 結(jié) 語

本文介紹了WOA的基本原理，針對其收斂精度低和容易陷入局部最優(yōu)的缺陷，提出了一種基于自適應(yīng)調(diào)整權(quán)重和搜索策略的AWOA.AWOA可以根據(jù)當(dāng)前鯨魚種群的分布情況自適應(yīng)地改變權(quán)值的大小, 并且選擇不同的搜素策略來更新位置，以平衡算法全局搜索和局部搜索能力.

通過對WOA的13個標(biāo)準(zhǔn)測試函數(shù)、5個高維測試函數(shù)和5個固定維測試函數(shù)的數(shù)值仿真，結(jié)果表明，本文提出的AWOA在收斂精度和收斂速度方面總體上要優(yōu)于標(biāo)準(zhǔn)WOA, WOAWC, IWOA, CWOA和CPWOA.對于求解有約束的實際工程應(yīng)用問題是下一步研究的主要內(nèi)容.