品味高考題的一題多解

■文 明

一、研究背景

課程改革后，課時減少，習(xí)題課也大幅度減少，導(dǎo)致同學(xué)們接受、記憶、模仿的做題方式占主導(dǎo)地位。從而導(dǎo)致同學(xué)們出現(xiàn)思維定式、思維狹窄的現(xiàn)象，對于開拓同學(xué)們的思路、創(chuàng)新性的思考極為不利。而一題多解正是從相同的題目出發(fā)，利用不同的思路、不同的知識點、不同的方法而達到共同的目的，即殊途同歸。一題多解是一種鼓勵同學(xué)們深入思考的好方式，使同學(xué)們不僅關(guān)注已有的老思路、老想法，而且可以在已有知識的基礎(chǔ)上盡情舒展自己的思路，可以有效地培養(yǎng)同學(xué)們的主動性，以及開闊同學(xué)們的思維，促使同學(xué)們?nèi)?chuàng)新、去思考，使同學(xué)們逐步形成解題的靈活性與解題技巧。同時鼓勵同學(xué)們在學(xué)習(xí)過程中養(yǎng)成獨立思考、積極探索的習(xí)慣。所以，一題多解對于推動新課程的實施和培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維具有重要意義。

二、一道高考題的三種解法

題目(2012 年高考山東)設(shè)函數(shù)f(x)=g(x)=ax2+bx(a，b∈R，a≠0)。若y=f x( )的圖像與y=g x( )的圖像有且僅有兩個不同的公共點A(x1，y1)，B(x2，y2)，則下列判斷正確的是( )。

A.當(dāng)a＜0時，x1+x2＜0，y1+y2＞0

B.當(dāng)a＜0時，x1+x2＞0，y1+y2＜0

C.當(dāng)a＞0時，x1+x2＜0，y1+y2＜0

D.當(dāng)a＞0時，x1+x2＞0，y1+y2＞0

解法一：令=ax2+bx，則1=ax3+bx2(x≠0)。設(shè)F(x)=ax3+bx2，F(xiàn)'(x)=3ax2+2bx。令F'(x)=3ax2+2bx=0，則x=， 要使y=f(x)的圖像與y=g(x)圖像有且僅有兩個不同的公共點，只需=1，整理得4b3=27a2。于是可取a=±2，b=3來研究，當(dāng)a=2，b=3時，2x3+3x2=1，解得x1=-1，x2=，此時y1=-1，y2=2，x1+x2＜0，y1+y2＞0；當(dāng)a=-2，b=3 時，-2x3+3x2=1，解 得x1=1，x2=，此時y1=1，y2=2，x1+x2＞0，y1+y2＜0。答案為B。

圖1

解 法 二：令f(x)=g(x)，可 得結(jié)合圖1可知y=與y=ax+b有兩個交點，不 妨 設(shè)x1＜x2。當(dāng)a＞0時，如圖2所示，|x1|＞ |x2|， 即-x1＞x2＞0，此 時x1+x2＜0，y2=＞=-y1，即y1+y2＞0；同理由圖形經(jīng)過推理可得，當(dāng)a＜0時x1+x2＞0，y1+y2＜0。答案為B。

圖2

解法三：由y=f(x)的圖像與y=g(x)圖像有且僅有兩個不同的公共點，得ax2+bx，所以關(guān)于ax3+bx2-1=0(a≠0)有兩個不同的解，即三次方程有兩重根。不妨設(shè)重根為x1，則有ax3+bx2-1=a(xx1)2(x-x2) = 0， 從 而 有即所以當(dāng)a＞0時，x2＞0，則x1+x2＜0，y1+y2=；當(dāng)a＜0時，x2＜0，則x1+x2＞0，y1+y2=。答案為B。