高中數(shù)學(xué)立體幾何高頻考點(diǎn)分析

■張靜潔

在高考數(shù)學(xué)試題中，立體幾何部分占有較大的分值，但是有很多考生這一部分的得分較低，體現(xiàn)出學(xué)生對(duì)于空間立體幾何知識(shí)的學(xué)習(xí)存在較大的困難。下面就來(lái)分析立體幾何的相關(guān)知識(shí)，希望能為學(xué)生的學(xué)習(xí)提供有價(jià)值的參考。

一、對(duì)立體幾何知識(shí)的概述

立體幾何的學(xué)習(xí)內(nèi)容包括：建立空間想象力，了解幾何體的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)；能運(yùn)用所學(xué)知識(shí)對(duì)現(xiàn)實(shí)生活中物體的結(jié)構(gòu)進(jìn)行簡(jiǎn)單的概述，以提高并且鞏固關(guān)于三視圖的理解與學(xué)習(xí)；掌握空間中點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，了解垂直與平行的關(guān)系及基本的性質(zhì)與判定方法；能夠正確運(yùn)用數(shù)學(xué)的語(yǔ)言描述集合對(duì)象的位置關(guān)系，同時(shí)可以解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

二、對(duì)立體幾何高頻考點(diǎn)的分析

案例1：某一四棱錐的三視圖如圖1所示，則在四棱錐中有____個(gè)直角三角形。

圖1

解：由三視圖可以得到四棱錐P-ABCD，如圖2所示。在四棱錐P-ABCD中，PD垂直于底面，所以側(cè)面有兩個(gè)直角三角形。此外，根據(jù)線面垂直定理可得，另外一個(gè)面也是直角三角形。所以一共有三個(gè)直角三角形，分別為△PAD，△PCD，△PAB。

圖2

評(píng)析：這道題考查的是空間想象力，其重點(diǎn)考查的是空間幾何體點(diǎn)、線、面的位置關(guān)系，在解題的過(guò)程中，可以把幾何體放在長(zhǎng)方體或者正方體里進(jìn)行還原，觀察線線、線面垂直的關(guān)系。

案例2：在三棱柱ABC-A1B1C1里，CC1⊥平面ABC，AA1，AC，A1C1，BB1的中點(diǎn)分別是D、E、F、G，AB=BC= 5，AC=AA1=2。

(1)證明：AC⊥平面BEF。

(2)求二面角B-CD-C1的余弦值。

(3)求證：平面BCD和直線FG相交。

解：(1)在三棱柱ABC-A1B1C1中，因?yàn)镃C1⊥平面ABC，所以四邊形A1ACC1為矩形。又E、F分別為AC，A1C1的中點(diǎn)，所以AC⊥EF。又因?yàn)锳B=BC，所以AC⊥BE。因此AC⊥平面BEF。

圖3

(2)由(1)知AC⊥EF，AC⊥BE，EF∥CC1，因?yàn)镃C1⊥平面ABC，所以EF⊥平面ABC。又因?yàn)锽E?平面ABC，所以EF⊥BE。如圖3 所示，建立空間直角坐標(biāo)系E-xyz。根據(jù)題意，可以得到點(diǎn)B(0，2，0)，點(diǎn)C( -1，0，0)，點(diǎn)D(1 ，0，1)，點(diǎn)F(0 ，0，2)，點(diǎn)G(0 ，2，1)，所 以(2 ，0，1)，= (1 ，2，0)。設(shè)平面BCD的法向量為n=(a，b，c)，所以所以令a=2，則b=-1，c=-4。所以平面BCD的法向量n=(2，-1，-4)。又因?yàn)槠矫鍯DC1的法向量為= (0 ，2，0)，所 以cos=。由圖可得二面角B-CD-C1為鈍角，所以二面角B-CD-C1的余弦值為。

(3)平面BCD的法向量為n=(2，-1，-4)， 因?yàn)辄c(diǎn)G(0 ，2，1)， 點(diǎn)F(0 ，0，2)，所以= (0 ，-2，1)。因?yàn)閚·=-2，兩者不垂直，GF與平面BCD不平行且不在平面BCD內(nèi)，所以GF與平面BCD相交。

評(píng)析：?jiǎn)栴}(1)考查的是幾何體的垂直問(wèn)題，在證明平行與垂直關(guān)系的過(guò)程中需要運(yùn)用化歸和轉(zhuǎn)化的思想，經(jīng)常見(jiàn)到的類型有證明面面平行、線面平行，在證明的過(guò)程中，需要轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明線線平行的問(wèn)題。證明線面垂直時(shí)，需要轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明線線垂直的問(wèn)題；在證明線線垂直時(shí)，需要轉(zhuǎn)變?yōu)樽C明線面垂直的問(wèn)題。問(wèn)題(2)主要考查的是建立空間直角坐標(biāo)系，通過(guò)利用空間向量解出二面角的平面角，把幾何的問(wèn)題轉(zhuǎn)變?yōu)榇鷶?shù)的問(wèn)題進(jìn)行解答，突出代數(shù)運(yùn)算和幾何直觀兩者之間的融合，即應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的理念，找出數(shù)學(xué)知識(shí)之間的聯(lián)系，提高對(duì)數(shù)學(xué)的理解能力。

三、對(duì)立體幾何的學(xué)習(xí)策略分析

1.深入學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)，鞏固數(shù)學(xué)內(nèi)容：數(shù)學(xué)中的概念是數(shù)學(xué)知識(shí)最主要的部分，若學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)沒(méi)有了解并且牢牢掌握課本里的公式定理，那么對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的記憶便會(huì)非?；靵y，最終將概念混為一談。所以，同學(xué)們要重視基礎(chǔ)的知識(shí)，同時(shí)還要進(jìn)行深入的學(xué)習(xí)，深入分析概念。

2.學(xué)會(huì)繪制輔助圖形，提高解題速度：依據(jù)立體圖形理解題目給出的信息，在明白題意以后，進(jìn)一步分析立體圖形的面、線、角等關(guān)系。同學(xué)們?cè)谧鲱}過(guò)程中，常常不知該從什么地方入手，其中的原因是對(duì)圖形的認(rèn)識(shí)不夠，思維緊閉?；谶@種現(xiàn)象，同學(xué)們?cè)诮忸}的過(guò)程中，可以根據(jù)題目給出的信息，把每個(gè)角、點(diǎn)、邊、線、面之間的聯(lián)系總結(jié)出來(lái)，為繪制輔助線打好基礎(chǔ)，進(jìn)而提高解題的效率。

3.轉(zhuǎn)換圖形，學(xué)會(huì)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)的觀點(diǎn)進(jìn)行解題：要用靈活的思維學(xué)習(xí)立體幾何，才可以應(yīng)對(duì)不同的題目。在“最值和范圍”有關(guān)問(wèn)題中，可以把圖形進(jìn)行改變，通過(guò)運(yùn)用運(yùn)動(dòng)變化的原理，對(duì)問(wèn)題進(jìn)行全面的分析，用這樣的解題思路，可以快速并且正確地得出答案。

圖4

案例3：如圖4所示，ABC-A1B1C1為直三棱柱，其底面是直角三角形，∠ABC=90°，BC=CC=2，AC=6，BC1上的點(diǎn)P可以任意移動(dòng)，求出CP+PA1的最小值。

圖5

解：連接A1B，沿BC1展開(kāi)△CBC1，其與△A1B1C1在同一平面里，如圖5所示，連接A1C，可見(jiàn)CP+PA1D的最小值就是A1C的長(zhǎng)度。計(jì)算可得∠A1C1C=90°，∠BC1C=45°，所以∠A1C1C=135°。通過(guò)余弦定理計(jì)算，可得A1C=5 2，所以CP+PA1的最小值是。

隨著課程要求的不斷更新和改革，高中生應(yīng)該通過(guò)整理和分析立體幾何的高頻考點(diǎn)，掌握作圖技巧和方式方法，在有效的時(shí)間內(nèi)訓(xùn)練高效的解題速度，多方位全面提高解題能力。