同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題求解方法的研究

賈冬梅

（中北大學(xué)信息商務(wù)學(xué)院 山西省晉中市 030600）

簡(jiǎn)諧振動(dòng)是機(jī)械振動(dòng)中最簡(jiǎn)單、最基本的振動(dòng)形式，任何復(fù)雜的振動(dòng)都可以看作是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成[1]。而同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成又是簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成中最簡(jiǎn)單最重要的形式，它為波干涉和衍射現(xiàn)象的分析奠定了理論基礎(chǔ)，因此研究同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成有著十分重要的意義。尋求一種高效便捷的求解簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)的振動(dòng)的方法成為了解決同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成的關(guān)鍵[2-4]。對(duì)于同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問題，大學(xué)物理教材中常使用旋轉(zhuǎn)矢量法和解析法來進(jìn)行討論分析[5-6]。下面分別運(yùn)用解析法和旋轉(zhuǎn)矢量法來求解同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題，分析總結(jié)它們各自的特點(diǎn)，為這類問題的分析和求解提供一些參考和借鑒。

1 兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成

設(shè)兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)都沿著x 軸方向振動(dòng)，平衡位置都為坐標(biāo)原點(diǎn)，它們振動(dòng)的角頻率ω，振幅分別為A1和A2，初相分別為φ1和φ2，它們的振動(dòng)方程分別為：

x1=A1cos(ωt+φ1)

x2=A2cos(ωt+φ2)

求這兩個(gè)解析振動(dòng)的合振動(dòng)。

1.1 解析法

由于兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)都沿著x 軸方向振動(dòng)，所以這兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)在任一時(shí)刻合振動(dòng)的位移也應(yīng)在x 軸方向上，且合振動(dòng)的位移x 等于這兩個(gè)分振動(dòng)位移的代數(shù)和，即：x=x1+x2

將分振動(dòng)的方程x1和x2代入上式展開整理：

令A(yù) cosφ=A1cosφ1+A2cosφ2A sinφ=A1sinφ1+A2sinφ2

得到x=A cosφ cosωt-A sinφ sinωt=A cos(ωt+φ)

這一結(jié)果表明：兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)依舊是一個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)，且合振動(dòng)的頻率與分振動(dòng)的頻率相同都等于ω，合振動(dòng)的振幅和初相可以表示為：

1.2 旋轉(zhuǎn)矢量法

如圖1所示，和 分別為兩個(gè)分振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量，它們以相同的角速度繞o 點(diǎn)做逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，t=0s 時(shí)它們與x 軸正向的夾角分別為φ1和φ2。根據(jù)平行四邊形法則，兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)旋轉(zhuǎn)矢量的合矢量為。由于旋轉(zhuǎn)矢量的大小不變，且以相同的角速度ω 繞O 點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它們的夾角在旋轉(zhuǎn)過程中也保持不變，所以合矢量在旋轉(zhuǎn)的過程中大小也保持不變，并以相同的角速度ω 繞O 點(diǎn)做逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，說明合矢量在坐標(biāo)軸上的投影仍為簡(jiǎn)諧振動(dòng)。設(shè)任一時(shí)刻和在x 軸上的投影分別為x1和x2，合矢量在x 軸上的投影為x，由圖中幾何關(guān)系可以得出x=x1+x2，故合矢量即為合振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量，合振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程為：x=A cos(ωt+φ)量與ox軸的夾角為合振動(dòng)的初相。通過圖中旋轉(zhuǎn)矢量的幾何關(guān)系也可以得出合振動(dòng)的振幅和初相的表達(dá)式分別為：

圖1：旋轉(zhuǎn)矢量示意圖

圖2：例1 旋轉(zhuǎn)矢量圖

圖3：簡(jiǎn)諧振動(dòng)曲線

圖4：例2 旋轉(zhuǎn)矢量圖

圖5：例3 旋轉(zhuǎn)矢量圖

圖6：例4 旋轉(zhuǎn)矢量圖

運(yùn)用解析法和旋轉(zhuǎn)矢量法分析兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)得到了完全相同的結(jié)果。其中，解析法是運(yùn)用三角函數(shù)關(guān)系化簡(jiǎn)整理得到合振動(dòng)的振動(dòng)方程及合振動(dòng)與分振動(dòng)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。旋轉(zhuǎn)矢量法是通過畫旋轉(zhuǎn)矢量圖來分析合振動(dòng)的振動(dòng)特征，并且從旋轉(zhuǎn)矢量圖中可以直觀地給出合振動(dòng)與分振動(dòng)之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。

2 同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題解析

例1 兩個(gè)同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)，其振動(dòng)表達(dá)式分別為：

求它們的合振動(dòng)的振幅和初相。

解法一（解析法）。

解：由已知條件得：

將其代入合振動(dòng)的振幅公式得：

解法二（旋轉(zhuǎn)矢量法）

解：根據(jù)已知條件得知初始時(shí)刻兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，從圖中可以看出振動(dòng)的振幅為：

2.1 求合振動(dòng)的初相位

例2 如圖3所示是兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的曲線，若這兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)可疊加，則合成的余弦振動(dòng)的初相位為？[6]

解法一（解析法）

解：由簡(jiǎn)諧振動(dòng)的運(yùn)動(dòng)曲線得：

將其代入合振動(dòng)相位公式得：

故合振動(dòng)的初相為：φ=0

解法二（旋轉(zhuǎn)矢量法）

解：根據(jù)簡(jiǎn)諧振動(dòng)的振動(dòng)曲線畫出它們初始時(shí)刻的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖4所示。t=0s 時(shí)，疊加后簡(jiǎn)諧振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量沿著x 軸的正方向，與軸的夾角為零，故合振動(dòng)的初相φ=0。

2.2 求合振動(dòng)的振動(dòng)方程

例3：兩個(gè)同方向、同頻率的，其振動(dòng)表達(dá)式分別為：

求其合振動(dòng)的振動(dòng)方程。[5]

解法一（解析法）

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解：兩個(gè)同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合振動(dòng)依舊是簡(jiǎn)諧振動(dòng)，故設(shè)合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：

合振動(dòng)的振動(dòng)方程為：

解法二（旋轉(zhuǎn)矢量法）

解：根據(jù)已知條件得知初始時(shí)刻兩個(gè)簡(jiǎn)諧振動(dòng)所對(duì)應(yīng)的旋轉(zhuǎn)矢量如圖5所示。由圖中幾何關(guān)系可得合振動(dòng)的振幅和初相分別為：

例4 已知兩同方向、同頻率的簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)方程分別為：

求：（1）合振動(dòng)的振幅及初相；（2）若另有一個(gè)同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)則φ3為多少時(shí)x1+x2+x3的合振動(dòng)振幅最大？為多少時(shí)x1+x2+x3的合振動(dòng)振幅最??？

解法一（解析法）

解：（1）由已知條件得：

解法二（旋轉(zhuǎn)矢量法）

解：（1） 作兩個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖如圖6所示。

故簡(jiǎn)諧振動(dòng)合振動(dòng)振幅為：

（2）由簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成的旋轉(zhuǎn)矢量圖可以看出，要使的振幅最大，簡(jiǎn)諧振動(dòng)x3的旋轉(zhuǎn)矢量應(yīng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x1，x2合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量同，故：要使的振幅最小，簡(jiǎn)諧振動(dòng)x3的旋轉(zhuǎn)矢量應(yīng)與簡(jiǎn)諧振動(dòng)的x1，x2合振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量反相，故：

通過對(duì)以上例題的分析可以看出：在一些特殊情形下，即當(dāng)兩個(gè)分振動(dòng)的的相位差為時(shí)，運(yùn)用解析法和運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量法求合振動(dòng)的振幅是等效的，但是運(yùn)用解析法需要理解記憶合振動(dòng)的振幅公式，而運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量法則不需要記公式，只需要畫出兩個(gè)分振動(dòng)的旋轉(zhuǎn)矢量圖，就可看出合振動(dòng)的振幅與兩個(gè)分振動(dòng)振幅之間的數(shù)學(xué)關(guān)系。特別是對(duì)于合振動(dòng)初相位的確定，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量法比解析法更為直觀、便捷和有效。但對(duì)于一般情形下同方向同頻簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成，運(yùn)用解析法來求合振動(dòng)更為有效。

3 結(jié)論

運(yùn)用解析法和旋轉(zhuǎn)矢量法分別從代數(shù)和幾何的角度來分析同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成，并得到完全相同的結(jié)。比起解析法復(fù)雜數(shù)學(xué)計(jì)算過程，旋轉(zhuǎn)矢量法這種簡(jiǎn)單的幾何圖形的方法更加直觀、便捷。因此，在教學(xué)過程中，教師在講解同方向同頻率簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成時(shí)，運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量法來分析比用解析法分析更加便于學(xué)生的理解和掌握。

對(duì)于同方向同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)合成問題的求解，運(yùn)用解析法所使用的數(shù)學(xué)過程和函數(shù)圖像知識(shí)比較復(fù)雜，計(jì)算難度較大，而且還需要理解和記憶相關(guān)物理公式，這些都使得學(xué)生掌握簡(jiǎn)諧振動(dòng)的合成問題難度增大。而運(yùn)用旋轉(zhuǎn)矢量法可以避免學(xué)生對(duì)物理公式的記憶和復(fù)雜的數(shù)學(xué)計(jì)算,特別是對(duì)于合振動(dòng)初相的確定，旋轉(zhuǎn)矢量法更加直觀、有效和便捷。