速度計(jì)：一種新型的引力波探測器

陳奕康，張 騰，孫艷春

(1.北京師范大學(xué)天文學(xué)系，北京100875；2.格拉斯哥大學(xué)物理與天文學(xué)學(xué)院，格拉斯哥G12 8QQ, 英國)

1 引 言

測量速度方法最先是由Braginsky 和Khalili[1]提出，用以替代傳統(tǒng)的邁克耳孫干涉儀進(jìn)行的位置測量。通過消除光子反作用力帶來的波動，可大大提高引力波干涉儀在低頻段的靈敏度。從原理上說，自由物體的速度與動量成正比，而動量是一個(gè)守恒量，因此是一個(gè)量子非破壞性量，那么通過設(shè)計(jì)就能夠使得動量的測量不受反作用力的影響。當(dāng)然，這里的動量守恒是整體的動量守恒，即是對于“鏡子+光子”這樣一個(gè)總的組合系統(tǒng)的動量守恒。盡管光子的運(yùn)動與鏡子的機(jī)械運(yùn)動之間會因?yàn)轳詈鲜艿接绊?，測量速度仍然使得隨機(jī)反作用力顯著地減少。

在引力波干涉儀中，增加激光功率可以降低散粒噪聲。但在光功率變高的同時(shí)，也會有更多的光子作用在反射鏡上，從而產(chǎn)生更強(qiáng)的輻射壓，導(dǎo)致更大的輻射壓力噪聲。在足夠高的激光功率下，輻射壓力噪聲會比散粒噪聲更大，并在噪聲頻譜中占比很高。

20 世紀(jì)60 年代Braginsky 第一次提出這個(gè)情況，并指出，能夠計(jì)算出一個(gè)特定的激光功率，使散粒噪聲與輻射壓力噪聲達(dá)到平衡的最低值[2,3]。這個(gè)值被稱為標(biāo)準(zhǔn)量子極限(standard quantum limit, SQL)，后來Khalili 和Levin[4]通過巧妙的設(shè)計(jì)繞過了這個(gè)極限，他稱之為量子非破壞性(quantum nondemlition measurement, QND)方案。

事實(shí)上，美國的引力波激光干涉儀LIGO 最初設(shè)計(jì)時(shí)計(jì)劃盡量靠近或者達(dá)到這個(gè)極限[5]，而Buonanno 和Chen[6–8]提出通過改變干涉儀的動力學(xué)，在一定頻段的范圍內(nèi)可越過這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)量子極限?，F(xiàn)在，LIGO 也提出一個(gè)方案，即使用2 個(gè)額外的光學(xué)濾波器來進(jìn)行頻率相關(guān)的零差檢測[9]。無論使用何種方案，繞過標(biāo)準(zhǔn)量子極限目前看來都是建設(shè)第三代引力波激光干涉儀有待解決的一個(gè)問題。

本文的知識背景主要是基于現(xiàn)有的引力波激光干涉儀[10]，在此基礎(chǔ)上提出了一種新型的設(shè)計(jì)——速度計(jì)。其中，第2 章介紹了本文所用的一些最基本的原理和結(jié)論，包括位置測量與速度測量、激光的雙光子形式以及邁克耳孫干涉儀的性能。第3 章則敘述了三種速度計(jì)的方案，包括之前用來測量地球自轉(zhuǎn)的薩尼亞克干涉儀，最早提出速度測量的晃動式速度計(jì)以及最新的方案，由兩個(gè)等效邁克耳孫干涉儀的模組成的EPR 型速度計(jì)。最后對全文進(jìn)行總結(jié)，并對未來引力波激光干涉儀的發(fā)展進(jìn)行了展望。

2 速度計(jì)原理簡介

2.1 雙光子形式

本節(jié)中，我們簡單介紹量子光學(xué)中的雙光子形式[11,12]，這是一種被廣泛應(yīng)用的理論方法基礎(chǔ)。一個(gè)準(zhǔn)單色調(diào)制的光波，也就是激光，其可表示為：

其中，A和a是這個(gè)光波振幅的兩個(gè)分量，下標(biāo)c 表示非平穩(wěn)變化，下標(biāo)s 表示突變。A=代表直流分量，而則代表了交流分量。標(biāo)準(zhǔn)常量其中ω0是載波光頻率，A是光束的有效橫截面，c是光速。那么在頻域中，我們有：

其中，?=ω ?ω0。于是，光場可以拓展寫為：

2.2 邁克耳孫干涉儀簡介

邁克耳孫干涉儀是目前引力波激光干涉儀里最基礎(chǔ)的結(jié)構(gòu)[10]，可以說，現(xiàn)有的其他升級型或替代型引力波激光干涉儀都是基于邁克耳孫干涉儀的原理。它在兩臂上分別配有法布里-珀羅諧振腔，且使用了功率循環(huán)鏡和信號循環(huán)鏡使得靈敏度進(jìn)一步提高。在無損耗情況下(TETM=0)，我們分別給出邁克耳孫干涉儀耦合因子KMI和邊帶相移βMI的表達(dá)式：

其中，系數(shù)D由引力波源決定[13]，而hSQL是標(biāo)準(zhǔn)量子極限，對于自由測試質(zhì)量m，其可表示為：

在特定情況下，如ΦL0=π/2 時(shí)，式(8)可以進(jìn)一步簡化為：

由式(10)可以看出，量子噪聲的兩個(gè)分量非常明顯地分離開來，括號內(nèi)第1 項(xiàng)表示量子散粒噪聲，第2 項(xiàng)則表示量子輻射壓力噪聲。我們可利用此式來推導(dǎo)標(biāo)準(zhǔn)量子極限，同時(shí)采用美國aLIGO 的參數(shù)，可得邁克耳孫干涉儀的量子噪聲靈敏度曲線[14]，見圖1。

2.3 速度測量基本原理

首先，目前的引力波激光干涉儀的主要部分的研制是基于邁克耳孫干涉儀，并配以兩個(gè)法布里-珀羅諧振腔以及功率循環(huán)鏡等，通過干涉儀兩臂臂長差的變化，反映出邁克耳孫干涉儀的相位差，以此判斷是否有引力波信號。從理論上說，速度計(jì)干涉儀感知相位變化的能力應(yīng)該與邁克耳孫干涉儀相同，即一個(gè)引力波信號在尺寸相同的邁克耳孫干涉儀與速度計(jì)干涉儀中產(chǎn)生的效果一樣，它們的區(qū)別只在于噪聲頻譜的不同。

圖1 邁克耳孫干涉儀的量子噪聲[15]

以一個(gè)簡單的結(jié)構(gòu)舉例，如圖2 所示，透鏡被同一束激光分別從它的正面和反面兩次反射。在這個(gè)過程中，如果測試的鏡子產(chǎn)生了位移?x，那么整個(gè)光路就會產(chǎn)生光程差，相應(yīng)的，探測到的激光的相位差的變化?Φ與?x會成正相關(guān)。于是我們稱激光入射至鏡子前表面到激光入射至后表面中間這一段時(shí)間為延遲時(shí)間τ，可以得到：

其中，是延遲時(shí)間τ內(nèi)鏡子運(yùn)動的平均速度，而τ是實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)中可以控制的已知量，也就意味與邁克耳孫干涉儀測量位置相比，速度計(jì)干涉儀中相位的變化反映了這段時(shí)間內(nèi)反射鏡速度的變化。

圖2 速度測量的原理圖

3 速度計(jì)干涉儀的基本結(jié)構(gòu)

在速度計(jì)干涉儀的最初方案中，提出使用兩個(gè)耦合的諧振腔：其中一個(gè)諧振腔擁有可移動的外壁，用于感知由引力波引起的振蕩；另一個(gè)諧振腔則根據(jù)記錄的位移信息進(jìn)行相反的位移。按這樣的順序進(jìn)行位置的測量，實(shí)際上也就是測量速度，這個(gè)方案我們稱為晃動式速度計(jì)。在這之后，陸續(xù)有新型的速度計(jì)干涉儀被提出，到目前為止，所有方案大致分為三種類型：晃動式速度計(jì)、薩尼亞克速度計(jì)和EPR 型速度計(jì)。

在薩尼亞克速度計(jì)中，信號的邊帶會與干涉儀相互作用兩次，并與載波光保持同調(diào)[15–17]。而在晃動式速度計(jì)中，用一個(gè)額外的非泵浦腔來記錄干涉儀臂之間兩個(gè)相互作用的信號邊帶，會產(chǎn)生一個(gè)新的晃動頻率參數(shù)，它就如同薩尼亞克干涉儀中的響應(yīng)函數(shù)[18–20]。最后是EPR 型速度計(jì)，它利用兩個(gè)等效的邁克耳孫干涉儀的模，通過分束器將輸出轉(zhuǎn)換成和與差的形式，由此得到速度的信息[21]。下面將具體介紹幾種不同速度計(jì)的基本結(jié)構(gòu)。

3.1 薩尼亞克干涉儀

從拓?fù)鋵W(xué)上來看，邁克耳孫拓?fù)湟灿幸恍┛商娲耐負(fù)?，如薩尼亞克拓?fù)洹?913 年，法國科學(xué)家薩尼亞克發(fā)明了以他名字命名的薩尼亞克干涉儀。它最初的目的是利用差分信號得到由旋轉(zhuǎn)帶來的影響[22]，最經(jīng)典的例子就是用它測量地球的自轉(zhuǎn)，同時(shí)它也能夠被用來測量引力波信號。與邁克耳孫干涉儀的原理相同，光同樣是在分光計(jì)處一分為二，之后再合二為一產(chǎn)生干涉，不同的是，被分成兩束的光中的每一束都會先后通過兩條臂。盡管這兩束光方向相反，經(jīng)過順序也相反，但當(dāng)兩束光匯聚時(shí)，就能得到描述臂長差的時(shí)變信號。

薩尼亞克干涉儀有兩種常見的變體，如圖3 和圖4 所示。其中圖3 是使用了光學(xué)延遲線(delay line, DL)的薩尼亞克干涉儀，圖4 是使用了環(huán)形法布里-珀羅腔的FP(Fabry-Perot)薩尼亞克干涉儀。ITM (input test-mass mirror)是光輸入的測試質(zhì)量鏡，ETM (end testmass mirror)是光截止的測試質(zhì)量鏡。與邁克耳孫干涉儀一樣，這里也使用了功率循環(huán)鏡(power-recycling mirror, PRM)和信號循環(huán)鏡(signal-recycling mirror, SRM)，它們能夠進(jìn)一步提高諧振腔內(nèi)的功率和干涉儀的頻率響應(yīng)[23,24]。

圖3 干涉儀臂上使用了延遲線的薩尼亞克干涉儀原理圖[15]

圖4 使用環(huán)形腔延遲的薩尼亞克干涉儀原理圖[15]

當(dāng)光從激光器中發(fā)出并到達(dá)分束器前，會分成兩束互相垂直的光束，它們以相反的順序分別經(jīng)過干涉儀的兩臂，之后又在分束器處匯合。理想情況下，兩束光的交流部分相互抵消，沒有光進(jìn)入出射口，此時(shí)的探測器應(yīng)該是暗的。而兩束光的直流部分則反射回入射口，至功率循環(huán)鏡處又反射回主光路，繼而提高了腔內(nèi)的功率。我們用τarm表示延遲時(shí)間，即光在兩臂間傳播所用時(shí)間。通過截止端鏡子的時(shí)變位移x(N,E)，我們可以得到R 光束和L光束從入射口經(jīng)過干涉儀的兩個(gè)臂到達(dá)出射口后的相位，表示為：

出射口的輸出與兩束光的相位差成正比，由式(12)和(13)我們可以得到相位差，表示為：

由此看出，薩尼亞克干涉儀對測試質(zhì)量鏡的任何與時(shí)間無關(guān)的位移都不敏感，而輻射壓力噪聲是由于光子沖擊鏡面產(chǎn)生的，它與頻率的平方成反比[10]。所以薩尼亞克干涉儀在一定程度上能很好地減少輻射壓力噪聲，它的耦合系數(shù)Ksagnac表示為[15]：

對DL 型薩尼亞克干涉儀，有：

對FP 型薩尼亞克干涉儀，有：

其中，IC是諧振腔內(nèi)的循環(huán)功率，B是DL 型薩尼亞克干涉儀中光學(xué)延遲距離上的來回次數(shù)，T和R則是FP 型薩尼亞克干涉儀中環(huán)形腔上入射鏡面的透射率和反射率，并且滿足關(guān)系T+R=1。薩尼亞克干涉儀的耦合系數(shù)與邁克耳孫干涉儀的關(guān)系可表示為：

從式(22)可以看出，與具有相同泵功率的邁克耳孫干涉儀相比，薩尼亞克干涉儀具有明顯的響應(yīng)優(yōu)勢。因?yàn)樵谒_尼亞克干涉儀中，每個(gè)離開主分束器的光束都會連續(xù)訪問兩個(gè)諧振腔，這意味著每個(gè)臂的功率是等效邁克耳孫干涉儀的2 倍，從而會產(chǎn)生2 倍的光機(jī)械響應(yīng)。采用同樣的aLIGO 參數(shù)，薩尼亞克干涉儀的量子噪聲功率譜密度由下式給出：

其中，ΦL0是零差角，一般為π/2，量子噪聲靈敏度曲線如圖5 所示[14]。

事實(shí)上，薩尼亞克干涉儀也存在一些小問題，例如Glasgow 大學(xué)通過進(jìn)行薩尼亞克干涉儀的原型設(shè)計(jì)實(shí)驗(yàn)證實(shí)：將兩個(gè)大型的懸掛鏡子放置在同一真空管會使得結(jié)構(gòu)過于復(fù)雜而產(chǎn)生額外的噪聲[25]。

圖5 薩尼亞克干涉儀的量子噪聲[14]

3.2 晃動式(Sloshing)干涉儀

Braginsky 等人[26]所提出的晃動式速度計(jì)，就相當(dāng)于是在邁克耳孫干涉儀的輸出端添加了一個(gè)輔助的“晃動”光學(xué)諧振腔。這使得引力波信號能在兩個(gè)耦合腔之間來回“晃動”，并具有交替的方向和速度。當(dāng)出射光經(jīng)過“晃動”之后第二次通過干涉儀，此時(shí)測得的相位差與平均速度成正比，即進(jìn)行了速度測量?；蝿宇l率ωs由臂長L，晃動腔長L0以及輸入耦合器的透射率T0來決定，有：

目前晃動式干涉儀有兩個(gè)設(shè)計(jì)方案，如圖6 所示，圖6a) 中使用了一個(gè)額外的耦合腔[27]，而圖6b)中則用兩個(gè)正交極化分離光束并以主干涉儀作為“晃動”腔[19]。

考慮一種理想情況，在沒有損耗且共振調(diào)諧的條件下，我們給出晃動式干涉儀輸入-輸出的關(guān)系：

其中，KSSM是晃動式速度計(jì)的光機(jī)械耦合系數(shù)，一般可寫為：

式中，βMI和αSC分別是頻率在?處的邊帶經(jīng)過主邁克耳孫干涉儀和晃動腔時(shí)產(chǎn)生的相位移動，由相同的參數(shù)，我們可以寫出它的量子噪聲功率譜密度：

圖6 晃動式干涉儀的兩個(gè)設(shè)計(jì)方案[19,26,27]

我們將它與邁克耳孫干涉儀的噪聲功率譜密度進(jìn)行對比，結(jié)果如圖7 所示[14]。

圖7 晃動式速度計(jì)的量子噪聲[14]

3.3 EPR 型速度計(jì)

2017 年，Knyazev 等人[21]提出了實(shí)現(xiàn)引力波激光干涉儀速度測量的第三種方案。它使用了兩個(gè)等效的邁克耳孫干涉儀的模，如圖8 所示。圖8a)是EPR速度計(jì)的結(jié)構(gòu)圖，它有兩個(gè)剛性連接的測試質(zhì)量鏡xn和xc，意味著它們使用了同一個(gè)截止測試質(zhì)量鏡。兩個(gè)干涉儀的差分運(yùn)動會因?yàn)楦髯詭挼牟煌霈F(xiàn)不同的速率，因此將兩個(gè)干涉儀的讀出光匯合在分束器上并讀出“―”通道上的結(jié)果，得到的即是兩個(gè)位置信號在不同時(shí)間的差值，這實(shí)際上就是速度測量。

圖8 EPR 速度計(jì)的結(jié)構(gòu)原理圖[21]

很顯然，圖8a)的設(shè)計(jì)在現(xiàn)實(shí)中是極難實(shí)現(xiàn)的，Knyazev[21]又提出了一種基于正交偏振模式的光，如圖8b)所示。這里的關(guān)鍵因素是一個(gè)1/4 波片(quarter-wave plate, QWP)，它放置在主干涉儀和信號循環(huán)鏡之間，充當(dāng)了主干涉儀的兩個(gè)正交偏振模式之間的π/2 相位延遲器。我們可以將主干涉儀、信號循環(huán)鏡以及中間的1/4 波片一起視作一個(gè)信號循環(huán)腔(signal ring coelom, SRC)。在這個(gè)信號循環(huán)腔中，它會對其中一種偏振模式進(jìn)行調(diào)諧，并與其共振，而由于1/4 波片產(chǎn)生了π/2 的相移，另一個(gè)正交的偏振光會將信號循環(huán)腔視為反共振。根據(jù)定標(biāo)關(guān)系的結(jié)果[28]，與信號循環(huán)腔共振的偏振模式在干涉儀中具有非常窄的有效帶寬，而對于另一個(gè)正交的偏振光，有效帶寬則大大增加[29]。通過選擇載波光偏振面和垂直方向的角度來得到兩個(gè)干涉儀中循環(huán)功率的最佳組合。

考慮到兩個(gè)邁克耳孫干涉儀的帶寬不同，分別計(jì)算每個(gè)干涉儀后并假設(shè)它們的測試質(zhì)量鏡有一個(gè)共同的反向作用，得到EPR 型速度計(jì)的輸出-輸入關(guān)系：

其中，K1,K2及β1,β2分別是2 個(gè)邁克耳孫干涉儀的光機(jī)械耦合因子和邊帶的相移。因?yàn)樵谳敵龆擞小?”與“―”兩個(gè)通道，所以我們會得到2 個(gè)通道的耦合因子K+和K?，以及它們的功率譜密度，分別表示為：

采用同樣的參數(shù)進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如圖9 所示[14]。

圖9 EPR型速度計(jì)的量子噪聲[14]

4 總結(jié)與展望

與基于位置測量的邁克耳孫干涉儀相比，速度計(jì)干涉儀是目前最精確和最便于研究的替代方案。它的主要優(yōu)點(diǎn)是極大地減少了激光反作用帶來的噪聲，即輻射壓力噪聲。如果僅考慮量子噪聲，那么它與同等參數(shù)的邁克耳孫干涉儀相比，輻射壓力噪聲最多可以下降2 個(gè)數(shù)量級[17]。盡管在低頻下輻射壓力噪聲也存在著響應(yīng)消除的問題，但是反作用的減少仍然更大，因此信噪比會增加。

本文主要介紹了速度計(jì)的三個(gè)主要方案，并將它們與邁克耳孫干涉儀在性能上進(jìn)行了比較。到目前為止，所有的研究都表明，即使在有損耗和缺陷的情況下，速度計(jì)的性能仍然優(yōu)于傳統(tǒng)的邁克耳孫干涉儀[30,31]。然而，在做出任何的最終結(jié)論之前，仍需要對所有速度計(jì)方案中的損失和缺陷進(jìn)行徹底和系統(tǒng)的研究，以及進(jìn)行實(shí)驗(yàn)原型的設(shè)計(jì)與測試。

一個(gè)未來可以研究的方向是帶有額外的內(nèi)部或者外部濾波器的速度計(jì)，由于光機(jī)械耦合強(qiáng)度在低頻時(shí)近似恒定，這意味著所產(chǎn)生的壓縮光在這些頻率下與頻率無關(guān)。通過解諧，可以使功率波動的帶寬增強(qiáng)，或者說是測試質(zhì)量的機(jī)械響應(yīng)的帶寬增強(qiáng)。