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    鋼桁架結(jié)構(gòu)穩(wěn)定性與兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計研究

    2020-01-17 01:39:12楊綠峰宋沙沙劉嘉達(dá)仁
    工程力學(xué) 2020年1期
    關(guān)鍵詞:桁架設(shè)計方案層面

    楊綠峰,宋沙沙,劉嘉達(dá)仁

    (1.廣西大學(xué)土木建筑工程學(xué)院,廣西,南寧 530004;2.廣西大學(xué)工程防災(zāi)與結(jié)構(gòu)安全教育部重點實驗室,廣西,南寧 530004;3.阿爾伯塔大學(xué)土木與環(huán)境工程學(xué)院,埃德頓,T6G 1H9,加拿大)

    桁架具有拆裝運(yùn)輸方便、能充分利用材料強(qiáng)度等優(yōu)點,且該類結(jié)構(gòu)僅考慮軸力作用,因而相對框架等結(jié)構(gòu)而言,優(yōu)化的設(shè)計變量和狀態(tài)變量相對較少,相關(guān)的結(jié)構(gòu)分析較容易實施,因而新提出的結(jié)構(gòu)優(yōu)化方法通常選擇理想桁架結(jié)構(gòu)模型作為驗證方法適用性的結(jié)構(gòu)載體,使得桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化成為結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的基本問題。

    桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法主要有優(yōu)化準(zhǔn)則法[1]和數(shù)學(xué)規(guī)劃法[2]。優(yōu)化準(zhǔn)則法基于工程經(jīng)驗、力學(xué)概念和數(shù)學(xué)原理設(shè)定一組準(zhǔn)則,據(jù)此建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的迭代公式,簡單實用。而且,由于準(zhǔn)則法中設(shè)計變量的數(shù)量與優(yōu)化迭代次數(shù)的關(guān)系不大,較數(shù)學(xué)規(guī)劃法具有更高的計算效率[1],因而得到廣泛的應(yīng)用。當(dāng)前常用的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法[3-5]大多采用結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下根據(jù)彈性理論求得的內(nèi)力分布狀態(tài)確定各構(gòu)件的強(qiáng)度需求,并據(jù)此開展優(yōu)化設(shè)計。此類方法能夠有效滿足構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求,是當(dāng)前結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計的主流方法。但由于未考慮結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進(jìn)入彈塑性狀態(tài)乃至塑性極限狀態(tài)(形成體系失效模式)時內(nèi)力重分布的影響,因而不能滿足結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求。為研究結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下的體系強(qiáng)度,文獻(xiàn)[6-8]開展了抗震結(jié)構(gòu)失效模式的識別和優(yōu)化研究。進(jìn)一步地,結(jié)構(gòu)塑性設(shè)計理論[9-10]以及在此基礎(chǔ)上發(fā)展起來的直接設(shè)計法(也稱為高等分析法)[11-12]按照結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性極限狀態(tài)(形成體系失效模式)時的內(nèi)力分布狀態(tài)確定結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求,由此建立的設(shè)計方案能夠阻止體系失效模式的形成,滿足結(jié)構(gòu)體系層面的強(qiáng)度需求。在塑性設(shè)計基礎(chǔ)上文獻(xiàn)[9]嘗試開展桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的優(yōu)化設(shè)計。目前,直接設(shè)計法(或稱為高等分析法)也陸續(xù)引入歐美國家以及我國最新的鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范[13-14]中。然而,基于塑性設(shè)計和直接設(shè)計法理論發(fā)展而來的結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計方法不能阻止部分高承載構(gòu)件中出現(xiàn)塑性鉸[15-16],因而難以保證滿足構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求。

    合理的結(jié)構(gòu)設(shè)計方案既要滿足設(shè)計荷載下構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求,也要滿足罕遇荷載下體系層面的強(qiáng)度需求[17]。Wang等[18]基于常規(guī)塑性鉸法確定桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求,并利用遺傳算法搜索確定能夠同時滿足構(gòu)件和體系強(qiáng)度需求的優(yōu)化設(shè)計方案,計算格式復(fù)雜且耗時,究其原因在于該方法不能給出結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度與構(gòu)件強(qiáng)度之間的顯式關(guān)系,因而難以通過正常的構(gòu)件設(shè)計滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度要求。為此,文獻(xiàn)[19-20]采用彈性模量縮減法(elastic modulus reduction method,簡記為EMRM)分析工程結(jié)構(gòu)體系層面的承載力,據(jù)此確定結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩層面強(qiáng)度需求之間的顯性關(guān)系式。在此基礎(chǔ)上,文獻(xiàn)[21-22]研究建立了結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計的均勻承載準(zhǔn)則法,由此建立的結(jié)構(gòu)設(shè)計和優(yōu)化方案能夠同時滿足結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求,從而解決了傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計理論的難題。但是該方法依據(jù)基準(zhǔn)承載比[19-20]確定構(gòu)件強(qiáng)度的調(diào)整量,導(dǎo)致低承載構(gòu)件和部分高承載構(gòu)件的強(qiáng)度富余量較大,優(yōu)化效果得不到保障,而且文獻(xiàn)[21-22]沒有考慮穩(wěn)定性對桿件強(qiáng)度的影響,導(dǎo)致優(yōu)化設(shè)計方案不滿足安全性要求。

    鑒于此,本文考慮細(xì)長桿穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度的影響,研究建立鋼桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法。首先在單元承載比中引入軸壓桿穩(wěn)定性影響,然后利用EMRM的迭代首步和末步的單元承載比建立了桁架在構(gòu)件強(qiáng)度與體系強(qiáng)度之間的顯性關(guān)系式,并按照兩層面強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值調(diào)整各構(gòu)件強(qiáng)度,據(jù)此建立桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法。

    1 桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度需求

    單元承載比(EBR)是EMRM的控制參數(shù),用于綜合評估單元在荷載作用下接近于全截面塑性屈服狀態(tài)的程度,取值區(qū)間為[0,1],用表示,其中k表示迭代步,e表示單元編號。對于桁架結(jié)構(gòu),由于各桿件僅受軸力Ne作用,可據(jù)此定義:

    式中,表示單元e全截面塑性抗拉/壓強(qiáng)度,當(dāng)忽略材料受拉、受壓屈服強(qiáng)度σs的區(qū)別時,有:

    式中,A為桿件橫截面面積。中長桿受壓時,需要考慮穩(wěn)定性對抗壓強(qiáng)度的影響:

    式中,φ為軸心受壓構(gòu)件的穩(wěn)定系數(shù),由《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50017―2017)[14]附錄G確定,且與構(gòu)件長細(xì)比(或換算長細(xì)比)等因素密切相關(guān),其中的長細(xì)比取決于軸壓桿的計算長度,且需要考慮平面內(nèi)和平面外兩種不同的受力狀態(tài),具體按《鋼結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范》(GB 50017―2017)表5.3.1確定。

    單元承載比隨著迭代的進(jìn)展而在結(jié)構(gòu)空間的分布越來越均勻。為便于描述在結(jié)構(gòu)空間分布的狀態(tài),定義承載比均勻度dk:

    式中:下標(biāo)k表示EMRM迭代步;分別表示結(jié)構(gòu)中單元承載比的平均值、最大值和最小值。據(jù)此,可進(jìn)一步定義基準(zhǔn)承載比:

    根據(jù)可以建立判別高承載單元的動態(tài)準(zhǔn)則:滿足的單元,屬于高承載單元,否則稱為低承載單元。

    通過縮減高承載單元的彈性模量可以模擬加載過程中結(jié)構(gòu)的剛度損傷和衰減:

    由式(1)可見,結(jié)構(gòu)加載中單元承載比隨著外荷載呈比例增大,當(dāng)增大到1時,所在單元達(dá)到全截面塑性屈服,此時對應(yīng)的外荷載為第k迭代步的極限荷載

    式中,P0為外荷載初始值,在兩層面強(qiáng)度設(shè)計中取荷載設(shè)計值。

    重復(fù)以上迭代計算,直至第M迭代步的計算結(jié)果滿足收斂條件:

    式中,ε表示容許誤差,取值范圍為10-5~10-2。

    第M步是迭代末步,根據(jù)該步的計算結(jié)果可以得到結(jié)構(gòu)極限強(qiáng)度PLim:

    式中,PLim是塑性極限荷載的下限,對應(yīng)于結(jié)構(gòu)體系能夠承受的罕遇荷載。大型工程結(jié)構(gòu)的極限承載力難以精確計算,通??衫盟苄詷O限荷載的下限近似表達(dá)。結(jié)構(gòu)極限承載力也稱為結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度。

    上述計算結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的方法稱為彈性模量縮減法[19-20],簡記為EMRM。文獻(xiàn)[19-20]研究表明,EMRM通過線彈性迭代分析確定結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度,與常見的彈塑性方法相比能夠取得更高的計算效率。

    EMRM首步迭代(k=1)分析得到的單元承載比對應(yīng)于桁架結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下的彈性內(nèi)力Ne,據(jù)此可確定桁架在構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求同時EMRM迭代末步(k=M)得到的單元承載比對應(yīng)于桁架結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進(jìn)入塑性極限狀態(tài)時的內(nèi)力,利用此時的最大單元承載比可以確定桁架在體系層面的強(qiáng)度需求PLim。

    2 桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度設(shè)計

    結(jié)構(gòu)設(shè)計方案既要保證結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下處于彈性狀態(tài),避免結(jié)構(gòu)在重復(fù)荷載下發(fā)生塑性積累;而且為了節(jié)省材料、控制造價,應(yīng)允許結(jié)構(gòu)在預(yù)定的罕遇荷載作用下進(jìn)入彈塑性狀態(tài),甚至逼近塑性極限狀態(tài),但不能發(fā)生倒塌破壞,從而保證結(jié)構(gòu)的安全性。這兩個“保證”可以通過兩層面強(qiáng)度設(shè)計來實現(xiàn):首先通過結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下的彈性分析確定構(gòu)件層面的強(qiáng)度需求,然后通過罕遇荷載下的塑性極限分析確定結(jié)構(gòu)在體系層面的強(qiáng)度需求,據(jù)此開展結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度設(shè)計。由于EMRM迭代分析的首步和末步分別對應(yīng)結(jié)構(gòu)彈性分析和塑性極限分析狀態(tài)[19-20],因而,這里選擇EMRM作為兩層面設(shè)計的工具。

    2.1 構(gòu)件層面的強(qiáng)度設(shè)計

    由于桁架結(jié)構(gòu)模型中同一構(gòu)件c的軸力通常不發(fā)生變化,因此桁架結(jié)構(gòu)分析的有限元模型中每個等截面構(gòu)件通常為一個單元e,此時的單元承載比等同于構(gòu)件承載比。特殊地,當(dāng)同一構(gòu)件上需要劃分為多個單元時,取其中最大的作為該構(gòu)件的,即有:其中,Nc表示構(gòu)件c上離散單元的數(shù)量。

    桁架結(jié)構(gòu)開展EMRM迭代首步時,各單元的彈性模量都取其初始值,由此可確定結(jié)構(gòu)在設(shè)計荷載下的線彈性內(nèi)力,進(jìn)而利用式(1)確定EMRM首步迭代中各構(gòu)件的,并據(jù)此確定設(shè)計荷載下各構(gòu)件的強(qiáng)度系數(shù):

    構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)不同于傳統(tǒng)的安全系數(shù),在計算中已經(jīng)考慮了荷載系數(shù)、材料系數(shù)以及結(jié)構(gòu)重要性系數(shù)等三個分項系數(shù)的取值,因而的目標(biāo)值通常取[K0]=1.0。當(dāng)≥[K0]時,表明構(gòu)件c的原有強(qiáng)度能夠滿足需求,處于安全狀態(tài)。反之,當(dāng)<[K0]時,表明該構(gòu)件的強(qiáng)度儲備不足,存在失效風(fēng)險,需按照下式調(diào)整該構(gòu)件的截面強(qiáng)度:

    2.2 體系層面的強(qiáng)度設(shè)計

    罕遇荷載是指能夠使結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性極限狀態(tài),甚至發(fā)生坍塌破壞的罕遇工況下的極限荷載,在美國荷載設(shè)計規(guī)范ASCE/SEI 7-10[23]中稱為罕遇工況下的荷載組合(load combinations for extraordinary events)。EMRM迭代末步結(jié)構(gòu)在罕遇荷載下進(jìn)入塑性極限狀態(tài)。根據(jù)該迭代步的構(gòu)件承載比可以確定各構(gòu)件在迭代末步的強(qiáng)度系數(shù):

    進(jìn)一步地,根據(jù)式(1)和式(8),利用EMRM迭代末步的最大構(gòu)件承載比確定桁架的體系強(qiáng)度需求:

    式(13)給出了體系強(qiáng)度PLim與構(gòu)件強(qiáng)度之間的定量關(guān)系,在此基礎(chǔ)上可建立結(jié)構(gòu)優(yōu)化調(diào)整方法,為此需根據(jù)定義結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)Ks:

    結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)Ks反映了結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的富余狀況。通常在結(jié)構(gòu)設(shè)計之初可根據(jù)預(yù)定的荷載設(shè)計水平P0和罕遇水平PL確定體系強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值[Ks]:

    當(dāng)前的結(jié)構(gòu)設(shè)計規(guī)范通常沒有給出荷載罕遇水平PL,因而在設(shè)計之初難以預(yù)先確定[Ks]。為此,可根據(jù)目前國內(nèi)外對既有工程結(jié)構(gòu)極限承載力PLim的研究結(jié)果[12,24-25]并結(jié)合式(15)確定結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值的取值。Zhang等[24]通過對9個鋼框架結(jié)構(gòu)進(jìn)行承載力試驗,得到不同可靠度水平下的結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)取值。Albermani等[25]在對大型鋼輸電塔架進(jìn)行承載力試驗的基礎(chǔ)上指出,新建輸電塔結(jié)構(gòu)的體系強(qiáng)度系數(shù)處于1.10~1.78之間。本文取[Ks]=1.4。

    當(dāng)?shù)┎礁鳂?gòu)件的強(qiáng)度系數(shù)大于體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值[Ks]時,有Ks≥[Ks],表明結(jié)構(gòu)滿足體系強(qiáng)度需求,在遭遇罕遇荷載時能夠避免坍塌破壞。反之若任一構(gòu)件在迭代末步的強(qiáng)度系數(shù)則有Ks<[Ks],表明桁架結(jié)構(gòu)不能滿足體系強(qiáng)度需求,難以抵御罕遇荷載的襲擊。另一方面,為了減少耗材,節(jié)省工程造價,各構(gòu)件的強(qiáng)度系數(shù)也不能太大,應(yīng)盡可能接近[Ks]。因此,可按下式調(diào)整構(gòu)件截面強(qiáng)度:

    式中:αs為體系強(qiáng)度系數(shù)比;η為加速因子,大于1時可加快優(yōu)化迭代的收斂速度,本文取η=1.001。

    在桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度設(shè)計中,每次調(diào)整構(gòu)件c截面強(qiáng)度之后,要根據(jù)調(diào)整后的強(qiáng)度確定其截面面積Ac:

    式中:σs表示構(gòu)件c的材料設(shè)計強(qiáng)度;Ac表示構(gòu)件c的截面面積。

    進(jìn)一步地,根據(jù)Ac更新構(gòu)件的截面幾何尺寸。本文算例均采用圓管構(gòu)件,圓管截面外徑R1的調(diào)整公式為:

    其中,ζ為圓管截面內(nèi)外徑之比,可根據(jù)構(gòu)造要求確定[26]。

    2.3 結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度優(yōu)化設(shè)計

    罕遇荷載作用下桁架結(jié)構(gòu)一旦形成失效模式,將不能繼續(xù)承載。如果此時仍有較多桿件的單元承載比較低,將造成過多的材料浪費(fèi)。為此,需要開展結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計,力圖使每根構(gòu)件都能充分發(fā)揮其承載能力,理想狀態(tài)是桁架結(jié)構(gòu)進(jìn)入塑性極限狀態(tài)時,全部構(gòu)件都同時進(jìn)入失效臨界狀態(tài),即全部構(gòu)件的相等,此時承載比均勻度dM達(dá)到最大值。因此,兩層面優(yōu)化設(shè)計的迭代過程應(yīng)滿足收斂條件:

    式中:和分別為當(dāng)前(即第i次)和上一次(即第i-1次)兩層面優(yōu)化設(shè)計循環(huán)計算中EMRM迭代末步的構(gòu)件承載比均勻度;εd為收斂容差,取值范圍為0.001~0.05。

    需要注意的是,最終的優(yōu)化方案需根據(jù)模數(shù)要求確定各構(gòu)件的截面幾何尺寸。

    經(jīng)過上述優(yōu)化循環(huán)分析,不僅能夠充分發(fā)揮各構(gòu)件的承載能力,節(jié)省材料,而且能夠滿足桁架在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求,從而得到承載性能和經(jīng)濟(jì)性能均優(yōu)的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方案,稱之為桁架結(jié)構(gòu)兩層面優(yōu)化設(shè)計的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法,其流程如圖1所示。

    3 算例分析

    本節(jié)結(jié)合3個桁架算例,對本文建立的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法、原均勻承載準(zhǔn)則法、滿應(yīng)力準(zhǔn)則法等優(yōu)化設(shè)計方法進(jìn)行對比分析,其中:算例1是承受集中荷載作用的10桿平面桁架,文獻(xiàn)[27]利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法建立了該桁架的優(yōu)化方案;算例2為承受分布荷載作用的平面桁架橋;算例3為空間桁架結(jié)構(gòu)。這里采用ANSYS有限元軟件進(jìn)行建模和計算分析,其中平面桁架結(jié)構(gòu)采用平面2節(jié)點桿單元Link1單元建模,空間桁架結(jié)構(gòu)采用空間2節(jié)點桿單元Link8單元建模。使用的PC機(jī)基本配置為:Intel (R) Pentium (R) G630 2.70GHz, 4G內(nèi)存。

    圖1 改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法流程圖Fig.1 Flow chart for improved uniform bearing criterion

    3.1 算例1∶10桿平面桁架

    由10根桿件組成的平面桁架結(jié)構(gòu)承受2個大小相等的集中荷載F=444.8 kN,如圖2所示。材料容許應(yīng)力[σ]=170MPa ,彈性模量為200 GPa。構(gòu)件均采用圓管型截面形式,桁架的計算模型及桿件編號如圖2所示。初始設(shè)計方案中,弦桿和直腹桿(編號為1~6)的截面外徑為20 cm,斜腹桿(編號為7~10)的截面外徑為10 cm,各桿內(nèi)外徑之比均為0.9。文獻(xiàn)[27]利用數(shù)學(xué)規(guī)劃法確定了該桁架的優(yōu)化設(shè)計方案。這兩個設(shè)計方案中各構(gòu)件的截面積Ac分別見表1。這里分別取構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)和體系強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為1 cm2。

    圖2 十桿桁架Fig.2 Ten-bar truss

    3.1.1 不考慮穩(wěn)定性影響

    考慮到文獻(xiàn)[27]中的數(shù)學(xué)規(guī)劃法沒有考慮壓桿穩(wěn)定性影響,本節(jié)采用式(2a)定義單元承載比,然后分別利用原均勻承載法[21-22]和本文改進(jìn)均勻承載法建立十桿桁架兩層面優(yōu)化設(shè)計方案,求得各桿的截面面積Ac、構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、及桁架體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果分別見表1中“原均勻承載法”和“本文改進(jìn)方法”下面的數(shù)據(jù)。為了便于對比分析各設(shè)計方案,這里利用EMRM計算初始設(shè)計方案和數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化設(shè)計方案迭代首步和末步的單元承載比,并代入式(9)和式(14)求得這兩個方案的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、和體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果如表1所示。從表1可以看出,在不考慮壓桿穩(wěn)定影響時,桁架初始設(shè)計方案、原均勻承載法和本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案中,構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)和體系強(qiáng)度系數(shù)分別滿足表明這三個設(shè)計方案均能夠滿足桁架在構(gòu)件層面和體系層面的強(qiáng)度需求,符合安全性要求。但是數(shù)學(xué)規(guī)劃法的優(yōu)化設(shè)計方案盡管迭代首步的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)滿足但體系強(qiáng)度系數(shù)Ks<[Ks](其原因在于構(gòu)件1、3、4、7~10在迭代末步的強(qiáng)度系數(shù)由此可見,傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)規(guī)劃法優(yōu)化設(shè)計方案能夠滿足構(gòu)件層面強(qiáng)度需求,但不能保證體系層面強(qiáng)度也滿足要求。

    同時,從表1的初始設(shè)計方案中可以看出大多數(shù)構(gòu)件的強(qiáng)度系數(shù)遠(yuǎn)大于其目標(biāo)值[Ks],導(dǎo)致材料浪費(fèi)。原均勻承載法方案降低了大部分桿件的截面積Ac,從而節(jié)省了材料,耗材量從原方案的1.62 m3減少到0.5 m3。而本文改進(jìn)方法進(jìn)一步將十桿桁架結(jié)構(gòu)用材量減少到0.40m3,與原均勻承載法相比不僅減少了20%的耗材,而且計算用時降低了86%。表明本文提出的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法在優(yōu)化效果和計算效率方面都優(yōu)越于原均勻承載準(zhǔn)則法。并且,本文改進(jìn)方法的優(yōu)化方案中各構(gòu)件在迭代末步具有相同的強(qiáng)度系數(shù),且都等于[Ks],滿足均勻承載的目標(biāo),從而能夠最大限度節(jié)省耗材。

    3.1.2 壓桿穩(wěn)定性影響

    為了反映穩(wěn)定性對結(jié)構(gòu)設(shè)計方案的影響,這里利用式(2b)代替式(2a)計算單元承載比,在此基礎(chǔ)上利用本文改進(jìn)均勻承載法研究建立該十桿桁架的系數(shù)、及桁架體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果見表2。為了便于對比分析,這里利用基于式(2b)的兩個層面的強(qiáng)度需求,其原因在于這三個設(shè)計方案都沒有考慮穩(wěn)定性影響。由此可知,穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度都有顯著影響,不考慮穩(wěn)定性將高估桁架的承載力,導(dǎo)致設(shè)計方案存在安全性不足的問題。

    表1 優(yōu)化設(shè)計方案對比Table 1 Results from four design and optimization methods

    表2 考慮穩(wěn)定性的優(yōu)化設(shè)計方案對比Table 2 Comparison of different optimal design based on stability

    同時從表2可見,本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案中所有構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、和體系強(qiáng)度系數(shù)Ks都不小于各自的目標(biāo)值[K0]和[Ks],使桁架兩層面滿足強(qiáng)度的需求,從而克服了初始設(shè)計方案、數(shù)學(xué)規(guī)劃法和原均勻承載法優(yōu)化設(shè)計方案的缺陷。

    3.1.3 優(yōu)化設(shè)計方案的校核

    進(jìn)一步地,利用彈塑性增量分析法(EPIA) 檢驗數(shù)學(xué)規(guī)劃法、原均勻承載準(zhǔn)則法以及本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案能否滿足桁架結(jié)構(gòu)的體系強(qiáng)度需求。此時,計算模型中壓桿的容許應(yīng)力仍需利用式(2b)中的穩(wěn)定系數(shù)φ進(jìn)行折減[28]。首先利用EPIA求得上述三種優(yōu)化設(shè)計方法分別確定的桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方案的極限承載力,然后將代替式(14)中的PLim可以求得上述三種優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果見表3。從表3可以看出,數(shù)學(xué)規(guī)劃法和原均勻承載準(zhǔn)則法由于沒有考慮穩(wěn)定性的影響,因此,所得優(yōu)化設(shè)計方案的結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度系數(shù)均小于目標(biāo)值[Ks]=1.40,無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度需求,相比之下本文改進(jìn)方法在考慮穩(wěn)定性影響時所得優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)等于目標(biāo)值1.40,且其迭代末步的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)均接近于1.40,表明本文提出的設(shè)計方法不僅滿足了體系強(qiáng)度需求,而且不浪費(fèi)材料,與3.1.2節(jié)得出結(jié)論基本一致。綜上所述,通過與EPIA進(jìn)行對比,再次驗證了本文改進(jìn)方法的合理性。

    表3 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 3 Plastic ultimate load and system safety factor

    3.2 算例2:平面桁架結(jié)構(gòu)

    圖4所示為一平面桁架,荷載施加于桁架上弦的6個節(jié)點上,兩端的節(jié)點荷載為450 kN,其余節(jié)點荷載為900 kN。構(gòu)件材料為Q235,其容許應(yīng)力[σ]=215MPa ,彈性模量為200 GPa,構(gòu)件均采用圓管型截面。初始設(shè)計方案已考慮了穩(wěn)定性影響,所有桿件的截面外徑均為30 cm,各桿內(nèi)外徑之比均為0.8,各桿截面Ac見表4。這里分別取構(gòu)件和體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為56 cm2。

    圖4 平面桁架Fig.4 Plane truss

    3.2.1 優(yōu)化設(shè)計方案及其比較

    根據(jù)算例1可知,穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計有顯著影響,為此采用式(2b)定義單元承載比,在此基礎(chǔ)上利用原均勻承載準(zhǔn)則法和本文改進(jìn)方法分別建立該桁架的優(yōu)化設(shè)計方案,確定各構(gòu)件的截面積Ac、構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)和及體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果見表4。為便于對比分析,表中還列出了滿應(yīng)力準(zhǔn)則法建立的設(shè)計方案,確定各構(gòu)件的截面積Ac。對于滿應(yīng)力準(zhǔn)則法而言,當(dāng)考慮壓桿穩(wěn)定性影響時,需要根據(jù)式(2b)中的穩(wěn)定系數(shù)φ折減容許應(yīng)力[σ],即用φ[σ]代替[σ]作為容許應(yīng)力[28]。進(jìn)一步地,利用EMRM迭代首步和末步的單元承載比求得初始設(shè)計方案和滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案的構(gòu)件強(qiáng)度系數(shù)、及體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果見表4。從表4可以看出,結(jié)構(gòu)初始設(shè)計方案滿足≥[K0]和Ks≥[Ks],表明該方案滿足結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度需求。但是,該方案中大多數(shù)構(gòu)件的均遠(yuǎn)大于目標(biāo)值[Ks],說明初始設(shè)計方案的體系強(qiáng)度富裕量較大,有必要優(yōu)化。同時可見,表4中滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案各構(gòu)件的截面積Ac明顯減少,大幅降低了桁架的耗材量。但是,該優(yōu)化設(shè)計方案中Ks<[Ks],表明其不滿足桁架體系層面強(qiáng)度需求。

    進(jìn)一步地從表4可見,原均勻承載法和本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案均滿足和表明這兩個優(yōu)化設(shè)計方案均能滿足桁架兩層面的強(qiáng)度需求,從而克服了初始方案和滿應(yīng)力法優(yōu)化方案不能滿足體系層面強(qiáng)度需求的缺陷。同時由表4可知,原均勻承載法設(shè)計方案耗材量為15.12 m3,相對初始設(shè)計方案耗材量減少38.36%;而本文改進(jìn)方法設(shè)計方案的耗材量僅為7.54 m3,相比原均勻承載法設(shè)計方案進(jìn)一步降低耗材50.13%,而且計算耗時間也明顯減少,證明本文改進(jìn)方法相比原均勻承載法在優(yōu)化效果和效率方面的優(yōu)越性。

    由上述分析結(jié)果可以看出,滿應(yīng)力法優(yōu)化方案不能保證桁架在體系層面的強(qiáng)度需求,因此不滿足結(jié)構(gòu)安全性要求,其原因在于該優(yōu)化方法沒有考慮結(jié)構(gòu)加載過程中應(yīng)力再分布的影響;原均勻承載法盡管能夠保證桁架兩層面強(qiáng)度需求,克服滿應(yīng)力法的缺陷,但是由于該方法采用EMRM迭代末步的基準(zhǔn)承載比作為低承載構(gòu)件截面強(qiáng)度的調(diào)整目標(biāo),導(dǎo)致低承載構(gòu)件強(qiáng)度富余量大,部分高承載構(gòu)件強(qiáng)度有富余,但得不到調(diào)整,從而造成其優(yōu)化設(shè)計方案仍具有較大的強(qiáng)度富裕量;本文建立的改進(jìn)均勻承載法采用[Ks]作為構(gòu)件截面強(qiáng)度的調(diào)整目標(biāo),不僅能夠滿足桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求,而且各構(gòu)件的基本接近體系強(qiáng)度系數(shù)的目標(biāo)值1.40,能夠充分發(fā)揮各構(gòu)件的材料強(qiáng)度,從而得到更經(jīng)濟(jì)的優(yōu)化設(shè)計方案。

    表4 考慮穩(wěn)定性的不同優(yōu)化方案對比Table 4 Comparison different optimal design based on stability

    3.2.2 優(yōu)化設(shè)計方案的校核

    進(jìn)一步地,利用EPIA檢驗滿應(yīng)力法、原均勻承載準(zhǔn)則法以及本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案能否滿足桁架結(jié)構(gòu)的體系強(qiáng)度需求。首先利用EPIA求得上述三種優(yōu)化設(shè)計方案的極限承載力,然后利用代替式(14)中的PLim求得上述三種方案的體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果見表5。從表5可以看出:滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)小于目標(biāo)值1.40,無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度要求;原均勻承載準(zhǔn)則法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)遠(yuǎn)大于目標(biāo)值1.40,表明此時設(shè)計方案富裕量過大;相比之下本文改進(jìn)方法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)與其目標(biāo)值大體相等,不僅滿足了桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的需求,而且基本沒有浪費(fèi)材料,具有較好的經(jīng)濟(jì)性,再次驗證了本文改進(jìn)方法的合理性。

    表5 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 5 Plastic ultimate load and system safety factor

    3.3 算例3:空間桁架結(jié)構(gòu)

    圖5所示承受分布荷載P的空間桁架,荷載均勻作用于桁架上弦的6個節(jié)點上,且P=1500 kN。構(gòu)件材料為Q235,容許應(yīng)力為215 MPa,彈性模量為200 GPa。為便于清楚表示各構(gòu)件及節(jié)點編號,將該結(jié)構(gòu)展開為如圖6所示。

    圖5 空間桁架Fig.5 Space truss

    圖6 構(gòu)件編號Fig.6 The serial number of components

    構(gòu)件均采用圓管型截面,初始設(shè)計方案已經(jīng)考慮穩(wěn)定性影響,上弦桿和交叉系桿(編號為1~8、13~32和51~54)的截面外徑為10 cm,下弦桿和豎桿(編號為9~12和33~50)的截面外徑為20 cm,各桿內(nèi)外徑之比均為0.9。該方案中各桿的截面積Ac見表6。這里分別取構(gòu)件和體系強(qiáng)度系數(shù)目標(biāo)值[K0]=1.0、[Ks]=1.4。同時構(gòu)件橫截面積最小限值為12 cm2。

    3.3.1 優(yōu)化設(shè)計方案及其對比

    首先利用式(2b)計算單元承載比,在此基礎(chǔ)上通過原均勻承載法和本文改進(jìn)方法建立該空間桁架結(jié)構(gòu)的優(yōu)化設(shè)計方案,確定各構(gòu)件的Ac、、及桁架的Ks,結(jié)果見表6。表6還列出了滿應(yīng)力準(zhǔn)則法建立的該桁架優(yōu)化設(shè)計方案的Ac,并利用EMRM迭代首步和末步的單元承載比求得初始設(shè)計方案和滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案中各構(gòu)件的、及桁架的Ks。從表6可以看出,該空間桁架結(jié)構(gòu)初始設(shè)計方案滿足表明該方案滿足桁架兩層面強(qiáng)度需求。但是,初始設(shè)計方案中大多數(shù)構(gòu)件的遠(yuǎn)大于其目標(biāo)值[Ks],說明該方案的強(qiáng)度富裕量較大,需要進(jìn)行優(yōu)化。進(jìn)一步地,由表6滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案中各構(gòu)件的截面積Ac可以看出,該優(yōu)化方案能夠大大減少桁架的耗材量,滿應(yīng)力法不能滿足體系層面強(qiáng)度需求的缺陷。同時由表6可知,原均勻承載法設(shè)計方案耗材量為1.96 m3,相對初始設(shè)計方案耗材量減少25.76%;而本文改進(jìn)方法設(shè)計方案的耗材量僅為1.31 m3,相比原均勻承載法設(shè)計方案進(jìn)一步降低耗材33.16%,計算時間也有所減少,再次證明了本文改進(jìn)方法在空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計效果和計算效率方面具有顯著優(yōu)越性。

    表6 考慮穩(wěn)定性的不同優(yōu)化設(shè)計方案法對比Table 6 Comparison different optimal design based on stability

    3.3.2 優(yōu)化設(shè)計方案的校核

    這里利用EPIA檢驗滿應(yīng)力法、原均勻承載準(zhǔn)則法以及本文改進(jìn)方法的優(yōu)化設(shè)計方案的合理性。首先利用EPIA計算各優(yōu)化設(shè)計方案的極限承載力,然后利用代替式(14)中的PLim可得上述三種優(yōu)化方案的體系強(qiáng)度系數(shù)Ks,結(jié)果見表7。從表7結(jié)果可以看出:滿應(yīng)力法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)小于目標(biāo)值1.40,無法滿足桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度要求;原均勻承載準(zhǔn)則法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)明顯大于目標(biāo)值1.40,表明該設(shè)計方案富裕量過大;相比之下本文改進(jìn)方法優(yōu)化設(shè)計方案的體系強(qiáng)度系數(shù)恰好等于目標(biāo)值,從而不僅滿足了桁架結(jié)構(gòu)體系強(qiáng)度的需求,還充分發(fā)揮了材料強(qiáng)度,具有較好的經(jīng)濟(jì)性,再次驗證了本文改進(jìn)方法在空間桁架結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計中的合理性。

    需要說明的是,本文限于篇幅尚未討論工程應(yīng)用的細(xì)節(jié)問題。但從圖1的計算流程圖可以看出,對于不同的工程對象,正確建立單元承載比和構(gòu)件承載比的表達(dá)式是利用EMRM開展結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度分析和優(yōu)化設(shè)計的關(guān)鍵。

    表7 塑性極限荷載及體系安全系數(shù)Table 7 Plastic ultimate load and system safety factor

    4 結(jié)論

    為克服現(xiàn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計方法的缺陷,提出了考慮壓桿穩(wěn)定性影響的改進(jìn)均勻承載準(zhǔn)則法。通過與現(xiàn)行多種優(yōu)化設(shè)計方法對比分析得到如下結(jié)論:

    (1) 本文建立的均勻承載準(zhǔn)則以體系強(qiáng)度系數(shù)為目標(biāo)調(diào)整各構(gòu)件強(qiáng)度,克服了原均勻承載準(zhǔn)則法利用基準(zhǔn)承載比建立構(gòu)件強(qiáng)度調(diào)整公式導(dǎo)致的缺陷,優(yōu)化效果更佳,且提高了計算效率。

    (2) 不考慮穩(wěn)定性將高估桁架的承載力,導(dǎo)致設(shè)計方案安全性不足。本文改進(jìn)方法通過在單元承載比表達(dá)式中引入穩(wěn)定系數(shù)合理考慮壓桿穩(wěn)定性對桁架結(jié)構(gòu)兩層面強(qiáng)度的影響,并利用彈塑性方法驗證了本文優(yōu)化設(shè)計方案的合理性。

    (3) 傳統(tǒng)的滿應(yīng)力準(zhǔn)則法和數(shù)學(xué)規(guī)劃法難以保證桁架結(jié)構(gòu)在體系層面的強(qiáng)度需求。原均勻承載準(zhǔn)則法的優(yōu)化設(shè)計方案具有較大的強(qiáng)度富裕量。本文建立的改進(jìn)方法不僅滿足桁架結(jié)構(gòu)在構(gòu)件和體系兩個層面的強(qiáng)度需求,而且大大降低耗材,達(dá)到優(yōu)化經(jīng)濟(jì)性能的效果。

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