幾何分域的多模塊神經(jīng)網(wǎng)絡求解平面3R機械手逆運動學

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（湖南工業(yè)大學 機械工程學院，湖南 株洲 412007）

1 研究背景

機器人逆運動學，是將機器人末端執(zhí)行器在笛卡爾坐標系中的位姿轉(zhuǎn)換成關節(jié)空間中各關節(jié)角變量的過程，它在機器人控制中有非常重要的地位，是機器人運動分析、離線編程、軌跡規(guī)劃等的基礎，是機器人學中十分重要的問題[1]，特別是在機器人的軌跡規(guī)劃過程中，逆運動學求解的準確性會直接影響末端執(zhí)行器軌跡的平滑性[2]。因此，對機器人逆運動學求解，是國內(nèi)外很多研究者研究、分析的熱點問題。

機器人逆運動學模型是一個多輸入-多輸出的系統(tǒng)，它通常是非線性方程組的求解。與線性方程組的求解不同，非線性方程組沒有通用的求解算法。傳統(tǒng)的求機器人逆向運動學多解的方法有解析法[3]、數(shù)值迭代法[4]、幾何法[5]等。解析法的計算量較大，在消元過程中很難得到正確的一元高次方程。幾何法和迭代法在逆運動學求解過程中，需要在特定的條件下才能實現(xiàn)。

隨著計算機技術發(fā)展的突飛猛進和機器人結(jié)構(gòu)越來越復雜，應用現(xiàn)代智能算法求逆運動學解方面的研究越來越廣泛。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡因具有對任意連續(xù)函數(shù)的逼近能力和泛化能力，被不少學者應用在機器人逆運動學求解中。通常，使用神經(jīng)網(wǎng)絡求機器人逆運動學解采用以下方式：首先，關節(jié)空間Q通過正向運動學得到位姿T；然后將位姿T作為神經(jīng)網(wǎng)絡的輸入、Q作為輸出以訓練神經(jīng)網(wǎng)絡；最后，用訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡求目標位姿對應的逆運動學解[6-7]。關節(jié)空間由正向運動學得到的位姿是唯一的，但從位姿向關節(jié)空間作逆映射是存在一對多解的。因此，輸入和輸出之間若沒有建立唯一的映射關系，一個單獨的神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)將無法求得機器人整個工作空間中的逆運動學多解。

B.Daya等[8]提出了一種由6個子神經(jīng)網(wǎng)絡組成的神經(jīng)網(wǎng)絡體系結(jié)構(gòu)，并利用該結(jié)構(gòu)很好地求出了平面2自由度機械手的兩組逆運動學解。A.V.Duka等[9]通過增加方位角作為神經(jīng)網(wǎng)絡輸入的特征參數(shù)，在輸入與輸出之間建立了唯一映射關系，從而用訓練好的神經(jīng)網(wǎng)絡，對平面3R機械手工作空間中規(guī)劃好的軌跡點求得了一組逆運動學解。文獻[8]和文獻[9]的方法都很好地克服了神經(jīng)網(wǎng)絡在求多解時存在的不足，但是各自也存在著不足之處：文獻[8]需要的神經(jīng)網(wǎng)絡數(shù)目較多；文獻[9]對平面3R機械手的多解缺乏理論分析，從而在增加方位角作為特征參數(shù)的條件下，只求出了一組逆運動學解。事實上，在平面3R機械手中，當給定一個方位角后，一個位置點仍然有兩組逆運動學解。

本研究通過將連桿分離-重新結(jié)合的方式，對平面3R機械手的工作空間進行幾何分析，判斷其多解的規(guī)律，利用該規(guī)律將其關節(jié)空間劃分為兩個子空間，并分別用兩個BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行訓練，同時輸入中增加方位角作為特征參數(shù)，以消除每個空間中存在的無窮解帶來的錯誤映射關系。仿真結(jié)果表明，該方法不僅可以很好地劃分平面3R機械手的多解區(qū)域，同時用多模塊BP神經(jīng)網(wǎng)絡還可以獲得高精度的逆運動學多解。

2 運動學問題

2.1 逆運動學多解的幾何分析

圖1是平面3R機械手，其連桿的長度分別為OA=L1，AB=L2，BC=L3，關節(jié)角的取值范圍分別為θ1∈(-π,π)，θ2∈(-π,π)，θ3∈(-π,π)，末端執(zhí)行器中心C點坐標為(px,py)，OC的距離為L，。

圖1 平面3R機械手Fig.1 Planar 3R manipulator

假設L1=L2，L3

圖2 Part I和Part II的B 點軌跡Fig.2 Point B trajectory of Part I and II

現(xiàn)考慮圓平面與圓的位置關系：在平面二連桿工作空間內(nèi)部的點有如下兩組逆運動學解[8]：

Q1和Q2映射得到的工作空間是兩個相等的同心圓平面。Q1、Q2分別與θ3的組合記為Zone1、Zone2，取Zone1進行分析。

由平面幾何知識，可得：

Case 1當L=L1+L2+L3時，圓平面O與圓C外切，此時B點可以重新結(jié)合的位置在半徑為L1+L2的圓O上；

Case 2當L=L1+L2-L3時，圓平面O與圓C內(nèi)切，此時B點可以在圓C上任意一點重新結(jié)合；

Case 3當L1+L2-L3

圓平面O與圓C的3種位置關系如圖3所示。

圖3 圓平面O與圓C的位置關系Fig.3 Position relationship between circular plane O and circle C

圖3c中，圓弧對應的圓心角α可由下式求得：

式（1）（2）分別為圓O和圓C的方程，在圓C上點的橫坐標與縱坐標可以分別表示如下：

將式（3）代入式（1）中，得到

式（4）中：u=arctan 2(px,py)，

令k=φ+u，則有

令由式（5）得到的φ1和φ2均在[0,2π]之間，且φ2>φ1，則有

在Zone1中，通過上述分析可以得知：

1）當L=L1+L2+L3時，關節(jié)角對應的點的逆運動學解為；

2）當0≤L≤L1+L2-L3時，關節(jié)角對應的點在圓C上有無窮組逆運動學解；

3）當L1+L2-L3

在1）、2）、3）中，滿足上述條件的關節(jié)角對應的點，均存在無窮組逆運動學解。當對末端執(zhí)行器的方位角進行規(guī)劃時，若給定方位角，則逆運動學解也將唯一確定，方位角公式[9]為

在1）中，因為θ2=θ3=0，故滿足式（7）的θ1唯一；在2）中，方位角的范圍為[-π，π]，有無窮多種組合，可以任意設定方位角；在3）中，方位角雖然也有無窮多種組合，但是其取值范圍有限。

在圖4中，對3）中方位角的取值范圍進行分析。分別延長MC、NC，其延長線與過圓心C的水平虛線PQ之間的夾角分別為δ1、δ2，δ1、δ2便是 3）中方位角的臨界值，根據(jù)已經(jīng)求得的φ1和φ2，可以求出δ1和δ2：

方位角的取值范圍為

圖4 圓C中的方位角Fig.4 Azimuth in circle C

至此，在Zone1中全面分析了平面3R機械手的多解情況，并確定了圓平面O與圓C相交時方位角的取值范圍。

同理，在Zone2中也可以得出相同的結(jié)論。

2.2 正向運動學模型

采用標準Diffie-Hellman法[10]給圖1所示平面3R機械手建立運動學模型，并確定各參數(shù)，所得結(jié)果見圖5和表1，其中L1=L2=L3=200 mm。為分析計算方便，將θ1的變化范圍設定為(0，π)。

圖5 機械手D-H模型Fig.5 D-H parameters of manipulator

表1 機械手D-H參數(shù)Table1 D-H parameters of manipulator

C點的正向運動學方程可由下式確定：

3 BP神經(jīng)網(wǎng)絡及其Matlab實現(xiàn)

3.1 BP神經(jīng)網(wǎng)絡的結(jié)構(gòu)

BP神經(jīng)網(wǎng)絡具有多層結(jié)構(gòu)，分別是輸入層、一層或多層隱含層、輸出層。各層神經(jīng)元之間是全連接的，而層內(nèi)無連接。隱含層各神經(jīng)元節(jié)點采用Sigmoid[11]作為激勵函數(shù)。圖6是一個3層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡，其中閾值未畫出。

圖6 3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡結(jié)構(gòu)示意圖Fig.6 Sketch map of three-layer BP neural network

如圖6所示的3層BP神經(jīng)網(wǎng)絡中，輸入層有M個神經(jīng)元，輸入向量X=[x1,x2,…,xM]T；隱含層有I個神經(jīng)元；輸出層有J個神經(jīng)元，輸出向量Y=[y1,y2,…,yJ]T；ωmi是輸入層與隱含層之間的權值，ωij是隱含層與輸出層之間的權值，隱含層各神經(jīng)元的閾值為ai（i=1,2,…,I），輸出層各神經(jīng)元的閾值為bj（j=1,2,…,J）。

根據(jù)圖6，可以得到網(wǎng)絡的輸出：

式中f(*)為隱含層的激勵函數(shù)。

3.2 Matlab神經(jīng)網(wǎng)絡工具箱

Matlab是一款功能強大的數(shù)學軟件，該軟件將數(shù)值分析、矩陣計算、可視化、動態(tài)系統(tǒng)建模仿真等功能集成在一個開發(fā)環(huán)境中，為科研和工作提供了強大支持[12]。

在Matlab中，可以通過如下步驟訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡[12]。

1）創(chuàng)建前向神經(jīng)網(wǎng)絡

創(chuàng)建前向神經(jīng)網(wǎng)絡命令如下：

其中，hiddenSizes表示隱含層的規(guī)模，列數(shù)表示隱含層數(shù)，每列的數(shù)值表示各隱含層的神經(jīng)元個數(shù)；trainFcn是訓練權值的算法，默認為“trainlm”，lm是levenberg-marquadt算法的縮寫。lm算法將梯度下降法與高斯-牛頓法相結(jié)合，既有高斯-牛頓法的局部收斂特性，又有梯度下降法的全局收斂特性[13]，具有收斂速度快、誤差小的優(yōu)點。

2）設定參數(shù)

設定參數(shù)如下：

net.trainParam.epochs，代表迭代最大次數(shù)；net.trainParam.lr，代表學習率；

net.trainParam.goal，代表目標誤差；

net.trainParam.max_fail，代表訓練最大的失敗次數(shù)，默認為6；

net.divideParam.trainRatio，代表訓練樣本占總樣本的百分數(shù)，默認為70%；

net.divideParam.valRatio，代表校驗樣本占總樣本的百分數(shù)，默認為15%；

net.divideParam.testRatio，代表測試樣本占總樣本的百分數(shù)，默認為15%。

3）訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡

訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡的公式為

式中：Ptrain為訓練樣本的輸入矩陣；Ttrain為訓練樣本的輸出矩陣；TR為記錄訓練的結(jié)果。

4）預測數(shù)據(jù)

根據(jù)下式預測網(wǎng)絡結(jié)果數(shù)據(jù)：

式中：t為網(wǎng)絡預測結(jié)果；Ptest為需要預測的輸入。

3.3 樣本選取

根據(jù)前文結(jié)論將關節(jié)空間分為以下兩個子空間：本文采用以下方式得到訓練樣本，在Zonei（i=1,2）中，先將θj（j=1,2,3）平均分成M、I、J份，然后將θj進行組合，如圖7所示。

圖7 關節(jié)角組合方式Fig.7 Joint angle compound methods

Zone1、Zone2中的關節(jié)角組合分別有M×I×J組，記為Q1、Q2，然后將Q1、Q2分別代入式（7）和式（10）中，即可以得到BP神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練樣本輸入，Qi作為BP神經(jīng)網(wǎng)絡的訓練樣本輸出。

3.4 樣本歸一化

神經(jīng)網(wǎng)絡在預測前通常會對數(shù)據(jù)樣本進行歸一化處理，其目的是取消輸入輸出間的數(shù)量級差別，從而減小預測誤差。歸一化的方法有最大最小法和平均數(shù)方差法，本研究采用最大最小法：

式中：x表示歸一化后的數(shù)；xk表示需歸一化的數(shù)；

xmax、xmin分別表示序列中的最大值、最小值。

3.5 預測效果評定

用θPim（i=1,2,3；m=1,2,…,N）表示預測得到的關節(jié)角，θTim（i=1,2,3；m=1,2,…,N）表示實際的關節(jié)角，其中i是關節(jié)角序號，N是測試樣本序號。評價指標公式如下：

式中em為預測的關節(jié)角與實際關節(jié)角之間的誤差。

4 仿真實例

4.1 神經(jīng)網(wǎng)絡訓練及其測試結(jié)果

記用于Zonei（i=1,2）中樣本訓練的BP神經(jīng)網(wǎng)絡為neti，令M=12，I=12，J=24，分別得到 3 456組樣本，根據(jù)3.2節(jié)的步驟，在Matlab中訓練BP神經(jīng)網(wǎng)絡權值，參數(shù)設置如下：

net1中，net.trainParam.epochs=400，hiddenSizes=[26 23]，net.trainParam.goal=10-6；

net2中，hiddenSizes=[21 18]，net.trainParam.epochs= 425，net.trainParam.goal=10-6。

兩個網(wǎng)絡隱含層的激活函數(shù)設為tansig函數(shù)，輸出層的激活函數(shù)設為線性函數(shù)purelin，其余均設為默認值。

圖8是net1和net2的訓練結(jié)果及測試結(jié)果，實線、虛線、中心線分別是訓練樣本的均方差、校驗樣本的均方差和測試樣本的均方差。

圖8 兩個網(wǎng)絡的訓練結(jié)果Fig.8 Training results of two networks

圖9和10是兩個網(wǎng)絡測試樣本中預測得到的關節(jié)角與實際關節(jié)角之間的誤差，由圖可以看到，兩個網(wǎng)絡的預測誤差均在-0.1～0.1 rad之間。

圖9 net1網(wǎng)絡預測各關節(jié)角誤差Fig.9 Prediction errors of network 1

圖10 net2網(wǎng)絡預測各關節(jié)角誤差Fig.10 Prediction errors of network 2

4.2 運動軌跡

圖11是Zonei（i=1,2）對應的工作空間。

圖11 兩個子空間對應的工作空間Fig.11 Workspace corresponding to the two sub-spaces

為進一步驗證用該方法訓練好的兩個BP神經(jīng)網(wǎng)絡，可以求3R機械手的逆運動學多解，在兩個工作空間公共部分規(guī)劃一段圓形軌跡，其方程為

根據(jù)前文中的結(jié)論，在兩個工作空間的位置增加一個方位角，就可以在關節(jié)子空間中得到對應的唯一逆運動學解，給所取的43個點分別加上以下方位角：

式中方位角Θd表示末端執(zhí)行器和坐標原點的連線與X軸間的夾角，其滿足式（9）的邊界約束。

圖12是兩個網(wǎng)絡分別預測得到的棍軌跡圖，圖中3種不同線型的線段分別表示3根連桿在各組解時的位形，“*”是預測得到的點位置。從圖中可以看出，兩個網(wǎng)絡預測得到的兩段軌跡都很平滑，基本在原軌跡附近。

圖12 兩個網(wǎng)絡預測得到的軌跡Fig.12 Trajectories predicted by two networks

5 結(jié)語

本文通過連桿分離-重新結(jié)合的方式進行幾何分析，將3R機械手劃分為兩個子空間，并將子空間中的逆運動學解問題轉(zhuǎn)化為幾何中圓與圓平面之間的位置關系：當圓平面與圓相離時，機械手無逆運動學解；當圓平面與圓外切時，機械手存在唯一逆運動學解；當圓平面與圓相交或內(nèi)切時，機械手存在無窮組逆運動學解。兩個子空間分別用一個含2層隱含層的BP神經(jīng)網(wǎng)絡進行訓練，并在每個BP神經(jīng)網(wǎng)絡中添加方位角作為樣本輸入的特征參數(shù)，消除了各子空間中存在無窮組逆運動學解時的映射錯誤。最終用訓練好的兩個BP神經(jīng)網(wǎng)絡分別預測同一段規(guī)劃好的圓形軌跡，都得到了平滑的預測軌跡。另外，使用LM學習算法的BP神經(jīng)網(wǎng)絡具有收斂速度快、誤差小等優(yōu)點。