國(guó)家開(kāi)放大學(xué)畢業(yè)生學(xué)習(xí)時(shí)間的Pareto擬合研究

孫煜 宋麗哲

摘? 要：遠(yuǎn)程開(kāi)放教育是當(dāng)今社會(huì)中最重要的教育方式之一，而遠(yuǎn)程學(xué)習(xí)者往往十分關(guān)心自己完成學(xué)業(yè)的時(shí)間，該文以學(xué)期為單位，使用2檢驗(yàn)法對(duì)國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2007—2018年共12年的畢業(yè)生學(xué)習(xí)的學(xué)期數(shù)進(jìn)行檢驗(yàn)，結(jié)果表明，國(guó)家開(kāi)放大學(xué)畢業(yè)生學(xué)習(xí)的學(xué)期數(shù)顯著服從Pareto分布。另外，進(jìn)一步使用最小二乘法對(duì)Pareto分布的參數(shù)進(jìn)行了估計(jì)，為后續(xù)研究打下了基礎(chǔ)。

關(guān)鍵詞：學(xué)習(xí)時(shí)間分布? Pareto分布? 2檢驗(yàn)法? 擬合研究

中圖分類號(hào)：G434? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A? ? ? ? ? ? ? ? ? ?文章編號(hào)：1672-3791（2020）12（b）-0191-05

Abstract： Distance open education is one of the most important forms of education in today's society， and distance learners are often very concerned about the time they take to complete their studies， the article examines the number of semesters studied by graduates of the Open University of China in a total of 12 years from 2007—2018 in terms of semesters using the chi square test， and the results show that the number of semesters studied by graduates of the Open University of China significantly follows the Pareto distribution. In addition， the parameters of the Pareto distribution were further estimated using the least squares method， which provided the basis for subsequent studies.

Key Words： Learning time distribution; Pareto distribution; Chi square test; Fitting research

現(xiàn)代信息化技術(shù)的快速發(fā)展和廣泛應(yīng)用為高等教育注入了強(qiáng)大的動(dòng)力，遠(yuǎn)程開(kāi)放教育成為學(xué)習(xí)型社會(huì)最重要的教育方式之一。遠(yuǎn)程開(kāi)放教育主要通過(guò)先進(jìn)信息技術(shù)和傳統(tǒng)教育緊密結(jié)合的手段來(lái)構(gòu)筑知識(shí)經(jīng)濟(jì)時(shí)代的終身學(xué)習(xí)體系。而參加遠(yuǎn)程教育的學(xué)生一般要經(jīng)過(guò)多長(zhǎng)的學(xué)習(xí)時(shí)間才能畢業(yè)？以往學(xué)生的畢業(yè)率情況如何？這些問(wèn)題不僅為學(xué)生所關(guān)注，對(duì)于遠(yuǎn)程教育本身也具有重要意義。

國(guó)家開(kāi)放大學(xué)原名中央廣播電視大學(xué)，同地方廣播電視大學(xué)一起，組建成為一個(gè)完整的教學(xué)和管理體系。目前，國(guó)家開(kāi)放大學(xué)由總部、分部、地方學(xué)院、學(xué)習(xí)中心和行業(yè)、企業(yè)學(xué)院共同組成完整的辦學(xué)組織體系，在籍學(xué)生約為453萬(wàn)（數(shù)據(jù)來(lái)源于國(guó)家開(kāi)放大學(xué)最新統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)）。因此，對(duì)其進(jìn)行學(xué)生畢業(yè)所用學(xué)期數(shù)的相關(guān)研究具有重要意義。

過(guò)去，出于輟學(xué)現(xiàn)象的普遍性及給遠(yuǎn)程教育帶來(lái)不利影響的嚴(yán)重性，大量研究人員選擇“輟學(xué)”作為研究選題，例如張鳳來(lái)、王文婷[1-2]在其研究中都指出了遠(yuǎn)程開(kāi)放教育中，輟學(xué)率的研究一直是一個(gè)重要的課題。而對(duì)于畢業(yè)的研究相對(duì)于輟學(xué)來(lái)說(shuō)，正如一個(gè)硬幣的兩面，研究畢業(yè)現(xiàn)象以提升畢業(yè)率，同樣可以降低輟學(xué)率。國(guó)內(nèi)也有少部分學(xué)者針對(duì)畢業(yè)率進(jìn)行研究，例如宿紅艷（2015）[3]，徐輝、梁曉琦（2018）[4]以某所遠(yuǎn)程教育機(jī)構(gòu)為個(gè)案，采用描述性統(tǒng)計(jì)方法研究不同專業(yè)、不同性別學(xué)生的畢業(yè)率。

然而由于學(xué)生的個(gè)體差異較大，學(xué)習(xí)方式復(fù)雜，給統(tǒng)計(jì)和研究工作帶來(lái)很大的困難，至今少有關(guān)于學(xué)生畢業(yè)學(xué)期數(shù)這方面的報(bào)告。

為了能夠更好地分析影響學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)期數(shù)的因素，首要的就是要研究清楚學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)期數(shù)的分布情況。

由此，該文通過(guò)對(duì)國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2007—2018年12年的教務(wù)數(shù)據(jù)對(duì)畢業(yè)生學(xué)習(xí)學(xué)期數(shù)進(jìn)行分析，根據(jù)其頻率直方圖以及Pareto分布的概率密度函數(shù)圖，判斷其服從Pareto分布，并采用2檢驗(yàn)的方法來(lái)進(jìn)行檢驗(yàn)。在通過(guò)檢驗(yàn)的基礎(chǔ)上，建立模型估計(jì)其Pareto分布的參數(shù)，為進(jìn)一步研究影響學(xué)生學(xué)習(xí)學(xué)期數(shù)的參數(shù)分析等提供一定的參考。文章第一部分介紹該文的研究意義以及方向;第二部分對(duì)數(shù)據(jù)的分布做初步擬合;第三部分介紹模型構(gòu)建及估計(jì)的過(guò)程，并給出分布參數(shù)的估計(jì);第四部分對(duì)文章做全面總結(jié)，給出結(jié)論。

1? 學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間分布初步擬合

該文選取國(guó)家開(kāi)放大學(xué)2007—2018年共12年的教務(wù)數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)量達(dá)到了900萬(wàn)條，經(jīng)過(guò)數(shù)據(jù)篩選，去除空數(shù)據(jù)條目，刪除無(wú)效數(shù)據(jù)等，剩余數(shù)據(jù)依然有390萬(wàn)之多，對(duì)其進(jìn)行初步統(tǒng)計(jì)得出，頻數(shù)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表1。

學(xué)習(xí)時(shí)間基礎(chǔ)統(tǒng)計(jì)見(jiàn)表2。

而后，根據(jù)頻數(shù)統(tǒng)計(jì)表，畫(huà)出頻率直方圖，具體見(jiàn)圖1。

由圖1可以看出，學(xué)生學(xué)習(xí)時(shí)間的分布屬于截尾分布，魏順平（2011）[5]中曾使用生存分析法、cox回歸模型來(lái)對(duì)畢業(yè)影響因素進(jìn)行分析，生存分析法以及cox回歸模型都是針對(duì)于截尾分布的分析模型，其在不要求估計(jì)資料的分布類型的情況下，以生存結(jié)局和生存時(shí)間為應(yīng)變量，能夠同時(shí)分析眾多因素對(duì)生存期的影響。由于這些優(yōu)點(diǎn)，所以，在分析中很受研究人員的歡迎，但也正是因?yàn)榇祟惸Ｐ屯ㄟ^(guò)半?yún)?shù)擬合，規(guī)避了分布類型，所以導(dǎo)致往往只能夠關(guān)注一個(gè)終點(diǎn)事件，例如，只關(guān)心學(xué)生8年內(nèi)能夠畢業(yè)的畢業(yè)率，而不能對(duì)多個(gè)終點(diǎn)進(jìn)行預(yù)測(cè)，而往往人們想知道的并不僅僅是一個(gè)結(jié)果，例如畢業(yè)所用學(xué)習(xí)時(shí)間的期望等。

出于這種目的，該文針對(duì)學(xué)習(xí)所用學(xué)期數(shù)進(jìn)行分布擬合。

帕累托分布（Pareto distributions）[6]是以意大利經(jīng)濟(jì)學(xué)家維弗雷多·帕雷托命名的，是維弗雷多·帕雷托在大量真實(shí)世界的現(xiàn)象中，發(fā)現(xiàn)的冪次定律分布。這個(gè)分布在經(jīng)濟(jì)學(xué)以外的領(lǐng)域，也被稱為布拉德福分布。一個(gè)多世紀(jì)以來(lái)，它在不同的領(lǐng)域范圍內(nèi)，廣泛應(yīng)用，也來(lái)越收到科研人員的重視。由于Pareto分布具有遞減的失效率函數(shù)，經(jīng)常用來(lái)描述諸如個(gè)人收入（收入越高，獲得更高收入的能力就會(huì)增加）、某種藥理過(guò)程后病人的存活時(shí)間（存活時(shí)間越長(zhǎng)，能夠繼續(xù)存活更長(zhǎng)時(shí)間的可能性就越高）等模型。

在帕累托分布中，如果X是一個(gè)隨機(jī)變量，則X的概率分布如公式（1）所示：

式中，x是任何一個(gè)大于xmin的數(shù)，xmin是x最小的可能值（正數(shù)），k是為正的參數(shù)。可以看出，Pareto曲線族是由兩個(gè)數(shù)量參數(shù)化的，即xmin和k。

圖2分別給出了在k=1，2，3時(shí)的Pareto分布曲線。

結(jié)合圖1和圖2，可以看出，學(xué)生畢業(yè)所用學(xué)期數(shù)的頻率圖，與Pareto分布曲線圖中的k=3的情況大致已知，加之Pareto的廣泛應(yīng)用，具有良好的分析特性、豐富的參考資料。故該文考慮用Pareto分布擬合學(xué)習(xí)時(shí)間的分布。

2? Pareto分布的2檢驗(yàn)法

前文中，根據(jù)頻率圖與Pareto分布曲線考慮使用Pareto分布進(jìn)行擬合，在擬合之前，需要對(duì)分布進(jìn)行假設(shè)檢驗(yàn)。

由于Pareto分布與雙參數(shù)分布有直接的關(guān)系，在數(shù)據(jù)分析的時(shí)候，可以采用對(duì)數(shù)變換，然后利用一種針對(duì)雙參數(shù)指數(shù)分布的2檢驗(yàn)方法來(lái)進(jìn)行分布的檢驗(yàn)[7]，具體檢驗(yàn)過(guò)程如下。

3? 學(xué)習(xí)時(shí)間分布參數(shù)的最小二乘估計(jì)

由第三節(jié)結(jié)論，學(xué)習(xí)時(shí)間的分布服從Pareto分布：

對(duì)學(xué)習(xí)時(shí)間數(shù)據(jù)做相應(yīng)變換，得到表4。

將相應(yīng)數(shù)據(jù)帶入式（8）中可得參數(shù)估計(jì)約為：

即，國(guó)家開(kāi)放大學(xué)12個(gè)學(xué)期的學(xué)生畢業(yè)所用學(xué)期數(shù)所服從的Pareto分布，形狀參數(shù)α的值為5.497，尺度參數(shù)的值為5.112。

4? 結(jié)語(yǔ)

該文基于國(guó)家開(kāi)放大學(xué)一共12個(gè)學(xué)期的學(xué)生畢業(yè)所用的學(xué)期數(shù)進(jìn)行研究分析，假定其服從Pareto分布，并使用卡方檢驗(yàn)方法對(duì)假定進(jìn)行了假設(shè)檢驗(yàn)，根據(jù)假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果，確定其服從Pareto分布。在此基礎(chǔ)之上，根據(jù)Pareto的分布函數(shù)，通過(guò)最小二乘估計(jì)方法給出了分布的參數(shù)估計(jì)值。

遠(yuǎn)程教育學(xué)生畢業(yè)所用學(xué)期數(shù)的研究，對(duì)于分析其影響因素有著基礎(chǔ)性的作用，在確定了所用學(xué)期數(shù)的分布情況之后，才可以更加準(zhǔn)確地研究影響畢業(yè)所用學(xué)期數(shù)的因素，從而為提高畢業(yè)率、降低輟學(xué)率提供方向。

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