單葉調(diào)和函數(shù)的一個子類

孫祚晨，王麒翰，龍波涌

(安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601)

(1)

(2)

(3)

設(shè)

則f是單位圓盤U上的單葉保向調(diào)和函數(shù)，并且f∈GH(m,n,γ)。

(4)

上是凸的。

設(shè)映射f：Ω→Ω′是同胚的，則f是一個K-擬共形映射當(dāng)且僅當(dāng)它滿足如下2個條件：

①f在Ω內(nèi)的線段上是絕對連續(xù)的；

1 主要結(jié)果

證明設(shè)

則由定理B，得

(5)

因此，

(6)

因γ、β∈[0,1)，當(dāng)k≥2時，通過直接計算，得

[2km-(1+γ)kn][2km-(1+β)kn]-[2k2m-(1+γ+β-γβ)km+n]=
2k2m-(3+β+γ+γβ)km+n+(1+β)(1+γ)k2n=
k2n[2k2(m-n)-(2+(1+β)(1+γ))km-n+(1+β)(1+γ)]=
k2n(km-n-1)(2km-n-(1+β)(1+γ))≥0。

因此，若γ、β∈[0,1)，k≥2，則

[2km-(1+γ)kn][2km-(1+β)kn]≥2k2m-(1+β+γ-γβ)km+n。

(7)

更進(jìn)一步地，當(dāng)γ、β∈[0,1)時，對于k≥1，不管m-n是奇是偶，均有

[2km-(-1)m-n(1+γ)kn][2km-(-1)m-n(1+β)kn]≥
2k2m-(-1)m-n(1+γ+β-γβ)km+n。

(8)

根據(jù)式(5)～(8)，得

(9)

命題1設(shè)m∈N，n∈N0，m>n，則當(dāng)γ、β∈[0,1)時，

(10)

據(jù)此，得

注1命題1說明定理1的結(jié)果改進(jìn)了定理C的結(jié)論。

下面將通過定理2改進(jìn)定理D的結(jié)論。

則f是凸的。

為證明定理2，需要在m∈N，n∈N0，m>n，γ∈[0,1)及k≥2的條件下建立一系列不等式。

若n≠0且m≥2，則

(11)

若n=1且m≥2，則

(12)

若n≥2，那么

(13)

因此，根據(jù)不等式(11)～(13)，當(dāng)k≥2，n≠0且m≠1，m∈N，n∈N0時, 有

(14)

證畢。

如果n=0，m≥1，k≥2，易得

從而,

(15)

若n≥1，k≥2，則

因此,

(16)

由式(15)、(16)，知

(17)

根據(jù)式(17)和定理B，得

因此，由b1+(1-b1)A<1得fm是K-擬共形映射。