一種基于聲學(xué)回波統(tǒng)計(jì)的水下散射體數(shù)量密度評(píng)估模型

梅新華

（中船重工鵬力（南京）大氣海洋信息系統(tǒng)有限公司，江蘇 南京 210000）

0 引言

水中懸浮顆粒（如泥沙）、氣泡群、魚(yú)群等散射體是海洋工程應(yīng)用中常見(jiàn)的散射體[1]，對(duì)這類散射體的數(shù)量密度進(jìn)行評(píng)估不僅具有直接的工程應(yīng)用價(jià)值，并且其作為水聲研究中常見(jiàn)的混響散射體，是水下聲學(xué)應(yīng)用研究的重要內(nèi)容[2]。目前對(duì)這類散射體群的數(shù)量密度評(píng)估主要包括光學(xué)與聲學(xué)2類方法，其中聲學(xué)方法具有由于探測(cè)距離遠(yuǎn)的優(yōu)點(diǎn)，更為廣泛應(yīng)用前景。

與單一散射體不同，這類散射體的聲散射是由多個(gè)處于隨機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的散射元相干疊加而成，因而其回波信號(hào)具有明顯的隨機(jī)性與波動(dòng)性，這給基于聲學(xué)方法的水下散射體數(shù)量密度評(píng)估帶來(lái)了挑戰(zhàn)。根據(jù)混響理論研究[3]，水中懸浮顆粒、氣泡群、魚(yú)群等混響散射體可用泊松概率模型對(duì)其空間分布進(jìn)行描述。對(duì)于泊松混響，根據(jù)大數(shù)定理，當(dāng)散射體的數(shù)量密度較大時(shí)，混響瞬時(shí)值分布服從正態(tài)分布，對(duì)應(yīng)包絡(luò)的瞬時(shí)幅度服從瑞利分布。但在散射體的數(shù)量密度較小的情況下，其回波包絡(luò)瞬時(shí)幅度會(huì)偏離瑞利分布，且其偏離瑞利分布的程度與散射體的數(shù)量密度有關(guān)。因此從回波信號(hào)統(tǒng)計(jì)的角度出發(fā)，通過(guò)選取合適的統(tǒng)計(jì)特征量和數(shù)值關(guān)系模型推導(dǎo)，可實(shí)現(xiàn)散射體數(shù)量密度的評(píng)估。本文對(duì)散射體群聲學(xué)回波信號(hào)統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行了研究，建立了一種基于聲學(xué)回波能量統(tǒng)計(jì)的水下散射體數(shù)量密度評(píng)估模型。

1 模型簡(jiǎn)介

脈沖信號(hào)是聲吶水下探測(cè)中的一種常用信號(hào)形式，當(dāng)聲吶發(fā)射信號(hào)為脈沖信號(hào)時(shí)，常用散射體回波信號(hào)的能量（或強(qiáng)度）用來(lái)表征散射體的散射能力。對(duì)于體積混響散射體，一般來(lái)說(shuō)散射體的數(shù)量密度越大，其回波信號(hào)能量的期望值越大。但由于散射體群處于隨機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，在某個(gè)瞬時(shí)測(cè)量時(shí)刻其回波信號(hào)能量是個(gè)隨機(jī)數(shù)，因此單純地從某個(gè)瞬間回波信號(hào)來(lái)評(píng)估散射體群是無(wú)意義的，也是不現(xiàn)實(shí)的。本文擬通過(guò)對(duì)散射體群回波信號(hào)能量的統(tǒng)計(jì)特征進(jìn)行建模，達(dá)到評(píng)估散射體數(shù)量密度的目的。

圖1為聲學(xué)方法測(cè)量散射體的示意圖，測(cè)量過(guò)程中散射體中的任意散射元的位置、姿態(tài)、數(shù)量是隨機(jī)變化的。本文從以下因素考慮任意t時(shí)刻聲吶波束照射的某區(qū)間內(nèi)散射體總的回波：1）該時(shí)刻區(qū)間內(nèi)散射元的數(shù)量；2）由于散射元尺寸大小，相對(duì)入射聲波的姿態(tài)角隨機(jī)變化而決定各散射元回波信號(hào)的幅度；3）該時(shí)刻各散射元的位置（回波的聲程）。在忽略測(cè)量過(guò)程中聲吶與散射體之間的相對(duì)運(yùn)動(dòng)和散射體之間的二次散射的情況下，目標(biāo)區(qū)間中隨機(jī)運(yùn)動(dòng)散射體的回波是各散射元回波信號(hào)的相干疊加。

基于以上分析考慮，對(duì)水中懸浮顆粒（如泥沙）、氣泡群、魚(yú)群等散射體回?fù)苄盘?hào)進(jìn)行建模。設(shè)聲吶發(fā)射信號(hào)為 CW 信號(hào)：s (t)=c os(2π f0t)rect(t/ Tp)。式中： f0為信號(hào)頻率；Tp為信號(hào)脈沖寬度；rect(t/ Tp) =u(t)-u ( t- Tp)， u( t)為單位階躍函數(shù)。由于散射元的運(yùn)動(dòng)姿態(tài)與位置的隨機(jī)性，其回波的相位是隨機(jī)的，散射體總的回波是各散射元回波的相干疊加。設(shè)t時(shí)刻有N個(gè)散射元對(duì)回波有貢獻(xiàn)，其回波可表示為

圖1 聲學(xué)測(cè)量散射體數(shù)量密度示意圖Fig.1 Schematic diagram of scaterer number density by acoustic measurement

式中：Fn為第n個(gè)散射元的回波幅度；τn為其回波聲程對(duì)應(yīng)的時(shí)延。對(duì)應(yīng)的回波積分能量為

式中：t1、t2對(duì)應(yīng)的測(cè)量區(qū)間為，c為水下聲速。N個(gè)散射元任意時(shí)刻回波的能量是各散射元單獨(dú)回波與散射元間回波干涉疊加的結(jié)果，其離散形式可表示為[4]

式中：Fm、Fn分別為第m個(gè)與第n個(gè)散射元的回波幅度；參數(shù)Cmn為第m個(gè)與第n個(gè)散射元回波的相關(guān)系數(shù)，滿足：

考慮ε的期望，根據(jù)回波積分理論，多次測(cè)量過(guò)程中由于散射元的位置或其回波信號(hào)的相位是隨機(jī)變化的，在忽略散射元的2次及2次以上散射時(shí)，散射體群回波的平均能量與散射元的數(shù)量成正比。結(jié)合式（3），可將ε的期望表示為

式中：＜N＞為多次測(cè)量過(guò)程中散射元數(shù)量的期望；＜F2＞表示N個(gè)散射元回波幅度的二階矩。

進(jìn)一步考慮ε的方差：

根據(jù)文獻(xiàn)[4]可以將ε-Ave ε表示為

式中：ΔN=N -＜N＞，a為符號(hào)函數(shù)，由

可以看出式（7）右邊的第1項(xiàng)僅與散射元回波幅度的波動(dòng)有關(guān)，第2項(xiàng)僅與測(cè)量區(qū)間中散射元數(shù)量的波動(dòng)有關(guān)，第3項(xiàng)則僅與散射元回波在測(cè)量區(qū)間中的相關(guān)性有關(guān)，容易理解三者互不相關(guān)。此時(shí)積分能量ε的方差滿足：

根據(jù)泊松混響理論，一般可以假設(shè)散射體在水體中服從Poisson分布[3，5-7]，此時(shí)測(cè)量區(qū)間中散射元的數(shù)量N滿足：

將式（10）代入式（9），可得：

參數(shù) ＜C2＞與測(cè)量區(qū)間內(nèi)散射體的分布特征及發(fā)射信號(hào)的脈寬有關(guān)，在一般性條件：t2- t1?Tp、t1?Tp、Tp?1/f0下求 ＜C2＞的近似表達(dá)式，滿足：

實(shí)際上式（5）與式（11）分別建立了散射元的數(shù)量與回波信號(hào)能量一階統(tǒng)計(jì)量與二階統(tǒng)計(jì)量之間的關(guān)系模型。其中式（5）即傳統(tǒng)回波積分理論的變形式，該式中的參數(shù)為散射體群中單個(gè)散射元回波信號(hào)幅度的二階矩，該參量是一個(gè)有量綱的絕對(duì)量，需要對(duì)其進(jìn)行先驗(yàn)測(cè)量。式（11）中的參量是與散射元回波幅度分布有關(guān)的一個(gè)無(wú)量綱的相對(duì)量，從統(tǒng)計(jì)的角度而言，一般散射體群中散射元的尺寸比較相近，尺寸特別大與特別小的散射元所占的比例很小，一般可用正態(tài)分布來(lái)對(duì)其進(jìn)行描述[8-9]。此時(shí)散射元回波信號(hào)幅度的分布滿足瑞利分布，可計(jì)算得 ＜F4＞ /＜F2＞2=2。另外，式（5）中統(tǒng)計(jì)特征量為能量的期望，該特征量為有量綱量，即需要準(zhǔn)確計(jì)算各個(gè)測(cè)量時(shí)刻回波信號(hào)的絕對(duì)聲能量，因此應(yīng)用中對(duì)聲吶系統(tǒng)參數(shù)與聲傳播損失的校準(zhǔn)提出了較高要求。而式（11）中的統(tǒng)計(jì)特征量是回波能量變異系數(shù)，該特征量是歸一化的無(wú)量綱量，應(yīng)用中僅需計(jì)算回波信號(hào)的相對(duì)能量即可。即式（1）中回聲信號(hào)可以是換能器輸出的原始電壓信號(hào)，而不必是真實(shí)的聲壓信號(hào)，從而可以避免聲源級(jí)、換能器接收靈敏度等參數(shù)誤差對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響。

2 仿真與結(jié)果分析

本節(jié)通過(guò)仿真對(duì)該模型的性能進(jìn)行分析。仿真條件如下：

1）選擇距離聲吶30～40 m的波束照射區(qū)域?yàn)闇y(cè)量區(qū)間；

2）測(cè)量過(guò)程中各散射元做無(wú)規(guī)則隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，在測(cè)量區(qū)間內(nèi)呈均勻隨機(jī)分布，其總數(shù)量的波動(dòng)變化服從泊松分布；

3）不同測(cè)量時(shí)刻散射元的散射幅度波動(dòng)變化，服從瑞利分布；

4）該評(píng)估模型與聲吶發(fā)射信號(hào)的頻率無(wú)關(guān)，但不失一般性，本文選擇常用的聲吶探測(cè)信號(hào)頻段200 kHz作為仿真信號(hào)的中心頻率，并分別取信號(hào)脈沖寬度為0.1 ms與0.4 ms兩種CW信號(hào)作為探測(cè)信號(hào)。

2.1 回波能量的統(tǒng)計(jì)特性仿真

對(duì)處于隨機(jī)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)散射體群的回波數(shù)據(jù)進(jìn)行連續(xù)仿真，然后利用式（2）計(jì)算各幀回波的能量，并利用核函數(shù)曲線擬合方法求各信號(hào)參數(shù)下歸一化能量的概率分布曲線，結(jié)果如圖2所示。

圖2 不同條件下回波信號(hào)歸一化能量的分布Fig.2 Distribution of normalized energy of echo signals under different conditions

可以看出不同散射元數(shù)量密度條件（測(cè)量區(qū)間體積不變）下，散射體群回波信號(hào)歸一化能量的分布不同，表現(xiàn)為散射元數(shù)量密度越小，歸一化能量概率密度分布越發(fā)散。

而隨著散射元數(shù)量密度的增大，歸一化能量分布由發(fā)散逐漸變得集中；當(dāng)測(cè)量區(qū)間內(nèi)散射元的數(shù)量增加到某一極限值時(shí)，歸一化能量概率分布基本不再變化。

另外，從2圖對(duì)比可以看出，減小發(fā)射信號(hào)的脈沖寬度有利于提高不同散射元數(shù)量密度條件下歸一化能量概率密度分布曲線的分辨程度。

利用以上方法，進(jìn)一步對(duì)統(tǒng)計(jì)特征量Var /ε(Ave ε)2進(jìn)行分析，結(jié)果如圖3所示。

圖3 歸一化能量與散射元數(shù)量的關(guān)系Fig.3 Relation between normalized energy and scattering element quantity

由中心極限定理容易理解，隨著散射元數(shù)量的增大，回波幅度會(huì)趨近于高斯分布，且其分布的均值隨著散射元數(shù)量的增大而增大，而方差隨著散射元數(shù)量的增大而減小。當(dāng)散射元數(shù)量足夠大時(shí)，回波信號(hào)幅度滿足正太分布，此時(shí) V ar ε/ ( Ave ε)2將不再隨著散射元數(shù)量的變化而明顯變化。而相同散射元數(shù)量條件下，信號(hào)脈沖寬度越小，散射體群回波的重疊程度就越小，其回波信號(hào)偏離高斯分布的程度就越大，更有利于在高散射元數(shù)量密度條件下維持散射元數(shù)量與統(tǒng)計(jì)特征量的單調(diào)遞減關(guān)系。這就是圖 3中統(tǒng)計(jì)特征量隨著測(cè)量區(qū)間內(nèi)散射元數(shù)量的增加單調(diào)遞減，和圖2中利用窄脈沖寬度更有利于散射元數(shù)量密度評(píng)估的原因。

2.2 評(píng)估效果示例分析

在以上仿真條件下，對(duì)該方法散射元數(shù)量評(píng)估效果進(jìn)行仿真示例分析，結(jié)果如圖4所示。

可以看出在散射元數(shù)量較少的情況下，兩類信號(hào)均能獲得很好的評(píng)估效果。隨著散射元數(shù)量的增加，以脈沖寬度為0.4 ms的CW信號(hào)為探測(cè)信號(hào)時(shí)，該方法評(píng)估結(jié)果逐漸偏小，而脈沖寬度為0.1 ms的探測(cè)信號(hào)則能在更大散射元數(shù)量密度下獲得很好的評(píng)估效果，這與 2.1節(jié)中的分析是一致的。

圖4 兩種信號(hào)條件下評(píng)估效果示例Fig.4 Example of estimation effect under two signal conditions

2.3 誤差分析

由于散射體活動(dòng)的隨機(jī)性，能量統(tǒng)計(jì)特征量統(tǒng)計(jì)結(jié)果的穩(wěn)定性與統(tǒng)計(jì)中所用樣本的數(shù)量有關(guān)。實(shí)際上隨著測(cè)量區(qū)間內(nèi)散射元數(shù)量的增加，評(píng)估模型表達(dá)式的分母V ar ε/ ( Ave ε)2- 2＜C2＞將逐漸接近于0，若統(tǒng)計(jì)樣本量偏少，多次測(cè)量中評(píng)估結(jié)果將出現(xiàn)較大波動(dòng)，甚至可能出現(xiàn)明顯偏大和負(fù)數(shù)這樣的無(wú)效值，這也是圖4中評(píng)估結(jié)果起伏震蕩的原因。以測(cè)量區(qū)間內(nèi)散射元數(shù)量為400，探測(cè)信號(hào)脈沖寬度 0.1 ms為仿真條件，對(duì)統(tǒng)計(jì)樣本量分別為100與300時(shí)500次獨(dú)立仿真評(píng)估結(jié)果的分布進(jìn)行分析，結(jié)果如圖5所示。

圖5 不同樣本量條件下評(píng)估結(jié)果的穩(wěn)定性Fig.5 Stability of evaluation results under different sample size conditions

可以看出樣本量為100時(shí)，多次獨(dú)立仿真評(píng)估結(jié)果發(fā)散程度比較大，當(dāng)樣本量達(dá)到300時(shí)，評(píng)估結(jié)果能更好地收斂于真實(shí)值參考線附近。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文針對(duì)水下泥沙、氣泡、魚(yú)群等數(shù)量密度評(píng)估問(wèn)題，考慮這類水下目標(biāo)的聲學(xué)散射特征，建立一種基于回波能量統(tǒng)計(jì)的散射元數(shù)量密度評(píng)估模型。該模型僅需對(duì)回波信號(hào)的相對(duì)能量進(jìn)行統(tǒng)計(jì)計(jì)算，避免了聲吶參數(shù)校準(zhǔn)誤差對(duì)評(píng)估結(jié)果的影響。仿真結(jié)果表明，該模型更適用于散射元數(shù)量密度較小的情形，且通過(guò)減小探測(cè)信號(hào)的脈沖寬度和增大統(tǒng)計(jì)的樣本量有利于提高該模型的評(píng)估精度。