傳染病SIR模型在多層網(wǎng)絡(luò)上動力學行為分析

曹蓉 唐甜 童細心

【摘要】許多現(xiàn)實世界中的網(wǎng)絡(luò)都是相互關(guān)聯(lián)和依賴的，如水陸空組成的交通網(wǎng)絡(luò)和不同群體構(gòu)成的社會網(wǎng)絡(luò)等，由此形成具有復雜的拓撲結(jié)構(gòu)和動力學性態(tài)的多層次網(wǎng)絡(luò)，但此類網(wǎng)絡(luò)上的傳染病動力學還缺乏相關(guān)研究結(jié)果.根據(jù)平均場理論提出了一個多層耦合網(wǎng)絡(luò)上的傳染病SIR模型，以刻畫傳染病在多個種群或社區(qū)之間的傳播過程.首先給出模型的基本再生數(shù)和全局動力學行為，接著分析耦合結(jié)構(gòu)和感染力對傳播閾值和疫情的影響.結(jié)果表明發(fā)病率的相變?nèi)Q于有網(wǎng)絡(luò)拓撲結(jié)構(gòu)合傳播參數(shù)構(gòu)成的臨界值，而相互關(guān)聯(lián)結(jié)構(gòu)更容易造成疫情擴散，且內(nèi)部接觸比交叉接觸更容易引起疾病暴發(fā).

【關(guān)鍵詞】多層網(wǎng)絡(luò);傳染病平均場模型; 動力學行為;基本再生數(shù)

【基金項目】廣西自然科學基金（2017A030313699），汕頭職業(yè)技術(shù)學院2016年院級科研課題（SZK2016Y15）

引?言

隨著小世界和無標度性質(zhì)在眾多現(xiàn)實系統(tǒng)和結(jié)構(gòu)中的發(fā)現(xiàn)，復雜網(wǎng)絡(luò)近十多年逐漸變成了一個強大的科學工具，用以描述各種社會、經(jīng)濟、生物等系統(tǒng)的拓撲結(jié)構(gòu)，能更好地擬合異質(zhì)結(jié)構(gòu)，并更客觀地刻畫動力學和結(jié)構(gòu)的關(guān)聯(lián)特點.因現(xiàn)實網(wǎng)絡(luò)并不是單獨存在，而是相互依賴，且一個大系統(tǒng)往往蘊含多個層帶不同拓撲和功能的網(wǎng)絡(luò)，由此形成了一類新的復雜系統(tǒng)，即多層耦合網(wǎng)絡(luò).這類網(wǎng)絡(luò)廣泛存在于大型系統(tǒng)，如物流網(wǎng)，交通網(wǎng)和社團等，有著廣泛的應用背景和研究價值，比如分析路面的交通載量和電網(wǎng)的停電事件.探索多層耦合網(wǎng)絡(luò)的結(jié)構(gòu)特點和動力學性質(zhì)是近十年的研究熱點，此類網(wǎng)絡(luò)正在不斷地被用于刻畫傳染病在多種種群如人和動物之間的傳播，并獲得了一些新的進展，Allard等人利用鍵滲流理論模擬了多層網(wǎng)絡(luò)上的傳染病擴散過程; Funk等人根據(jù)物理機制建立了一個疊加網(wǎng)絡(luò)上的疾病傳播的建模方案，Dickison等人通過耦合網(wǎng)絡(luò)上的傳染病SIR模型，發(fā)現(xiàn)強耦合會使疾病擴散至整個網(wǎng)絡(luò)，而弱耦合會出現(xiàn)一個混合相圖，使疾病只能在一個子網(wǎng)絡(luò)上傳播.Saumell-Mendiola等人通過多層網(wǎng)絡(luò)上的平均場模型，子網(wǎng)耦合能使疾病更容易暴發(fā).傳染病動力學模型也越來越多地被用于研究網(wǎng)絡(luò)傳播性質(zhì)，但多層結(jié)構(gòu)和接觸模式對傳播動力學的影響還缺乏系統(tǒng)分析.本文利用平均場近似在兩層網(wǎng)絡(luò)相互作用的網(wǎng)絡(luò)上建立一個傳染病SIR模型，利用微分方程理論和數(shù)值模擬分析模型的動力學性態(tài)，建立傳染病動力學和層次網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)的關(guān)系.主要回答2個問題：什么條件會引起傳染病在層次網(wǎng)絡(luò)上的暴發(fā)？子網(wǎng)內(nèi)部和之間的耦合方式和節(jié)點的接觸模型如何影響著傳染病的傳播和擴散？上述問題的答案有助于更好地認識傳染病在多群體之間的傳播規(guī)律.

一、數(shù)學模型

首先根據(jù)子系統(tǒng)的耦合關(guān)系，給出一個由兩個相互依賴的子網(wǎng)絡(luò)A和B構(gòu)成的復雜網(wǎng)絡(luò)，每個子網(wǎng)由一個群體（節(jié)點）以及它們的連接（邊）構(gòu)成.不同群體的接觸模式的差異性對應兩種不同的連接方式，一種表示同一子網(wǎng)內(nèi)的個體連接（內(nèi)部連邊），另一種表示不同子網(wǎng)之間的個體連接（交叉連邊），故每個節(jié)點對應兩個度.因為群體內(nèi)部和交叉的連接的異質(zhì)性和多樣性，所以整個網(wǎng)絡(luò)具有異常復雜的拓撲結(jié)構(gòu).此網(wǎng)絡(luò)可以表示多種現(xiàn)實系統(tǒng)，如性接觸網(wǎng)絡(luò)，其中A，B分別表示男性和女性的性接觸網(wǎng)絡(luò)，子網(wǎng)內(nèi)部連接表示同性接觸，交叉連接表示異性接觸，如果節(jié)點是雙性戀，則同時存在內(nèi)部和交叉連接;也可表示媒介和宿主的接觸模式，A表示宿主如人，B表示媒介如動物，交叉連接表示宿主和媒介之間的接觸.

二、數(shù)學分析

三、數(shù)值分析

下面用數(shù)值模擬進一步探索傳播動力學.對于動物傳染病，宿主的接觸模式通常具有異質(zhì)性，而動物的交互作用具有同質(zhì)性，對應了兩種接觸網(wǎng)絡(luò)，隨機網(wǎng)絡(luò)和無標度網(wǎng)絡(luò).隨機網(wǎng)絡(luò)類似于均勻網(wǎng)絡(luò)，其度分布滿足泊松特性，而無標度網(wǎng)絡(luò)是非常不均勻的，其度分布滿足無標度特性.設(shè)A（B）是子網(wǎng)A（B）的內(nèi)部接觸模式，AB（BA）是子網(wǎng)A連接B（B連接A）的交叉接觸模式.所有的圖中子網(wǎng)A和B具有相同的節(jié)點數(shù).

基本再生數(shù)R0和總的感染人數(shù)ρA和ρB能反映流行病學的重要性質(zhì)，圖1和圖2表明了感染概率和接觸模式對它們的影響.由圖1和圖2可知，在任何的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)下感染率的增大都會使得R0和感染規(guī)模增大，而無標度結(jié)構(gòu)會使其增加更快.若所有的子網(wǎng)具有相同的結(jié)構(gòu)，則內(nèi)部感染和交叉感染對R0的作用相等，但若增加內(nèi)部感染率（λ11或λ22），會導致更大的R0和暴發(fā)規(guī)模，而交叉感染病（λ12和 λ21）則作用不明顯，主要原因是內(nèi)部感染率有雙重反應，感染同一子網(wǎng)的其他節(jié)點也可以被其他節(jié)點感染，而交叉感染率只有單個方向的作用.

四、結(jié)?論

本文建立了一個兩層耦合網(wǎng)絡(luò)上的傳播模型，并求解了模型的基本再生數(shù)，給出了疫情暴發(fā)的條件，并揭示了基本再生數(shù)與網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)合傳播參數(shù)的關(guān)系.結(jié)果表明傳播閾值受網(wǎng)絡(luò)的異質(zhì)性和平均度控制，這與單個網(wǎng)絡(luò)和二分圖網(wǎng)絡(luò)只受異質(zhì)性影響不同，說明層次結(jié)構(gòu)對傳播動力學的特殊性.另外多層網(wǎng)絡(luò)具有多個子結(jié)構(gòu)，其中最異質(zhì)的那個子結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)對傳播起決定作用.特別地，我們發(fā)現(xiàn)內(nèi)部接觸比交叉接觸更容易導致疾病傳播，這也說明了同性戀在性病傳播中的關(guān)鍵作用.

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