“反比例函數(shù)與相似三角形問題”的復(fù)習(xí)課課例分析

【中圖分類號】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識碼】A 【文章編號】2095-3089（2020）52-0085-02

一、教學(xué)背景分析

筆者吳博思老師在深圳市九年級數(shù)學(xué)教研會上為全市初中數(shù)學(xué)老師上了一節(jié)中考專題復(fù)習(xí)示范課。反比例函數(shù)是在學(xué)生學(xué)習(xí)了一次函數(shù)、二次函數(shù)的基礎(chǔ)上開始學(xué)習(xí)的，反比例函數(shù)的教學(xué)一方面豐富了用函數(shù)思想分析問題、解決問題的經(jīng)驗(yàn)，也為學(xué)生構(gòu)建數(shù)學(xué)模型奠定了基礎(chǔ)，在中學(xué)數(shù)學(xué)體系中占有重要的地位。作為九年級第一輪復(fù)習(xí)課，學(xué)生已經(jīng)學(xué)過了《反比例函數(shù)》和《相似三角形》全章的知識，掌握了反比例函數(shù)的概念、圖像、性質(zhì)，初步具有對反比例函數(shù)的有關(guān)問題進(jìn)行合作探究的意識與能力，會用反比例函數(shù)的知識解決一些簡單問題。為了與時(shí)下的中考熱點(diǎn)相結(jié)合，為大家提供一節(jié)有價(jià)值的復(fù)習(xí)課，筆者所在的備課組全體老師全力以赴、共同研究，經(jīng)過反復(fù)幾輪的備課、上課、評課等磨課活動，最終成功地展示了一節(jié)“反比例函數(shù)與相似三角形”的高效復(fù)習(xí)課。下面筆者談?wù)勥@節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)與反思，希望給同行一點(diǎn)啟發(fā)。

二、教學(xué)設(shè)計(jì)分析

設(shè)計(jì)分析：

初中階段最重要的三個(gè)相似三角形數(shù)學(xué)模型分別是“A字型”、“一線三等角模型”、“雙垂直模型”，也是學(xué)生思維重要的切入口。通過三道熱身訓(xùn)練，讓學(xué)生捕捉到反比函數(shù)當(dāng)中隱藏的相似三角形的模型，通過輔助線的添加能夠進(jìn)一步呈現(xiàn)模型。設(shè)計(jì)的目的就是抓住學(xué)生的心靈，激發(fā)學(xué)生的思維，為接下來的問題引入埋下伏筆，突出反比例函數(shù)與相似三角形結(jié)合的教學(xué)意圖，順理成章引出本節(jié)課的課題——反比例函數(shù)與相似三角形問題。本環(huán)節(jié)注重夯實(shí)知識點(diǎn)，對于反比例函數(shù)與相似三角形的綜合應(yīng)用采用啟發(fā)式教學(xué)，通過課前熱身的訓(xùn)練指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行知識的自我整理、自我質(zhì)疑，通過自我挑戰(zhàn)，達(dá)到自我提高的目標(biāo)。本環(huán)節(jié)將由學(xué)生自行探索題目中所蘊(yùn)含的相似三角形模型，一方面可培養(yǎng)學(xué)生的表達(dá)能力，另一方面又能培養(yǎng)及時(shí)歸納總結(jié)的好習(xí)慣。

2.慧眼識圖

（1）在解決反比例函數(shù)問題時(shí)，我們常添加的輔助線是過反比例函數(shù)上的點(diǎn)做____的____，構(gòu)造與k值相關(guān)的直角三角形。（請?jiān)谟覉D畫出）

（2）從上面的題目當(dāng)中，你可以發(fā)現(xiàn)哪些常見的數(shù)學(xué)模型？（請?jiān)谙路疆嫵鰜恚?/p>

設(shè)計(jì)分析：通過上一個(gè)環(huán)節(jié)的熱身訓(xùn)練，學(xué)生迅速找到解決反比例函數(shù)題目一般輔助線的添加方法，就是過反比例函數(shù)圖像上一點(diǎn)作坐標(biāo)軸的垂線，構(gòu)造與k值相關(guān)的直角三角形。從而將反比例函數(shù)與相似三角形幾個(gè)基本模型結(jié)合起來解決反比例函數(shù)的綜合問題。常見的幾何模型如下：

3.綜合運(yùn)用

設(shè)計(jì)說明：第一問的設(shè)置，可以通過過點(diǎn)A作x軸垂線來構(gòu)造A字型，亦可通過過點(diǎn)A作y軸垂線來構(gòu)造X字型，在運(yùn)用同底等高、面積比與相似比關(guān)系可以快速的得出k的值。有一部分學(xué)生通過直線解析式來求得三角形的底邊和高作為題目切入點(diǎn)也應(yīng)給予肯定。本題的解法具有多樣性，可以從不同的角度入手，培養(yǎng)學(xué)生一題多解的能力以及思維拓展能力，滲透數(shù)形結(jié)合思想。第二問的設(shè)置在第一小題的基礎(chǔ)上加上了旋轉(zhuǎn)的問題，本質(zhì)上還是通過構(gòu)造與k值相關(guān)的三角形，從而得到一線三等角模型，可快速得到答案。第三問的設(shè)置，通過構(gòu)造與k值相關(guān)的三角形，再利用雙垂直模型，結(jié)合射影定理可以找出滿足條件的三個(gè)點(diǎn)。解決反比例函數(shù)圖像問題與面積問題的核心知識就是構(gòu)造與k值相關(guān)的三角形，目的是讓孩子通過構(gòu)造與k值相關(guān)的三角形，從而結(jié)合相似三角形模型以及結(jié)論來快速得到問題解決。

4.變式訓(xùn)練

設(shè)計(jì)意圖：通過構(gòu)造一線三等角模型，從而通過相似三角形的面積比是相似比的平方，可以快速得到角度的正切值。此題，加深學(xué)生的識圖能力、觀察能力和數(shù)學(xué)建模思想。

5.課堂小結(jié)

本節(jié)課可歸納為：構(gòu)造與k值相關(guān)的三角形，構(gòu)建基本幾何模型，運(yùn)用思想方法，找到通解解法。

設(shè)計(jì)分析：本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)是探究反比例函數(shù)圖像與基本幾何模型的問題。解決此類問題的關(guān)鍵是：（1）抓住基本圖形，與k值相關(guān)的面積三角形;（2）構(gòu)建基本幾何模型，如A字型，一線三等角，雙垂直模型等;（3）運(yùn)用思想方法，如同底等高思想，相似比與面積比，射影定理等，這樣問題就能達(dá)到高質(zhì)量高效的解決。從而體現(xiàn)數(shù)學(xué)教學(xué)思想中的數(shù)形結(jié)合思想和轉(zhuǎn)化思想。

三、總結(jié)

數(shù)學(xué)如同一道營養(yǎng)大餐，這里需要老師適當(dāng)添加佐料，調(diào)其色，增其香，美其味，使之成為人見人愛的佳肴。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，我們要不斷地滲透數(shù)學(xué)思想，如數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)化思想等等。我們要不斷地激發(fā)學(xué)生的思維興趣，培養(yǎng)學(xué)生的識圖能力、觀察能力和建模的能力。通過這節(jié)課后，與學(xué)生的交談發(fā)現(xiàn)，學(xué)生以前特別害怕解決反比例函數(shù)的綜合問題，往往孩子們無從下手。而通過這節(jié)課學(xué)生學(xué)會了解決這一類問題的簡捷方法。教學(xué)水平的高低，很大程度取決于課堂教學(xué)設(shè)計(jì)。通過對數(shù)學(xué)問題多角度、多層次的思考，有意識、有目的地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì)，從“不變”的本質(zhì)中探究“變”的規(guī)律，使所有知識點(diǎn)融會貫通、使思維在所學(xué)知識中游刃有余、靈活變通，實(shí)現(xiàn)在無窮的變化中領(lǐng)略數(shù)學(xué)的魅力，使學(xué)生心目中枯燥乏味的數(shù)學(xué)變得生機(jī)盎然。數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課老師要把握好的方法，力求精準(zhǔn)設(shè)計(jì)、激活思維。精準(zhǔn)設(shè)計(jì)就是題目的設(shè)計(jì)要有針對性，對學(xué)生普遍存在困惑的問題和錯誤率較高的題目要予以重點(diǎn)剖析，做到精準(zhǔn)的從題目中提取考點(diǎn)和模型，準(zhǔn)確運(yùn)用所提取的模型和方法來分析問題、解決問題。激活思維就是不能僅局限于為解決一道題目而講解一道題目，而應(yīng)該在精準(zhǔn)設(shè)計(jì)的基礎(chǔ)上能夠激活學(xué)生的思維，滲透重要數(shù)學(xué)思想。學(xué)生通過本節(jié)復(fù)習(xí)課的學(xué)習(xí)，能夠靈活運(yùn)用自己探索出來的數(shù)學(xué)方法，做到一題多解或一解多題。這樣不僅可以鞏固知識，而且可以從中找到哪一種是最基本、最典型的方法，哪一種是最簡便的方法。使學(xué)生掌握解題的共性共法。同時(shí)，也使學(xué)生知道不同對象要不同對待，要針對各種題型不同的特點(diǎn)，采用特定的解法。這樣舉一反三，可以起到事半功倍的作用，擺脫題海戰(zhàn)術(shù)，真正從應(yīng)試教育向素質(zhì)教育轉(zhuǎn)變。在復(fù)習(xí)課教學(xué)過程中， 要堅(jiān)持自主、合作、探究、交流的教學(xué)原則，給予學(xué)生充分思考的空間，使學(xué)生在主動思考探究的過程中自然的獲得了方法。