關(guān)于高職高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的教學(xué)策略的探究

魏小紅

【摘要】函數(shù)是高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中重要的組成部分，是學(xué)生所學(xué)高等數(shù)學(xué)的重點(diǎn)知識(shí).函數(shù)連續(xù)性是高職高等數(shù)學(xué)教學(xué)中的一個(gè)基本概念.注重并不斷強(qiáng)化函數(shù)連續(xù)性教學(xué)對(duì)于提高高職高等數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量具有十分重要的作用.在實(shí)際教學(xué)中，教師要?jiǎng)?chuàng)新其教學(xué)方式，注重?cái)?shù)學(xué)思想與函數(shù)知識(shí)的有效結(jié)合，從而提高學(xué)生的數(shù)學(xué)知識(shí)水平，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，促進(jìn)學(xué)生綜合能力的全面提升.由于函數(shù)連續(xù)性是學(xué)生較難理解與掌握的知識(shí)點(diǎn)之一，所以數(shù)學(xué)教師需要了解函數(shù)連續(xù)性學(xué)習(xí)的難度，并實(shí)施有效的教學(xué)策略，從而使學(xué)生的理解與掌握質(zhì)量與效率大幅度提升.我經(jīng)過(guò)多年的教學(xué)實(shí)踐知道，采用反例教學(xué)法，分析函數(shù)圖像，可使學(xué)生有效理解函數(shù)連續(xù)性.

【關(guān)鍵詞】高職;高等數(shù)學(xué);函數(shù);連續(xù)性;教學(xué)策略

高職高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)連續(xù)性是學(xué)生必須要深度掌握的知識(shí)點(diǎn)，原因是此知識(shí)點(diǎn)關(guān)系著學(xué)生對(duì)一元函數(shù)微積分、導(dǎo)數(shù)、定積分等概念的理解程度.學(xué)生在學(xué)習(xí)函數(shù)連續(xù)性時(shí)，由于此知識(shí)點(diǎn)較為抽象，無(wú)法深刻理解此知識(shí)點(diǎn)，無(wú)法有效把握連續(xù)性的本質(zhì)，從而使數(shù)學(xué)能力的成長(zhǎng)受到了嚴(yán)重的阻滯.基于函數(shù)連續(xù)性的概念對(duì)高職學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要性，在講解函數(shù)連續(xù)性時(shí)，高職數(shù)學(xué)教師必須加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的引導(dǎo)，努力讓學(xué)生更好地把握函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征，并指導(dǎo)學(xué)生有效掌握函數(shù)連續(xù)性的學(xué)習(xí)方法.同時(shí)，數(shù)學(xué)教師還需要運(yùn)用有效的教學(xué)策略解決學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中存在的困難，從而使函數(shù)連續(xù)性高質(zhì)量、高效率地被學(xué)生掌握.

一、高職學(xué)生無(wú)法掌握函數(shù)連續(xù)性的因素分析

（一）學(xué)生缺乏抽象概括能力

學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的過(guò)程中，對(duì)于學(xué)生的抽象概括能力有較強(qiáng)的要求.抽象概括能力是學(xué)生學(xué)習(xí)與內(nèi)化知識(shí)的思維過(guò)程.抽象概括就是能夠抽出事物的本質(zhì)屬性并將其有效連接起來(lái).函數(shù)連續(xù)性的概念是通過(guò)抽象概括而形成的，所以學(xué)生在具體的學(xué)習(xí)中只有經(jīng)過(guò)抽象概括，才能從根本上把握函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)和規(guī)律.由于高等數(shù)學(xué)具有較強(qiáng)的抽象思維，所以學(xué)生需要具備抽象的理解數(shù)學(xué)概念的能力.多數(shù)高職學(xué)生不會(huì)學(xué)習(xí)，并在高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的學(xué)習(xí)中表現(xiàn)出缺乏抽象概括能力的特點(diǎn).所以，數(shù)學(xué)教師要根據(jù)學(xué)生的這一特點(diǎn)，改變教學(xué)策略，培養(yǎng)學(xué)生的抽象概括能力.

（二）學(xué)生不適應(yīng)極限思想與方法

由高等數(shù)學(xué)的知識(shí)構(gòu)建可知，高等數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容是建立在極限理論基礎(chǔ)之上的，且以極限作為研究函數(shù)的工具，所以，在研究函數(shù)時(shí)所運(yùn)用的思維方式是從“靜態(tài)”轉(zhuǎn)變成“動(dòng)態(tài)”.所謂極限思想是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種重要的數(shù)學(xué)思想，其不僅能夠反映出數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)，同時(shí)還能夠有效實(shí)現(xiàn)形象思維向抽象思維的轉(zhuǎn)化.由于學(xué)生在學(xué)習(xí)時(shí)需要運(yùn)用極限思想研究函數(shù)的動(dòng)態(tài)特性，因此，在學(xué)習(xí)函數(shù)連續(xù)性數(shù)學(xué)知識(shí)的過(guò)程中，學(xué)生需要不斷適應(yīng)并掌握相應(yīng)的極限思想與方法，這樣不但可以提高其抽象思維能力，而且有助于其更好地掌握學(xué)習(xí)函數(shù)連續(xù)性的思想和方法.但是，實(shí)際教學(xué)中，縱觀高職學(xué)生認(rèn)知水平可知，學(xué)生對(duì)極限思想與方法完全不適應(yīng)，這樣不僅不利于函數(shù)連續(xù)性教學(xué)的有效提升與發(fā)展，而且會(huì)導(dǎo)致學(xué)生由于對(duì)極限思想這種重要的思想方法的缺失，對(duì)其今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)以及能力的培養(yǎng)都會(huì)產(chǎn)生負(fù)面的影響.

（三）簡(jiǎn)化教材

函數(shù)連續(xù)性是對(duì)函數(shù)知識(shí)的進(jìn)一步討論，同時(shí)連續(xù)性是初等函數(shù)的重要性質(zhì).高職《高等數(shù)學(xué)》教材是根據(jù)高職學(xué)生的特點(diǎn)進(jìn)行編寫(xiě)的.教材內(nèi)容呈現(xiàn)“必需、夠用”的特點(diǎn)，理論難度與知識(shí)內(nèi)容進(jìn)行了簡(jiǎn)化.例如：教材中的“函數(shù)連續(xù)性”內(nèi)容，只給出了概念，而缺乏必要的例證.高職數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中簡(jiǎn)化的教學(xué)內(nèi)容使學(xué)生在閱讀概念時(shí)，很難把握函數(shù)連續(xù)性的基本概念，無(wú)法理解實(shí)質(zhì)含義，導(dǎo)致其對(duì)函數(shù)連續(xù)性的理解不夠深.

（四）教學(xué)方式缺乏創(chuàng)新，學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣不高

由于高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性教學(xué)本身具有很強(qiáng)的抽象性和復(fù)雜性，所以學(xué)生學(xué)習(xí)起來(lái)存在一定的難度.但是很多實(shí)際教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師仍然是簡(jiǎn)單地將課本知識(shí)傳授給學(xué)生，缺乏教學(xué)方式的創(chuàng)新與改革，同時(shí)在教學(xué)過(guò)程中沒(méi)有考慮高職學(xué)生的學(xué)習(xí)特點(diǎn)，沒(méi)有激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，也忽視了學(xué)生理解應(yīng)用和綜合素質(zhì)的培養(yǎng)，從而從一定程度上阻礙了函數(shù)連續(xù)性教學(xué)水平的提升.

二、函數(shù)連續(xù)性的教學(xué)策略

（一）抓住本質(zhì)特征

對(duì)于函數(shù)連續(xù)性的簡(jiǎn)單理解，即如果一個(gè)函數(shù)的圖像可以一筆畫(huà)出來(lái)，整個(gè)過(guò)程不用抬筆，那么這個(gè)函數(shù)就是連續(xù)函數(shù).高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性教學(xué)中，數(shù)學(xué)教師需要通過(guò)有效事物或者生活中的實(shí)例將函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)特征體現(xiàn)出來(lái)，然后再幫助學(xué)生在對(duì)本質(zhì)特征有所把握的基礎(chǔ)上，通過(guò)生活中事物的現(xiàn)象讓學(xué)生直觀感知連續(xù)的概念，逐漸增強(qiáng)學(xué)生對(duì)函數(shù)連續(xù)性的認(rèn)識(shí)程度.客觀世界中各種物質(zhì)、現(xiàn)象的連續(xù)變化反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.教師可以應(yīng)用生活中的實(shí)例，如溫度的變化、植物的生長(zhǎng)、四季的變化、物體運(yùn)動(dòng)路程的變化、金屬絲加熱或冷卻時(shí)長(zhǎng)度的變化等，讓學(xué)生了解連續(xù)性.教師還可以利用現(xiàn)實(shí)中的變化幫助學(xué)生對(duì)實(shí)際生活中的現(xiàn)象進(jìn)行抽象理解，再反映在函數(shù)關(guān)系上，此過(guò)程只能培養(yǎng)學(xué)生初步抽象能力.所以，教師還需要進(jìn)一步幫助學(xué)生加深對(duì)連續(xù)性的理解，比如植物生長(zhǎng)到一定的高度后，大家一般認(rèn)為植物的高度不會(huì)再變化，但實(shí)質(zhì)上植物每天都在不停地變化著，變化過(guò)程從未間斷過(guò).如果從函數(shù)關(guān)系角度分析，上述現(xiàn)象可以表明函數(shù)自變量在某一個(gè)區(qū)間連續(xù)變化時(shí)，變量也會(huì)產(chǎn)生連續(xù)變化.教師引入生活實(shí)例進(jìn)行教學(xué)，可以讓學(xué)生有效掌握函數(shù)連續(xù)性的本質(zhì)，使其理解能力大大提高.

（二）函數(shù)連續(xù)性的研究方法

函數(shù)連續(xù)性反映出了現(xiàn)實(shí)的客觀物質(zhì)世界中存在的連續(xù)動(dòng)態(tài)變化現(xiàn)象.教師在傳授函數(shù)連續(xù)性知識(shí)時(shí)，要引導(dǎo)學(xué)生掌握和理解函數(shù)連續(xù)性的研究方法，比如需要引導(dǎo)學(xué)生先掌握函數(shù)在一點(diǎn)處開(kāi)始連續(xù).在教學(xué)中，教師可以引用生活中的實(shí)例，如彈簧在受到彈力的作用下會(huì)連續(xù)地進(jìn)行收縮，如果運(yùn)用外力往一邊扯，連續(xù)性的收縮就會(huì)被迫停止，從而使學(xué)生明白函數(shù)連續(xù)性.同時(shí)，教師還可以讓學(xué)生觀察函數(shù)圖像，使學(xué)生明白某一函數(shù)曲線(xiàn)上有一動(dòng)點(diǎn)能夠沿著這一函數(shù)曲線(xiàn)順暢移動(dòng)則說(shuō)明該函數(shù)連續(xù).這樣的分析過(guò)程可以使學(xué)生能夠快速理解：曲線(xiàn)上的一個(gè)點(diǎn)可以決定函數(shù)某個(gè)區(qū)間上的連續(xù)性，從而有效培養(yǎng)學(xué)生掌握函數(shù)在一點(diǎn)上的連續(xù)性.

（三）函數(shù)連續(xù)性定義

數(shù)學(xué)概念的形成是通過(guò)對(duì)客觀現(xiàn)象的探索與分析，從而總結(jié)出的結(jié)論.數(shù)學(xué)教師在傳授函數(shù)連續(xù)性概念時(shí)，可以再現(xiàn)研究情景，讓學(xué)生了解概念形成的過(guò)程，讓學(xué)生了解概念形成的背景.如果教師依然采取以往“灌輸式”的教育方式，把概念講解完成后并要求學(xué)生記憶，這會(huì)使學(xué)生的抽象概括能力無(wú)法有效提升.教師在傳授函數(shù)連續(xù)性知識(shí)時(shí)，還可以運(yùn)用多媒體技術(shù)把生活實(shí)際中的有關(guān)連續(xù)性的事例展現(xiàn)給學(xué)生.函數(shù)連續(xù)性的定義存在兩種形式：一是如果函數(shù)在某一領(lǐng)域存在定義，當(dāng)自變量的增量無(wú)限趨近于零時(shí)，所對(duì)應(yīng)的增量也無(wú)限趨近于零，函數(shù)在此點(diǎn)連續(xù);二是如果函數(shù)在某一領(lǐng)域存在定義，函數(shù)某點(diǎn)處的極限存在，且極限等于函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值，則函數(shù)在這個(gè)點(diǎn)處存在連續(xù)性.函數(shù)的連續(xù)性是建立在極限概念基礎(chǔ)上的.函數(shù)連續(xù)性概念的學(xué)習(xí)能夠?yàn)橐院笪⒎e分的學(xué)習(xí)做鋪墊，具有承上啟下的作用.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿(mǎn)足三個(gè)條件，比如函數(shù)f（x）在點(diǎn)x=x0處連續(xù)，應(yīng)該滿(mǎn)足：（1）函數(shù)f（x）在x=x0處有定義;（2）函數(shù) f（x）在x=x.處的極限存在;（3） 函數(shù)f（x）在x=x0處的極限值等于這一點(diǎn)的函數(shù)值.學(xué)生只有充分了解函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)需要滿(mǎn)足的條件，才能得出函數(shù)在這一點(diǎn)連續(xù)的定義.每個(gè)版本的教材給出的兩個(gè)定義具有順序不同的特點(diǎn)，教師只需要讓學(xué)生理解函數(shù)在某點(diǎn)的連續(xù)性，且必須要滿(mǎn)足條件即可.

例如，以函數(shù)第二個(gè)定義為例，考查函數(shù)y=x2-1[]x-1在x=1點(diǎn)處的變化.

從圖像可知，此函數(shù)圖像是直線(xiàn)y=x+1去掉了點(diǎn)（1，2），從圖像可知，此函數(shù)在x=1處被阻滯，切斷了連續(xù)性，分析原因可知，是由于函數(shù)在此點(diǎn)無(wú)定義.從此過(guò)程可知，函數(shù)在無(wú)定義的情況下，連續(xù)會(huì)被中斷，不再產(chǎn)生連續(xù).舉例不僅可以體現(xiàn)出函數(shù)連續(xù)性的實(shí)質(zhì)，還可以引導(dǎo)學(xué)生充分把握函數(shù)連續(xù)性的定義.

（四）把握函數(shù)連續(xù)性的整體概念

函數(shù)連續(xù)性的學(xué)習(xí)，不能只局限于將函數(shù)連續(xù)性的概念定義成某一點(diǎn)的連續(xù)，同時(shí)還要了解并掌握函數(shù)在開(kāi)區(qū)間或閉區(qū)間連續(xù)的定義以及其具體性質(zhì)，這樣才能真正體現(xiàn)出函數(shù)連續(xù)性的概念.高職數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的概念具有完整性，這就需要數(shù)學(xué)教師在實(shí)際教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)，促使學(xué)生建立完整的函數(shù)連續(xù)性概念.教師要根據(jù)在一點(diǎn)連續(xù)的定義來(lái)定義在一個(gè)開(kāi)區(qū)間內(nèi)連續(xù)的定義.數(shù)學(xué)教師要通過(guò)有效的教學(xué)方式，引導(dǎo)學(xué)生能夠通過(guò)區(qū)間是由點(diǎn)組成的，進(jìn)行概念的順應(yīng)，得出函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)的概念，從而有效把握函數(shù)連續(xù)性的整體概念.

例如，如果函數(shù)f（x）在某一開(kāi)區(qū)間（a，b）上每一點(diǎn)處連續(xù)，就說(shuō)函數(shù)f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）上連續(xù)，或f（x）是開(kāi)區(qū)間（a，b）上的連續(xù)函數(shù).f（x）在開(kāi)區(qū)間（a，b）上的每一點(diǎn)以及在a點(diǎn)處左限存在等于f（a）的情況，在b點(diǎn)處右極限存在等于f（b）的情況，這樣就可以通過(guò)函數(shù)在區(qū)間點(diǎn)之間的連續(xù)，定義函數(shù)在閉區(qū)間[a，b]上也是連續(xù)的.函數(shù)的定義域若是連續(xù)的，數(shù)學(xué)教師要以函數(shù)在一點(diǎn)的連續(xù)性為基礎(chǔ)，引導(dǎo)學(xué)生把握函數(shù)連續(xù)性的整體概念.

三、提升函數(shù)連續(xù)性教學(xué)質(zhì)量的策略分析

對(duì)于高等數(shù)學(xué)函數(shù)連續(xù)性的教學(xué)，教師除了必要的基礎(chǔ)概念教學(xué)，還需要針對(duì)具體的教學(xué)內(nèi)容，不斷創(chuàng)新實(shí)際的教學(xué)方式，從而激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)函數(shù)連續(xù)性的興趣，提高學(xué)生學(xué)習(xí)的自主性與積極性.數(shù)學(xué)教師要以學(xué)生的實(shí)際學(xué)習(xí)能力為基礎(chǔ)，不斷豐富教學(xué)內(nèi)容，引入生活中常見(jiàn)的事物作為教學(xué)案例，強(qiáng)化學(xué)生的抽象概括能力，加深學(xué)生對(duì)于極限思想的應(yīng)用水平，同時(shí)結(jié)合多媒體等信息技術(shù)手段，將函數(shù)連續(xù)性教學(xué)的抽象化變得具體化，優(yōu)化教學(xué)過(guò)程，這對(duì)于實(shí)現(xiàn)教學(xué)目標(biāo)以及提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)都具有良好的推動(dòng)作用.數(shù)學(xué)教師要針對(duì)函數(shù)連續(xù)性的具體應(yīng)用，不斷改革數(shù)學(xué)教學(xué)模式，充實(shí)和調(diào)整教學(xué)內(nèi)容，進(jìn)而提高教學(xué)的實(shí)效性.

四、結(jié)束語(yǔ)

總而言之，高等數(shù)學(xué)中的函數(shù)連續(xù)性知識(shí)是高職學(xué)生掌握起來(lái)難度較大的知識(shí)點(diǎn)，且影響著其他知識(shí)的理解和學(xué)習(xí).數(shù)學(xué)教師需要針對(duì)難點(diǎn)制訂教學(xué)策略，運(yùn)用生活實(shí)例了解函數(shù)連續(xù)性并引入函數(shù)連續(xù)性知識(shí)，使學(xué)生的理解能力與掌握能力大幅度提升.在具體的函數(shù)連續(xù)性教學(xué)過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師不僅要合理應(yīng)用反例以及圖像進(jìn)行相關(guān)函數(shù)連續(xù)性知識(shí)和概念的教學(xué)，還要針對(duì)學(xué)生的具體學(xué)習(xí)情況，改善并創(chuàng)新教學(xué)方式，通過(guò)有效的教學(xué)手段不斷提高學(xué)生的抽象概括能力，以及強(qiáng)化學(xué)生對(duì)于極限思想的把握與運(yùn)用，進(jìn)而不斷提高學(xué)生對(duì)于函數(shù)連續(xù)性概念了解的完整性，提高高職高等數(shù)學(xué)的教學(xué)有效性.

【參考文獻(xiàn)】

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