考慮大變形的深水立管渦激振動(dòng)非線(xiàn)性分析方法

吳學(xué)敏,滕文剛,王 輝

(1.中國(guó)海洋大學(xué)山東省海洋工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,山東青島 266100; 2.青島農(nóng)業(yè)大學(xué)建筑工程學(xué)院,山東青島 266109; 3.中石油華東設(shè)計(jì)有限公司,山東青島 266000)

一直以來(lái),深水立管渦激振動(dòng)的橫向振動(dòng)(垂直于立管軸向的振動(dòng))得到了國(guó)內(nèi)外學(xué)者的廣泛深入的研究[1]。目前國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)參激振動(dòng)和橫向振動(dòng)的耦合振動(dòng)也有不少研究成果[2-8],但涉及考慮立管大變形的參激振動(dòng)和橫向振動(dòng)的耦合振動(dòng)研究較少。筆者在以往提出的考慮大變形深水立管渦激振動(dòng)模型[9-15]的基礎(chǔ)上,考慮深水立管頂端浮體的垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)立管渦激振動(dòng)的影響,提出考慮大變形的深水立管參激振動(dòng)與渦激振動(dòng)的耦合振動(dòng)模型(以下統(tǒng)稱(chēng)耦合模型),并在此模型的基礎(chǔ)上研究考慮大變形(結(jié)構(gòu)撓度與結(jié)構(gòu)直徑比例大于1.0即認(rèn)為發(fā)生了大變形)時(shí)參數(shù)激擾對(duì)立管渦激振動(dòng)響應(yīng)的影響。

1 數(shù)學(xué)模型

圖1為深海立管坐標(biāo)系的選取及彎曲示意圖。由考慮大變形的深水立管的渦激振動(dòng)模型[9]得順流向運(yùn)動(dòng)方程和橫向運(yùn)動(dòng)方程。

圖1 立管彎曲示意圖Fig.1 Riser bending schematic diagram

順流向運(yùn)動(dòng)方程為

(1)

橫向運(yùn)動(dòng)方程為

(2)

參激振動(dòng)與渦激振動(dòng)的耦合振動(dòng)模型[14]的順流向運(yùn)動(dòng)方程為

(3)

橫向運(yùn)動(dòng)方程為

(4)

式中,GAs為立管的抗剪剛度。

模型假設(shè)立管的軸線(xiàn)不可伸長(zhǎng),現(xiàn)將兩模型通過(guò)幾何變形數(shù)值疊加得到考慮大變形的深水立管參激與渦激振動(dòng)耦合模型,其順流向運(yùn)動(dòng)方程為

(5)

橫向運(yùn)動(dòng)方程為

(6)

2 數(shù)值分析

2.1 數(shù)值求解

分析提出的模型特點(diǎn)發(fā)現(xiàn),參數(shù)激擾對(duì)結(jié)構(gòu)影響與結(jié)構(gòu)的撓度、支座位移有關(guān),而結(jié)構(gòu)的撓度和支座位移是隨時(shí)間不斷變化的,系統(tǒng)的非線(xiàn)性特征較明顯,所以對(duì)于運(yùn)動(dòng)方程的數(shù)值求解采用適用于非線(xiàn)性系統(tǒng)的Newmark-β法的增量形式進(jìn)行求解。依據(jù)Newmark-β逐步積分法,δ和β是與精度和穩(wěn)定性有關(guān)的參數(shù)。當(dāng)δ>0.5時(shí),將產(chǎn)生算法阻尼,從而使振幅人為衰減;當(dāng)δ<0.5時(shí),產(chǎn)生負(fù)阻尼,積分計(jì)算過(guò)程中振幅逐步增長(zhǎng),通常取臨界值δ=0.5,β=0.25×(0.5+δ)2=0.25,此時(shí)的積分無(wú)條件穩(wěn)定[13]。

當(dāng)支座位移是定常值時(shí),則問(wèn)題回到梁的復(fù)雜彎曲振動(dòng)。因此考慮立管頂端邊界支座位移隨時(shí)間變化的情況。

設(shè)

u(z,t)=u0λ(t),

(7)

則

(8)

式中,u(z,t)為立管頂端位移;u0為立管頂端位移幅值;l為立管長(zhǎng)度;λ(t)為一個(gè)已知時(shí)間函數(shù)。

λ(t)的取值根據(jù)參數(shù)激擾結(jié)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)規(guī)律得到,對(duì)于深水立管結(jié)構(gòu)而言,主要考慮立管頂部浮體垂蕩運(yùn)動(dòng)的影響。本文中主要研究在浮體的垂蕩運(yùn)動(dòng)影響下立管的渦激振動(dòng)。

此時(shí),立管的渦激振動(dòng)模型式(5)和(6)化為

(9)

(10)

分析式(9)和(10)可知,在有橫向擾動(dòng)的條件下,參數(shù)激擾將與橫向激擾組合對(duì)立管渦激振動(dòng)產(chǎn)生影響。由于參數(shù)激擾的大小與立管橫向彎曲的撓度有關(guān),因此考慮參數(shù)激擾時(shí),系統(tǒng)的彎曲振動(dòng)方程是一個(gè)隱式方程。式(9)和式(10)可分別表示為

(11)

(12)

將式(11)、(12)分離變量后得到的形式為

(13)

(14)

利用振型的正交性將式(13)、(14)簡(jiǎn)化為

(15)

其中

式(15)右端的第二項(xiàng)中包括未知的廣義坐標(biāo)響應(yīng),因此只要支座位移不是常數(shù),就必須采用數(shù)值方法求解。式(15)的非迭代格式可表示為

(16)

而迭代格式可表示為

(17)

2.2 模型驗(yàn)證

以提出的考慮參數(shù)激擾的深水立管渦激振動(dòng)模型(式(9)和(10))為計(jì)算原理,編制相應(yīng)的深水立管渦激振動(dòng)響應(yīng)計(jì)算程序TTRPD1.0。

將提出的深水立管渦激振動(dòng)模型應(yīng)用于深水頂張力立管的渦激振動(dòng)響應(yīng)分析,并同立管渦激振動(dòng)分析軟件shear7的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比(圖2)。shear7只能計(jì)算立管橫向振動(dòng)響應(yīng)的均方根位移,所以程序TTRPD1.0只計(jì)算了橫向振動(dòng)的均方根位移。

圖2 位移均方根分布(一端固定一端簡(jiǎn)支)Fig.2 Root meam square distribution of displacement along top tensioned riser

3 算例分析

3.1 基礎(chǔ)參數(shù)及邊界和初始條件

基礎(chǔ)參數(shù):立管長(zhǎng)度為1 500 m,外徑為0.323 9 m,內(nèi)徑為0.285 m,彈性模量為207 GPa,剪切模量為79 kPa,材料密度為7 850 kg/m3,立管的頂張力為5 400 kN,阻尼系數(shù)為0.05。環(huán)境荷載模擬海流流速分別為0.06、0.1、0.2、0.4、0.6、0.8和1.0 m/s。響應(yīng)參數(shù):拖曳系數(shù)為1.0,附加質(zhì)量系數(shù)為1.0,升力系數(shù)為0.9。這里只計(jì)算深水立管在勻速海流作用下的渦激振動(dòng)響應(yīng)。深水頂張力立管在海底是通過(guò)深水插式連接器與井口連接,其上為錐形的應(yīng)力接頭,因此應(yīng)力接頭處設(shè)置固定端約束較為合理。本文中主要研究深水半潛式鉆井平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)深水立管渦激振動(dòng)的影響,將頂張力立管的頂端視為可以沿著立管軸向發(fā)生位移的簡(jiǎn)支端。

3.2 動(dòng)力響應(yīng)

選取立管兩向渦激振動(dòng)發(fā)生最大位移的節(jié)點(diǎn)作為參考點(diǎn)研究其響應(yīng)特征,研究不同流速下,參激激擾對(duì)立管響應(yīng)的影響,此時(shí)立管頂部浮體的垂蕩運(yùn)動(dòng)幅值取為A=3.0 m,垂蕩頻率取為ω=1.6 rad/s。圖3為不同均勻流荷載作用下立管耦合模型與不考慮參數(shù)激擾的非耦合模型的對(duì)比位移時(shí)程。

3.2.1 位移時(shí)程

(1)橫向渦激振動(dòng)響應(yīng)。由圖3可見(jiàn),流速為0.06 m/s時(shí),耦合振動(dòng)模型與不考慮參激振動(dòng)的非耦合模型在參考點(diǎn)處的時(shí)程曲線(xiàn)幾乎重合。由式(9)知,參數(shù)激擾與立管結(jié)構(gòu)的曲率密切相關(guān),在低流速下,立管結(jié)構(gòu)的變形較小,相應(yīng)結(jié)構(gòu)的局部曲率較小,此時(shí)參數(shù)激擾對(duì)渦激振動(dòng)幾乎沒(méi)有影響,這一點(diǎn)與理論分析相對(duì)應(yīng)。此時(shí)參數(shù)激擾對(duì)立管振動(dòng)響應(yīng)的影響可忽略。同時(shí)也證明了計(jì)算程序的正確性。

圖3 不同流速時(shí)的立管橫流向位移時(shí)程Fig.3 Time-history curve of cross-flow vibration at different velocity of flow

表1為立管響應(yīng)位移最大的點(diǎn)在兩種模型下的振幅變化情況。由表1和式(9)分析可知,參數(shù)激擾對(duì)立管渦激振動(dòng)的影響不僅與環(huán)境荷載有關(guān),而且與參數(shù)激擾的幅值和頻率相關(guān)。立管頂部平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)立管橫向渦激振動(dòng)響應(yīng)振幅的影響較小,當(dāng)流速為0.4 m/s時(shí),振幅增加最大為5%。并且立管頂部平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)立管渦激振動(dòng)響應(yīng)的影響并不是隨著流速的增大而增大,因此立管頂部平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)立管橫向渦激振動(dòng)響應(yīng)的影響是環(huán)境荷載的函數(shù),但兩者并非線(xiàn)性關(guān)系。

表1 立管響應(yīng)位移最大點(diǎn)的橫向振幅Table 1 Vortex-induced vibration amplitude of cross-flow direction at max displacement happened

(2)順流向渦激振動(dòng)響應(yīng)。圖4為不同均勻流荷載作用下立管渦激振動(dòng)順流向的響應(yīng)時(shí)程。表2為參數(shù)激擾對(duì)立管順流向振幅的影響。從圖4中可以看出,參數(shù)激擾對(duì)立管的渦激振動(dòng)順流向響應(yīng)的影響同樣是隨著流速變化而變化。

圖4 不同流速時(shí)立管順流向位移時(shí)程Fig.4 Time-history curve of in-line vibration at different velocity of flow

表2 參數(shù)激擾對(duì)立管順流向振幅的影響Table 2 Vortex-induced vibration amplitude of in-line direction coupled parameter excited vibration

分析立管順流向振動(dòng)位移時(shí)程圖4和表2可知,參數(shù)激擾對(duì)順流向響應(yīng)的影響較大。平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)對(duì)立管順流向渦激振動(dòng)響應(yīng)幅值的影響較大。并且在不同流速下,平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)的影響是立管環(huán)境荷載的函數(shù),但兩者之間并不呈線(xiàn)性關(guān)系。

將立管順流向振動(dòng)響應(yīng)的時(shí)程經(jīng)傅里葉變化得到立管順流向振動(dòng)的頻譜圖,如圖5所示。

分析立管在不同流速下順流向振動(dòng)的頻譜圖可知,平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)影響了立管的響應(yīng)頻率,并且在不同流速下,其影響程度不同,耦合模型的響應(yīng)頻率多于非耦合模型的響應(yīng)頻率。

3.2.2 位形分析

圖6為立管在不同流速下發(fā)生最大位移時(shí)的位形圖。

分析立管響應(yīng)的兩向位形圖可知,參數(shù)激擾對(duì)順流向響應(yīng)的影響,包括振幅和頻率的影響都明顯大于對(duì)橫向振動(dòng)響應(yīng)的影響?？紤]參數(shù)激擾的耦合振動(dòng)模型也出現(xiàn)了多階模態(tài)響應(yīng)和位形不完全對(duì)稱(chēng)的現(xiàn)象。

3.3 參數(shù)激擾相關(guān)參數(shù)對(duì)響應(yīng)的影響

對(duì)于平臺(tái)垂蕩運(yùn)動(dòng)引起的參數(shù)激擾,主要由平臺(tái)垂蕩的幅值和平臺(tái)的垂蕩頻率。接下來(lái)分別研究這兩個(gè)參數(shù)對(duì)立管動(dòng)力響應(yīng)的影響。

圖7為在頂部平臺(tái)不同垂蕩幅值情況下立管各節(jié)點(diǎn)的最大位移。此時(shí),立管的頂部平臺(tái)的垂蕩頻率為ω=1.60 rad/s。

圖5 不同流速下立管順流向振動(dòng)頻譜Fig.5 Spectrogram of in-line vibration at different velocity of flow

圖6 立管渦激振動(dòng)橫流向和順流向位形Fig.6 Deformation of riser of cross-flow and in-line vortex-induced vibration

圖7 不同垂蕩幅值下立管的動(dòng)力響應(yīng)(ω=1.60 rad/s)Fig.7 The max displacement of riser at differentheave amplitude(ω=1.60 rad/s)

由圖7可以看出,當(dāng)平臺(tái)垂蕩頻率不變時(shí),立管的渦激振動(dòng)響應(yīng)的位移隨著平臺(tái)垂蕩幅值的增大而增大。因此深水平臺(tái)對(duì)立管產(chǎn)生的參數(shù)激擾對(duì)立管具有危害性,其作用不可忽略。

圖8為不同垂蕩頻率下立管的動(dòng)力響應(yīng)(垂蕩幅值A(chǔ)=3.0 m)。由圖8可以看出,保持平臺(tái)的垂蕩幅值不變A=3.0 m,立管結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)節(jié)點(diǎn)位移隨著平臺(tái)垂蕩頻率的增大而減小。這一現(xiàn)象與TomoFUJIWARA 在國(guó)家海洋研究院所做的長(zhǎng)28.5 m的柔性頂張力立管渦激振動(dòng)試驗(yàn)的結(jié)論相同[16]。

圖8 不同垂蕩頻率下立管的動(dòng)力響應(yīng)(A=3.0 m)Fig.8 The max displacement of riser at differentheave frequency(A=3.0 m)

4 結(jié) 論

(1)立管固有頻率隨著頂端平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)而變化。平臺(tái)的垂蕩運(yùn)動(dòng)使立管渦激振動(dòng)的振幅增大,并且順流向振幅增大的幅度大于橫向振幅的幅度,參數(shù)激擾對(duì)立管的渦激振動(dòng)響應(yīng)的頻率也產(chǎn)生影響。

(2)當(dāng)平臺(tái)的垂蕩頻率和環(huán)境荷載不變時(shí),立管的動(dòng)力響應(yīng)的位移隨著浮體垂蕩幅值的增大而增大。當(dāng)平臺(tái)的垂蕩幅值和環(huán)境荷載不變時(shí),立管結(jié)構(gòu)的動(dòng)力響應(yīng)位移隨著浮體垂蕩頻率的增大而減小。立管的渦激振動(dòng)響應(yīng)是環(huán)境荷載、立管結(jié)構(gòu)參數(shù)、頂部平臺(tái)垂蕩運(yùn)動(dòng)的函數(shù)。