基于STEM教育理念的線性代數(shù)可視化教學(xué)實(shí)踐

王曉明 朱一心

(1.首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,北京 100048; 2.山東交通學(xué)院理學(xué)院,山東 濟(jì)南 250307)

0 引 言

線性代數(shù)是高等院校理工、經(jīng)濟(jì)、管理等專業(yè)必修的基礎(chǔ)課.由于課程內(nèi)容具有較強(qiáng)抽象性，所以在教學(xué)中加入可視化的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)演示，有助于對(duì)內(nèi)容的理解[1].以往可視化教學(xué)局限于對(duì)數(shù)學(xué)概念的解釋.如孔祥強(qiáng)和劉秀英[2]提到利用Maple軟件的動(dòng)畫功能做出函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)的圖形、極坐標(biāo)系下的曲線圖形、球頂錐體的立體圖形等.孫欣等[1]利用Matlab軟件做出二次型及其標(biāo)準(zhǔn)型的圖形，從而解釋了二次曲線在正交變換下的幾何圖形保持不變；做出正定(負(fù)定)二次型的圖形，從圖形上解釋了這2種二次型的不同.這些可視化內(nèi)容只是做出數(shù)學(xué)概念的具體圖形，局限于對(duì)數(shù)學(xué)概念的解釋，并沒有幫助到學(xué)生理解和掌握數(shù)學(xué)概念與實(shí)際技術(shù)、工程中的應(yīng)用的聯(lián)系.

STEM(科技、技術(shù)、工程和教學(xué))教育是當(dāng)前國際教育界探索21世紀(jì)新型態(tài)能力培養(yǎng)的重要理念和舉措[3]，旨在加強(qiáng)科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)等學(xué)科的整合，加強(qiáng)知識(shí)概念與現(xiàn)實(shí)世界經(jīng)驗(yàn)之間的聯(lián)系，強(qiáng)調(diào)問題導(dǎo)向，進(jìn)而引導(dǎo)學(xué)習(xí)者進(jìn)行深度學(xué)習(xí),是一種跨學(xué)科綜合教育的形態(tài)[4].結(jié)合STEM教育理念，本文以線性代數(shù)課程中矩陣及矩陣計(jì)算的教學(xué)為例，融合數(shù)字圖像處理的基礎(chǔ)技術(shù)，設(shè)計(jì)了具體的可視化教學(xué)案例，引導(dǎo)學(xué)生將書本上的知識(shí)和實(shí)踐應(yīng)用結(jié)合起來，是對(duì)信息化技術(shù)與教學(xué)融合的有益探索.

1 線性代數(shù)的可視化教學(xué)案例

線性代數(shù)理論性強(qiáng)、抽象度高，難以直觀理解.本案例將《數(shù)字圖像處理(Matlab版)》[5]中的圖像基本操作引入到大學(xué)線性代數(shù)“矩陣及矩陣計(jì)算”相關(guān)概念的教學(xué)中，一方面增強(qiáng)學(xué)生對(duì)矩陣及計(jì)算方法的理解，另一方面也直觀地展示了矩陣相關(guān)知識(shí)在科學(xué)技術(shù)中的具體應(yīng)用.

1.1 矩陣及其運(yùn)算概念講解

矩陣的數(shù)學(xué)定義及矩陣計(jì)算定義.參見教材[6]，此處不贅述.面對(duì)抽象的矩陣定義以及矩陣計(jì)算，學(xué)生初步接觸會(huì)產(chǎn)生疑問：為什么要定義矩陣？定義有什么意義？為什么針對(duì)矩陣要定義如此的計(jì)算？當(dāng)然可以舉例線性方程組系數(shù)矩陣來說明這樣定義有意義，但畢竟還是數(shù)學(xué)范圍內(nèi)的概念，仍脫離不了抽象感.

1.2 應(yīng)用舉例

事實(shí)上矩陣是一般二維信息的常規(guī)表述方式，針對(duì)二維信息的處理也是以矩陣基本計(jì)算為基礎(chǔ)的.數(shù)字圖像就是一個(gè)直觀的例子.黑白圖像數(shù)字化后本身就是以矩陣形式存儲(chǔ).

(1)數(shù)字圖像的矩陣表示.

八位單通道數(shù)字圖像(黑白照片)通過0～255 這256個(gè)整數(shù)表示由黑到白的256個(gè)灰度階，將由黑到白的亮度變化平均分成256份，數(shù)值越大，亮度越高.由于圖像是二維分布的，所以在計(jì)算機(jī)內(nèi)通常以矩陣形式存儲(chǔ).圖1為1個(gè)512×512的圖像，其數(shù)據(jù)對(duì)應(yīng)于一個(gè)512×512的矩陣.為了直觀展示圖像與矩陣的對(duì)應(yīng)關(guān)系，放大其中1個(gè)5×5 的局部區(qū)域，并標(biāo)明其每個(gè)像素位置的亮度值.

(2)圖像亮度變化與矩陣加法.

圖1 灰度圖像及亮度值

通過矩陣加法可以改變圖像的亮度.比如圖1的每個(gè)元素給定同樣增量，增量為正，則亮度提升，如圖2(a)所示；反之亮度降低，如圖2(b)所示.矩陣計(jì)算的局部演示如下式所示：

圖2 圖像亮度變化效果

(3)圖像底片效果與矩陣減法.

通過一張白色圖像與原始圖像做差，可以得到底片反轉(zhuǎn)的效果，如圖3所示.具體計(jì)算如下式所示，一個(gè)所有元素為255的矩陣減去原始圖像矩陣為：

圖3 底片反轉(zhuǎn)效果

(4)圖像亮度、對(duì)比度調(diào)節(jié)與矩陣數(shù)乘.

原圖乘一個(gè)>1的數(shù)，將提升圖像亮度和對(duì)比度，如圖4(a)所示，原圖乘一個(gè)<1的數(shù)，將降低圖像亮度和對(duì)比度，如圖4(b)所示，局部計(jì)算如下所示：

圖4 圖像亮度、對(duì)比度變化效果

(5)圖像線性疊加與矩陣線性計(jì)算.

圖像線性疊加可以通過矩陣的線性相加得到，疊加效果如圖5所示.下式展示了圖像局部線性疊加的過程：

圖5 通過矩陣線性計(jì)算得到的圖像疊加效果

圖像線性疊加是生成視頻線性轉(zhuǎn)場效果(由一幅圖像漸變?yōu)榱硪环鶊D像)的主要方式．設(shè)A、B對(duì)應(yīng)于兩個(gè)圖像(矩陣)，A到B完整的線性轉(zhuǎn)場效果模型為：(1-α)A+αB，其中α從0連續(xù)變化到1.在課堂教學(xué)中可以利用α變化設(shè)計(jì)動(dòng)畫，展示完整的轉(zhuǎn)場過程.

(6)矩陣運(yùn)算拓展.

在課堂上，除了展示課本上矩陣計(jì)算對(duì)應(yīng)的案例，還可以增加課外的矩陣計(jì)算方法，一方面可以拓展學(xué)生思路，使學(xué)生知識(shí)域不局限于書本；另一方面也可以加深學(xué)生對(duì)知識(shí)應(yīng)用的理解，培養(yǎng)創(chuàng)新能力.如針對(duì)圖像處理與矩陣計(jì)算的關(guān)系，可以再增加卷積的知識(shí)，不必展開描述，點(diǎn)到即可.

圖7 通過銳化濾波器、模糊濾波器和浮雕濾波器產(chǎn)生的濾波效果

卷積在信號(hào)處理里具有廣泛應(yīng)用，是圖像處理的基本操作之一. 其是一種線性運(yùn)算,應(yīng)用在圖像處理中又稱圖像濾波.圖像的卷積計(jì)算由圖像矩陣與1個(gè)濾波器矩陣通過下面方式完成：對(duì)圖像中每個(gè)點(diǎn)，計(jì)算鄰域和濾波器矩陣的對(duì)應(yīng)元素的乘積，然后疊加，作為該位置的新值,具體公式如下：

其中,G為原圖像，F(xiàn)為濾波器矩陣，H為濾波后的圖像.具體計(jì)算過程如圖6所示.

下面給出幾種常用的卷積矩陣，如：銳化濾波器矩陣、模糊濾波器矩陣和浮雕濾波器矩陣的卷積矩陣，具體分別是：

其對(duì)應(yīng)的處理效果見圖7.

由上述例子可以看出，圖像濾波實(shí)際上就是把1個(gè)點(diǎn)的像素值用它鄰域點(diǎn)的像素值的加權(quán)平均代替.如模糊濾波器矩陣，就是用平均加權(quán)達(dá)到模糊效果，鄰域選擇越大，模糊效果越強(qiáng).而浮雕濾波器矩陣，當(dāng)其左上角的像素值相對(duì)右下角較大時(shí)，濾波后變成暗色，形成凹陷陰影效果，且像素值差距越大，凹陷陰影效果越明顯；反之若右下角的像素值相對(duì)左上角較大時(shí)，濾波后變成亮色，形成凸起受光效果，像素值差距越大，凸起受光效果越明顯.理解了圖像濾波的內(nèi)在含義，就可以通過選擇鄰域(m,n)大小和精心設(shè)計(jì)權(quán)值來構(gòu)造濾波器矩陣，從而基于矩陣卷積運(yùn)算達(dá)到預(yù)期的圖像處理效果.課堂教學(xué)中，可以引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立設(shè)計(jì)濾波器矩陣，以加強(qiáng)對(duì)卷積計(jì)算的理解，如設(shè)計(jì)浮雕濾波器矩陣，實(shí)現(xiàn)光從左下角照射的浮雕效果.

1.3 抽象提升

數(shù)字圖像處理案例的引入，使學(xué)生很直觀地感受到了矩陣定義的實(shí)用價(jià)值以及矩陣運(yùn)算在實(shí)際生活中的具體使用方式、效果.提升了學(xué)生對(duì)矩陣相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的認(rèn)識(shí)深度與應(yīng)用能力，與日常生活的具體事物相聯(lián)系，對(duì)事物本身的認(rèn)識(shí)深度提高.通過運(yùn)算拓展，使學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念并不是封閉的、一成不變的，而是開放性的，相關(guān)概念可以根據(jù)需求拓展.

上述具體應(yīng)用案例，展示了以圖像為代表的二維信息處理與矩陣概念及計(jì)算方法的關(guān)系，表明一般二維信息處理，都可以借助矩陣及矩陣計(jì)算實(shí)現(xiàn).這時(shí)學(xué)生再去理解課本上針對(duì)抽象數(shù)字的矩陣計(jì)算例題、習(xí)題，就不再感覺言之無物而將矩陣、矩陣計(jì)算看作數(shù)字游戲.

2 案例特點(diǎn)

本教學(xué)案例將圖像處理與數(shù)學(xué)相結(jié)合，為數(shù)學(xué)課程教學(xué)設(shè)計(jì)提供了一定的借鑒作用.包括：(1)圖像處理基礎(chǔ)內(nèi)容簡單，適用于普通教師很快掌握；(2)研究對(duì)象直觀，方便學(xué)生理解.信息技術(shù)的發(fā)展、手機(jī)的普遍使用，使數(shù)字圖像應(yīng)用在生活中已司空見慣.圖像與數(shù)學(xué)概念相關(guān)聯(lián)，實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)對(duì)象可視化，圖像處理技術(shù)同數(shù)學(xué)計(jì)算相對(duì)應(yīng)，實(shí)現(xiàn)了計(jì)算過程的可視化；(3)圖像處理是AI技術(shù)基礎(chǔ)，是現(xiàn)代科技前沿領(lǐng)域.數(shù)學(xué)與前沿領(lǐng)域的結(jié)合，更容易引起學(xué)生興趣，同時(shí)也有利于學(xué)生對(duì)相關(guān)領(lǐng)域技能的認(rèn)識(shí)和培養(yǎng)；(4)Matlab有圖像處理工具包支持，容易上手.本案例實(shí)驗(yàn)由Matlab編程完成.

3 結(jié)束語

弗賴登塔爾說：“要保證有活力(是指數(shù)學(xué)知識(shí)的活力)，就必須教給學(xué)生充滿著聯(lián)系的數(shù)學(xué).”[7]STEM教育不是教授學(xué)生抽象、孤立的學(xué)科知識(shí)，而是加強(qiáng)了科學(xué)、技術(shù)、工程、數(shù)學(xué)等學(xué)科的整合，把學(xué)生學(xué)習(xí)的零碎知識(shí)變成相互聯(lián)系的統(tǒng)一整體.結(jié)合STEM教育理念的跨學(xué)科整合這一核心特征，本文設(shè)計(jì)了矩陣及其運(yùn)算的教學(xué)案例，將數(shù)字圖像處理的基礎(chǔ)技術(shù)應(yīng)用到教學(xué)課堂中，以可視化形式、跨學(xué)科的知識(shí)關(guān)聯(lián)，將矩陣的相關(guān)概念在具體應(yīng)用案例中予以呈現(xiàn)，在增強(qiáng)學(xué)生知識(shí)理解的同時(shí)，讓學(xué)生也認(rèn)識(shí)到線性代數(shù)廣泛的應(yīng)用領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，拓寬學(xué)生的視野.此案例拋磚引玉，為信息技術(shù)融入到數(shù)學(xué)課程的教學(xué)實(shí)踐起到了一定的借鑒作用.