函數(shù)的最值問題在實(shí)際問題中的應(yīng)用研究

陳影影

（上海電機(jī)學(xué)院文理學(xué)院，上海 201306）

解決現(xiàn)實(shí)生活中一些問題，例如：在一定條件下，如何使“材料最省”“利潤最大”“成本最低”等，想要解決這類問題，可以通過研究各個(gè)變量之間的關(guān)系，建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，并進(jìn)一步研究該關(guān)系式的最值問題。函數(shù)的最值問題在多個(gè)科學(xué)領(lǐng)域中都有很廣泛的應(yīng)用，這就需要把實(shí)際遇到的問題，抽象成各個(gè)變量之間的函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成微積分學(xué)里的求最值問題來解決，所以，對函數(shù)最值問題以及對最值問題應(yīng)用的研究有著非常重要的意義。

1 最值定理

如果函f（x）在區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么f（x）在[a，b]上一定能夠取到最大值和最小值。

如圖1所示，定理1 說明，如果函數(shù)f（x）在閉區(qū)間[a，b]上連續(xù)，那么至少有一點(diǎn)x1∈[a，b]，使f(x1)是f(x)在[a，b]上的最大值，即對一切x∈[a，b]，均有f（x1）≥f（x）成立；又至少有一點(diǎn)x2[a，b]，使f(x2)是f(x)在[a，b]上的最小值，即對一切x∈[a，b]，均有f（x2）≤f（x）成立。

圖1 函數(shù)圖

2 方法步驟

對于閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)f（x）來說，其最大值和最小值一定存在。如果最大值或最小值在區(qū)間（a，b）內(nèi)部取得，那么它一定也是極值，而極值只可能在f（x）的駐點(diǎn)或?qū)?shù)不存在的點(diǎn)取得。當(dāng)然最大值或最小值也有可能在區(qū)間的端點(diǎn)出取得，這時(shí)最大值或最小值就不一定是極值。因此，求函數(shù)f（x）在[a，b]上的最值（最大值或最小值）的方法與步驟如下。

（1）求出f（x）所有可能極值點(diǎn)的函數(shù)值，并將這些函數(shù)值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f（a），f（b）做比較，比較之后這些值中所得到的最大值就是所求的最大值，所得到的最小值就是所求的最小值。

（2）對于閉區(qū)間[a，b]上的連續(xù)函數(shù)f（x）來說，倘若在這個(gè)區(qū)間的內(nèi)部只有唯一的一個(gè)可能的極值點(diǎn)，并且f（x）在這一點(diǎn)的確存在極值，那么，這個(gè)唯一的極值點(diǎn)就是所求的函數(shù)在[a，b]上的最值點(diǎn)。

實(shí)際問題求最值應(yīng)注意如下內(nèi)容。

（1）建立目標(biāo)函數(shù)；（2）求最值。

若目標(biāo)函數(shù)只有唯一駐點(diǎn)，則該點(diǎn)的函數(shù)值即為所求的最大值（或最小值）。

3 應(yīng)用舉例

3.1 最值問題在物理學(xué)中的應(yīng)用

函數(shù)最值問題也經(jīng)常被用來解決物理學(xué)中的一些問題。

圖2 最值問題在物理學(xué)中的應(yīng)用

令φ（α）=cosα+μsinα，

則問題轉(zhuǎn)化為求φ（α）的最大值問題。

φ'（α）=-sinα+μcosα，α"（α）=-cosα-μsinα，

令φ'（α）=0，解得α=arctan μ=arctan 0.25=14°2'，而φ"（α）＜0，所以α=14°2' 時(shí)φ（α）取最大值，因而取最小值。

最值問題在經(jīng)濟(jì)活動(dòng)中也有非常廣泛的應(yīng)用，以下舉例說明。

3.2 費(fèi)用最省

例：公路上A，B 兩點(diǎn)間的長度是100 km，點(diǎn)C 和A 為20 km，AC⊥AB，現(xiàn)在要在A，B 兩點(diǎn)之間確定一點(diǎn)D，在D 和C 之間修一條新公路，已知公路AB 與公路CD 每公里貨運(yùn)價(jià)之比為3∶5，把貨物從B 處運(yùn)到C處，問D 點(diǎn)應(yīng)該如何確定才能使總運(yùn)費(fèi)最省(見圖3)?

圖3 費(fèi)用最省問題圖

3.3 利潤最大

例：一工廠生產(chǎn)x 千件某種產(chǎn)品的成本是C（x）=x3-6x2+15x，而賣出這種產(chǎn)品的收入是R（x）=9x，問該工廠該如何生產(chǎn)才能使利潤最大(見圖4)？

圖4 利潤最大問題圖

解：售出x 千件產(chǎn)品所得的利潤表達(dá)式為

p（x）=R（x）-C（x）=-x3+6x2-6x，

兩端求導(dǎo)得

p'（x）=-3x2+12x2-6=-3（x2-4x+2）。

3.4 經(jīng)濟(jì)批量問題

例:一個(gè)商場每年賣出某種商品a 件，共分為x 次進(jìn)行批貨。每次批貨的費(fèi)用為b 元，而沒能及時(shí)賣出的商品需庫存，庫存的費(fèi)用為c 元/（年·件）。假設(shè)賣出商品是均勻的，問分多少批進(jìn)貨時(shí)，才能使以上兩種費(fèi)用的綜合為最??？ （a，b，c 為常數(shù)且a，b，c>0）

解：根據(jù)題意，x 次批貨的總費(fèi)用為

W1（x）=bx。

3.5 梁的抗彎截模量最大

例：把一根原木用鋸鋸成矩形的梁，原木的直徑為，為了使矩形梁的抗彎截面模量達(dá)到最大，問應(yīng)如何確定矩形截面的長和寬（見圖5）？

解：設(shè)矩形截面的長為h，寬為b。由力學(xué)知識知，梁的抗彎截面模量為

圖5 梁的抗彎截面模量最大問題圖

由題意知，當(dāng)時(shí)，可以使矩形梁的抗彎截面模量達(dá)到最大。

3.6 用料最省

例：設(shè)計(jì)固定體積圓柱形飲料罐，罐的側(cè)面和底部是用整塊材料制成的，頂部蓋子的厚度是側(cè)面或底部的三倍，為了使總用料最省，應(yīng)如何設(shè)計(jì)它的底面半徑r 和高度h？

解：飲料罐的體積記為V，設(shè)飲料罐身的側(cè)面和底部厚度均為δ，那么頂蓋的厚度是3δ，高

所以，飲料罐側(cè)面和底部總用料為U1（r）=δ（πr2+2πrh）=δ（πr2+），

頂蓋的用料為U2（r）=3δπr2，因此問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)

U（r）=U1（r）+U1（r）=δ（4πr2+），r∈（0，+∞）的最小值。

所以r0是U（r）的最小值點(diǎn)。這時(shí)相應(yīng)的高為

即，當(dāng)h=2r 時(shí)，用料最省。

4 結(jié)語

文章對最值定理及最值的計(jì)算方法做了簡單的介紹。不僅舉例說明了最值問題在物理計(jì)算中的應(yīng)用，也分類討論了在經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域里對最值定理及計(jì)算方法的應(yīng)用。由此可知，在解決實(shí)際問題時(shí)對函數(shù)最值問題的應(yīng)用非常的廣泛。