無窮性的悖論與公理集合論思想述略

(昭通學(xué)院 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，云南 昭通 657000)

德國數(shù)學(xué)家康托爾，1872年至1893年間發(fā)表了一系列著述，建立了集合論，他首次引進(jìn)無窮集合的概念，并證明了實(shí)數(shù)集合的不可數(shù)性，創(chuàng)立“超窮數(shù)”理論，提出了自然數(shù)集的基數(shù)與實(shí)數(shù)集基數(shù)之間不存在中間基數(shù)的“連續(xù)統(tǒng)假設(shè)”；為了將有窮集合的元素個(gè)數(shù)的概念推廣到無窮集合，他以一一對應(yīng)為原則，提出了集合等價(jià)的概念。證明了一般的N維空間可以與直線建立一一對應(yīng)。這一結(jié)果連他自己也感到莫名驚詫，他說：“我發(fā)現(xiàn)了它，但簡直不敢相信”。康托爾深刻揭示了無窮的本質(zhì)特性，從根本上改造了數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)，促進(jìn)了數(shù)學(xué)新分支的建立和發(fā)展。

康托爾對于數(shù)學(xué)中無窮問題的深邃洞察力令數(shù)學(xué)、哲學(xué)界為之震驚，不僅成為數(shù)學(xué)理論的基礎(chǔ)，還給邏輯和哲學(xué)帶來了深遠(yuǎn)的影響。他認(rèn)為“數(shù)學(xué)的本質(zhì)就在于它的自由”。希爾伯特認(rèn)為，關(guān)于無限的本性的根本的闡述，并非只屬于專門科學(xué)興趣的范圍，而是人類理智的尊嚴(yán)本身所需要的”。[1]212他稱贊康托爾的集合論“是人類理智活動(dòng)最漂亮的成果”，羅素說康托爾的成就“可能是這個(gè)時(shí)代所能夸耀的最偉大的工作”。[2]

雖然康托爾的理論，受到一些數(shù)學(xué)家的反對與質(zhì)疑，如他的老師克羅內(nèi)克稱康托爾“走進(jìn)了超限數(shù)的地獄”，攻擊康托爾的思想是“最具獸性的見解”。但仍有不少數(shù)學(xué)家堅(jiān)定支持康托爾，并迫不及待地以他創(chuàng)立的集合論為思想武器，開展了重構(gòu)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的理論研究。第一個(gè)重大進(jìn)展是意大利數(shù)學(xué)家皮亞諾所構(gòu)造的算術(shù)公理系統(tǒng)，他在1889年發(fā)表的《算術(shù)原理新方法》一書中，建立了嚴(yán)密的自然數(shù)理論，皮亞諾引入五條公理描述自然數(shù)的性質(zhì)：

1) 1是自然數(shù).

2) 每一個(gè)自然數(shù)n，其后繼數(shù)S(n)亦為自然數(shù).

3) 1不是任何自然數(shù)的后繼數(shù).

4) 不同自然數(shù)有不同的后繼者.

5) 數(shù)學(xué)歸納法原則.

皮亞諾自然數(shù)公理體系中的歸納公理，即：自然數(shù)N的任一子集M，如果1∈M，并且只要X在M中就能推出X的后繼者也在M中，那么M=N?？吕手赋觯骸熬拖窠邮芎唵蔚钠胀ㄟ壿嬕?guī)則那樣，我們將毫不猶豫地接受它，并把這作為數(shù)學(xué)推理的一個(gè)基本原則?！盵3]數(shù)學(xué)歸納法是以一種很不同的方式來證明無窮序列情形都是正確的數(shù)學(xué)定理。

在皮亞諾的自然數(shù)體系中，通過定義減法可以得到整數(shù)系，再引入除法可以很自然地建立有理數(shù)體系。皮亞諾公理系統(tǒng)極為簡明地給出了自然數(shù)集合的性質(zhì)，并深刻揭示了有限與無限之間的對立和統(tǒng)一。之后，康托爾通過有理數(shù)序列的極限，戴德金通過對有理數(shù)集合進(jìn)行“分割”的思想，分別建立了理論完備的實(shí)數(shù)系，為微積分學(xué)建立了一個(gè)堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。1900年，國際數(shù)學(xué)家大會上，法國數(shù)學(xué)大師龐加萊曾滿懷信心地宣稱：“借助集合論概念，我們可以建造整個(gè)數(shù)學(xué)大廈……今天，我們可以說絕對的嚴(yán)格性已經(jīng)達(dá)到”。

正當(dāng)數(shù)學(xué)家們額手相慶，以為嚴(yán)密的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)已經(jīng)建立之際，1903年，“羅素悖論”的出現(xiàn)震驚了數(shù)學(xué)界，其直觀含義可用自然語言闡述為：把所有集合分為兩類：(1)正常集合，其特點(diǎn)是集合本身不能作為自己的一個(gè)元素。例如由個(gè)人組成的人類社會集合并不是一個(gè)人；所有自然數(shù)組成的集合并非自然數(shù)。(2)非正常集合，其特點(diǎn)是該集合本身也屬于自己的一個(gè)元素。如一切集合的集合仍舊是一個(gè)集合；所有觀念的集合仍然是一個(gè)觀念等?，F(xiàn)實(shí)生活中也存在非正常集合的例子，如所有市場組成的集合仍然是一個(gè)統(tǒng)一的大市場；由一切圖書館組成的聯(lián)盟仍可看作一個(gè)超大圖書館。

現(xiàn)假設(shè)S是由所有正常集合組成的一個(gè)集合，那么S究竟是正常集合還是非正常集合，或者說S屬不屬于它自身？若S∈S，則S是非正常集合，結(jié)果S∈S；如果S?S，則S是一正常集合，所以S∈S。不論S是否為正常集合都導(dǎo)致矛盾，其悖論性的表現(xiàn)正是：S屬于當(dāng)且僅當(dāng)S不屬于S。策梅羅也曾獨(dú)立地發(fā)現(xiàn)過這一悖論，故又稱之為“羅素—策梅羅悖論”。對此，丹齊克寫道：“這正好發(fā)生在當(dāng)康托爾征服了他的第一批反對者的頑強(qiáng)抵抗，有充分的理由相信他的原理已經(jīng)大獲全勝的時(shí)候?！@一回，就像應(yīng)用實(shí)際無限于數(shù)學(xué)是否合法的問題一樣，康托爾的方法和演繹是否有效的問題再次發(fā)生了?！盵4]187

1 無窮性問題引發(fā)的集合悖論

集合論的中心難點(diǎn)，也在于如何處理無窮集合的問題。正如希爾伯特所言：“數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中充滿著許多源自無限的愚蠢和荒謬的東西”。他認(rèn)為“數(shù)學(xué)中的無限這一概念的意義一直沒有完全解釋清楚”[1]211。在羅素之前，集合論中就已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了悖論。1897年，布拉里—福蒂提出了最大序數(shù)悖論。設(shè)W為由序數(shù)全體構(gòu)成的集合：W={0，1，2，3，…，w，…}，則W為良序集。又設(shè)Ω為W的序數(shù)，作為W元素的序數(shù)都比Ω小，但是，W是一切序數(shù)的集合，所以序數(shù)Ω也為W的元素，因此必然導(dǎo)致Ω<Ω的矛盾。

“一切”這個(gè)名詞如果要在數(shù)學(xué)上使用的話，應(yīng)該怎樣使用才對？如果這個(gè)名詞能夠自由地使用于心中所能設(shè)想的任何動(dòng)作的話，那么我們便可以說一切集合的集合?，F(xiàn)在，如果這是一個(gè)康托爾意義的集合，則它必定也有一個(gè)基數(shù)。這個(gè)超限數(shù)就是“所能設(shè)想的最大數(shù)”，因?yàn)?，難道我們能夠設(shè)想出一個(gè)集合，其勢大于一切集合的集合嗎？所以，這個(gè)基數(shù)是最后的超限數(shù)，它是我們名之曰數(shù)的這個(gè)抽象物在其進(jìn)化中的真正超終極的一步了！然而，剛剛不是說過：沒有最后的超限數(shù)嗎！[4]187-188

羅素悖論不僅觸動(dòng)了邏輯學(xué)，而且沖擊了集合論，甚至動(dòng)搖了整個(gè)數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)。希爾伯特就曾宣稱這個(gè)悖論對數(shù)學(xué)界有著災(zāi)難性的后果。既然非歐幾何的無矛盾性和微積分理論的基礎(chǔ)最終都化為對集合論的研究，若集合論出現(xiàn)了邏輯矛盾，那么幾何學(xué)和微積分的可靠性也將令人擔(dān)憂。

羅素認(rèn)為，集合論產(chǎn)生悖論的根源在于使用了自我指稱的定義，即一個(gè)總體的元素、分子或部分直接或間接地又指稱這個(gè)總體本身，或者要通過這個(gè)總體來定義或說明。如：由多于5個(gè)元素的集合組成的集合，這一定義也包含了該集合自身；由所有不多于25個(gè)字可以定義的集合S，也包含S。羅素說：“一切悖論……都有一個(gè)共同的特征，我們稱之為自我指稱性或自返性?！薄斑@種惡性循環(huán)起源于這樣的假定：對象的一個(gè)匯集可以包含只能用作為一個(gè)整體的匯集加以定義的那些分子”。[7]策梅羅指出古典分析也使用了自我指稱的定義，可能包含著悖論，但并非所有的自我指稱的定義都會導(dǎo)致悖論。

羅素認(rèn)為數(shù)學(xué)只不過是邏輯的一個(gè)分支，或者說，數(shù)學(xué)可以化歸為邏輯。數(shù)學(xué)的概念須用邏輯的概念而定義，數(shù)學(xué)的定理須作為邏輯的定理而證明。對此，外爾評論說：“古典邏輯是從有窮集及其子集的數(shù)學(xué)中抽象出來的，……后來人們忘記了這個(gè)有限的來源了，誤把邏輯當(dāng)作高于一切數(shù)學(xué)的東西，最后又毫無根據(jù)地把它應(yīng)用到無窮集的數(shù)學(xué)上去”。他說：“把所有自然數(shù)的全體當(dāng)作是具有存在的特性的，……，這是我們的困難的根源，悖論的根源也在這里——這個(gè)根源比之羅素的惡性循環(huán)原則所指出的具有更根本的性質(zhì)”。[8]50康托爾不可數(shù)無限集合極其豐富的內(nèi)容，實(shí)質(zhì)上已成為有別于數(shù)論的關(guān)于無限的數(shù)學(xué)理論。許多長期困擾數(shù)學(xué)家的疑難問題，歸根到底其實(shí)是對無限集合系統(tǒng)認(rèn)識的不完全性問題而不是方法的局限所致。[9]

2 語義悖論與集合的定義

羅素悖論與其他悖論不同，它非常淺顯易懂，只與“集合”、“元素”、“屬于”和一個(gè)基本集合論原則——概括原則有關(guān)。其構(gòu)成也十分清楚明白，與任何“技術(shù)性”問題無關(guān)。只要把羅素悖論的陳述稍加修改，也可用邏輯學(xué)的術(shù)語代替集合論中的術(shù)語，即可在最基本的邏輯形式中得出羅素悖論：一個(gè)性質(zhì)叫做“自謂的”，如果它可以施用于自己，例如“抽象”一詞的性質(zhì)是抽象的，它本身是自謂的；不能施用于自己則是“非自謂的”，如“具體”一詞的含義仍然是抽象的，故其性質(zhì)是非自謂的。[8]38那么“非自謂的”這一性質(zhì)究竟是自謂的還是非自謂的？

1925年，英國數(shù)學(xué)家拉姆塞首次把當(dāng)時(shí)已知的悖論分為邏輯—數(shù)學(xué)悖論及語義悖論兩大類。邏輯—數(shù)學(xué)悖論出現(xiàn)于數(shù)學(xué)中，與元素、類、或集合、屬于和不屬于、基數(shù)和序數(shù)等數(shù)學(xué)概念相關(guān)，因?yàn)椴簧婕熬唧w事物的內(nèi)容，可用符號邏輯體系語言表達(dá)，又稱為“語形悖論”。語義悖論則并非純邏輯和純數(shù)學(xué)的，而是與一些心理或語義概念密切相關(guān)，涉及意義、指稱、斷定、真假等問題。羅素悖論、布拉里—福蒂悖論、康托爾最大基數(shù)悖論等都屬于“語形悖論”。歷史上最著名的語義悖論是“說謊者悖論”，此外還有古希臘哲學(xué)家歐布利德提出的“谷堆悖論”及“貝里悖論”等。

說謊者悖論據(jù)《圣經(jīng)·新約·提多書》記載，早在公元前六世紀(jì)，克里特島的先知(埃匹門尼德)說過一句著名的話：“克里特人總是說謊者……”這其中包含了一個(gè)有趣的悖論。如果我們堅(jiān)信這句話，那么作為克里特島人的埃匹門尼德也必然是個(gè)說謊者，結(jié)果他的話又不能當(dāng)真了；若他說的是假話，則有的克里特島人不說謊，他又可能是說真話的人。雖然假設(shè)該話為假，未必會導(dǎo)致矛盾，但設(shè)它為真，卻可推出其必然為假的結(jié)論，也足以令人稱奇了。如果我們想依靠有些克里特島人曾經(jīng)有時(shí)說過真話的歷史事實(shí)，來解脫這個(gè)悖論，在邏輯上是不能令人滿意的。公元前四世紀(jì)，麥加拉派的歐布里德斯把埃匹門尼德的話，改為一個(gè)更加嚴(yán)格的悖論命題：

一個(gè)人說：我現(xiàn)在說的這句話是假話。

由這句話可以斷定，這個(gè)人說真話，當(dāng)且僅當(dāng)這個(gè)人說假話。對此，古希臘哲人克呂西波認(rèn)為說這句話的人只不過是發(fā)出一些聲音罷了，除此之外什么也沒表示[10]。歷史上，說謊者悖論有許多變形，歐洲中世紀(jì)的哲學(xué)家對此做過許多專門而精深的研究。悖論一直是邏輯學(xué)家、哲學(xué)家、數(shù)學(xué)家研究的熱門話題。

谷堆悖論歐布利德認(rèn)為：一粒谷子是不能形成谷堆的，再加一粒也不能形成谷堆，如果每次只加一粒谷子，而每粒谷子都是不能成為谷堆的，所以，谷子是不能成堆的。

貝里悖論1906年，劍橋大學(xué)圖書館員貝里提出一個(gè)語義悖論，其意思若用漢語表述則為：“不能用少于二十二個(gè)字而命名的最小自然數(shù)”。但實(shí)際上這個(gè)表達(dá)式只用了19個(gè)字就確定了一個(gè)自然數(shù)，可是依照定義，該自然數(shù)是不能由少于二十二個(gè)字而確定的！

上述語義悖論雖然不是數(shù)學(xué)問題，但同時(shí)也都涉及元素與集合的概念，如克里特島人、谷堆、被刮臉人等分別組成的集合。而且在所涉及的集合中，命題都是自相矛盾的，這無疑對康托爾集合論構(gòu)成了嚴(yán)重的挑戰(zhàn)。

最大基數(shù)悖論、布拉里—福蒂悖論以及羅素悖論，都揭示了在康托爾樸素集合論中，存在邏輯基礎(chǔ)不夠嚴(yán)密的問題。羅素和懷特海認(rèn)為，悖論的根源在于集合的定義中出現(xiàn)循環(huán)定義，即一個(gè)對象集合包含著只能用該集合自身才能定義的元素，或者說，用某一對象類定義一個(gè)對象，而這個(gè)對象又包含著所要定義的對象。1899年，康托爾在給戴德金的信中曾提到，不能談?wù)摗耙磺屑辖M成的集合”，但禁止所有集合的集合是與康托爾定義的集合相沖突的。

康托爾曾經(jīng)把集合定義為“把我們的感覺或思維所確定的不同對象(稱之為集合的元素)匯合成一個(gè)總體?！边@并不是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)定義，只是描述性的說明?？低袪柤嫌赏庋釉瓌t(集合是由它的元素完全決定的)和概括原則(亦即一條性質(zhì)決定一個(gè)集合)所確定。

根據(jù)概括原則，任意的對象都可以作為集合的元素，集合也可以作為集合的元素。特別是如果允許存在“所有集合的集合”，那么將導(dǎo)致康托爾的最大基數(shù)悖論。如禁止所有基數(shù)的集，便不能引入所有自然數(shù)集。此外，由概括原則可得到如下集合：

T={x|x?x}

那么T是否屬于T呢？這就是羅素悖論的根源之所在。該悖論的出現(xiàn)說明應(yīng)當(dāng)修改概括原則。對此，數(shù)學(xué)家提出了不同的方案對集合定義加以限制，希望以此消除其中的悖論。

3 公理集合論對悖論的規(guī)避

集合論產(chǎn)生悖論的根源在于集合定義中的自我指稱、否定性概念以及與總體、無限的關(guān)系?？肆种赋觥胺侵敝^”的定義為：如一集M與一特定客體m用下法定義，一方面m為M的元素，另一方面，m的定義依賴于M，就說這種定義是非直謂的。與之相反的“直謂定義”則是：當(dāng)需要給出一個(gè)整體對象的定義時(shí)，要求定義該整體對象的謂詞必須與要定義的對象的整體性內(nèi)容完全獨(dú)立。從邏輯的觀點(diǎn)看，非直謂是自我纏繞或循環(huán)的，因?yàn)楸欢x的東西已經(jīng)滲透到定義中去了。羅素指出，沒有一個(gè)總體能夠包含下列兩種元素：它只能由該總體而定義，它或者包括或者預(yù)先假定該總體。但經(jīng)典數(shù)學(xué)中就有不少非直謂性的定義，著名數(shù)學(xué)家外爾曾做過巨大的努力，希望清除或改寫這些定義，雖然成果豐碩，但未能徹底解決。[8]44

1908年，德國數(shù)學(xué)家策梅羅首先提出公理集合論思想，為了排除“所有集合的集合”那樣的超大集合，避免矛盾，對集合作了一些必要的限制。他提出七條公理：

(1)外延公理：對集合S和T，如果S?T且T?S，那么S=T。

(2)初等集合公理：存在一個(gè)沒有元素的集合，叫做空集。對任一集合中的元素a和b，存在集合{a}，{a,b}。

(3)分離公理：對于集合S，命題函數(shù)是確定的p(x)，那么有集合T，它恰好只包含了那些x∈S，使得p(x)為真。

(4)冪集合公理：若S是一個(gè)集合，則S的冪集p(S)是一個(gè)集合。(S的冪集即S的所有子集構(gòu)成的集合)

(5)并集合公理：若S是一個(gè)集合，則S的并是一個(gè)集合。

(6)選擇公理：若S是非空集合的一個(gè)不交集，則有S的并的一個(gè)子集T，它與S中的每一個(gè)成員恰有一個(gè)公共元。

(7)無窮公理：存在一個(gè)包含空集的集合Z，使得對每一個(gè)對象a，若a∈Z，則{a}∈Z。[11]

策梅羅并未區(qū)分集合與集合的屬性，兩者被視為同義語使用。1922年，弗蘭克找出了集合的屬性與集合本身之間的區(qū)別，對策梅羅公理進(jìn)行補(bǔ)充和改進(jìn)，使之成為了現(xiàn)代標(biāo)準(zhǔn)的策梅羅——弗蘭克公理系統(tǒng)，簡記為ZF統(tǒng)(增加了正則公理、無序?qū)洗嬖诠砗吞鎿Q公理)。ZF系統(tǒng)一般不包括有爭議的選擇公理，因?yàn)閺倪x擇公理中推出了所謂的“分球悖論”，即把一個(gè)球面經(jīng)過有限剖分之后，可再拼成同半徑的兩個(gè)球面。這個(gè)結(jié)果明顯與人們的經(jīng)驗(yàn)及經(jīng)典的數(shù)學(xué)相矛盾。但選擇公理又是許多學(xué)科基本定理的前提，特別是抽象代數(shù)中更是必不可少的重要公理。如果加上選擇公理(記作AC)，則稱其為ZFC系統(tǒng)。策梅羅的集合公理化系統(tǒng)，彌補(bǔ)了康托爾樸素集合論的缺陷，成功地消除了所有已知的集合論悖論。

此外，還有一些數(shù)學(xué)家，也提出和建立了不同的公理集合論。例如，馮諾依曼認(rèn)為產(chǎn)生悖論的原因不是由于使用了太大的集合，而是由于這些集合被用作了別的集合的元素。只要不承認(rèn)任何集合都可以作為個(gè)體而成為別的集合的元素就行了。據(jù)馮諾依曼分析，集合論中悖論的產(chǎn)生，并非由于承認(rèn)了類作為集合的地位，而在于將其視作別的類的元素，他對“類”與“集合”做出區(qū)分，類是大到不能包含在別的集合或類中的集合，而集合是限于可作為類的元素的類。如此，集合就是安全的類。由馮諾依曼、伯爾奈斯、哥德爾等數(shù)學(xué)家建立的理論被稱為NBG系統(tǒng)或BG系統(tǒng)。后來數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)，ZF系統(tǒng)中的任何一個(gè)定理也是BG系統(tǒng)中的一個(gè)定理，反之亦然。公理化集合論的構(gòu)建，為數(shù)學(xué)基礎(chǔ)開辟了一個(gè)全新的平臺。

那么，公理集合論是否完全避免了悖論？對此，龐加萊曾說：“為了防備狼，羊群已用籬笆圈起來了，但卻不知道在圈內(nèi)有沒有狼?！盵12]著名的數(shù)理邏輯學(xué)家克林在其所著的《元數(shù)學(xué)導(dǎo)論》一書中也指出：“假設(shè)集論公理化中悖論是避免了——關(guān)于這點(diǎn)我們所得到的保證只是消極的，即迄今尚未遇見悖論?！彪m然在ZF系統(tǒng)中至今尚未發(fā)現(xiàn)矛盾，但其無矛盾性的問題并未最終證明，所以仍舊不能肯定是否會出現(xiàn)新的悖論。在一定意義上說，公理集合論只是繞過了悖論，并沒有“解決”悖論。

4 結(jié)語

如希爾伯特所言：“自從遠(yuǎn)古以來，無限問題就比任何其他問題更加激動(dòng)人的情感。幾乎沒有任何其他概念如此有成效地刺激著心智”。無限性導(dǎo)致的悖論是數(shù)學(xué)研究無法回避的問題，它也激起數(shù)學(xué)家巨大的熱情。希爾伯特指出：“必須承認(rèn)，在這些悖論面前，我們目前所處的情況是不能容忍的”。他在《論無限》一文中寫道：

試想：在數(shù)學(xué)這個(gè)真理性和可靠性的典范里，每一個(gè)人所學(xué)的、所教的和所用的那些定義和演繹法竟然導(dǎo)致謬論！如果數(shù)學(xué)思維也有缺點(diǎn)，那么我們應(yīng)該到哪里去尋找真理性和可靠性呢？[1]219

面對集合論中羅素悖論的漏洞，20世紀(jì)上半葉，羅素、布勞威爾、希爾伯特等數(shù)學(xué)大師各自提出了不同的解決方案，形成了邏輯主義、形式主義、直覺主義三大著名數(shù)學(xué)哲學(xué)流派。邏輯主義學(xué)派認(rèn)為數(shù)學(xué)的全部內(nèi)涵都可以從純粹邏輯中推導(dǎo)出來，而不必依賴任何特定的數(shù)學(xué)概念。形式主義流派則認(rèn)為全部數(shù)學(xué)都能夠由操作數(shù)學(xué)形式表達(dá)的規(guī)則所得到，數(shù)學(xué)思維的基本對象正是這些數(shù)學(xué)形式符號本身，而不是借用它們來表達(dá)的那些數(shù)學(xué)含義。直覺主義不同意無限制地使用排中律，反對歸謬論的證明方法(反證法)。

1922年，希爾伯特提出了一個(gè)宏偉的計(jì)劃重建數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，他希望通過對數(shù)學(xué)的完全形式化，進(jìn)而證明數(shù)學(xué)理論體系的“完全性”、“相容性”和“可判定性”。1931年，年輕數(shù)學(xué)家哥德爾的“不完全性定理”表明，一個(gè)包含算術(shù)的形式化理論不可能證明自身的相容性，“希爾伯特計(jì)劃”最終未能如愿。哥德爾在1938年證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)與集合論的公理是一致的，即如果集合論的公理是一致的，則推不出連續(xù)統(tǒng)假設(shè)的否定。1963年，美國數(shù)學(xué)家科恩證明了連續(xù)統(tǒng)假設(shè)不能由ZF系統(tǒng)推演出來，即在ZF系統(tǒng)內(nèi)，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是不可判定的。這意味著在一個(gè)公理集合論中，連續(xù)統(tǒng)假設(shè)是正確的，而在另外的集合論系統(tǒng)中則可能不成立。

正如平行公理在歐氏幾何中成立，但在非歐幾何中不成立一樣，數(shù)學(xué)中也存在著若干種互不相同的集合論。從科恩的結(jié)論中還可以得出，對于任何一個(gè)數(shù)學(xué)問題并非都是可以證明或否定的，因?yàn)閿?shù)學(xué)中的命題除了真、假之外，還存在不可判定的命題。通過集合論的公理化，確實(shí)降低了悖論對數(shù)學(xué)的威脅，數(shù)學(xué)家終于獲得了幾分安全感，但這在一定程度上也削弱了人們對數(shù)學(xué)基礎(chǔ)的興趣。