臨界阻尼狀態(tài)下局部導(dǎo)電體TEM觀測(cè)電壓表達(dá)式的探討

高 正，李文堯, 熊彩云

(昆明理工大學(xué) 國(guó)土資源工程學(xué)院，昆明 650093)

0 引言

瞬變電磁法(TEM)具有穿透能力強(qiáng)、探測(cè)深度大、適應(yīng)環(huán)境能力強(qiáng)、應(yīng)用領(lǐng)域廣、應(yīng)用效果好等優(yōu)點(diǎn)[1]，因此在國(guó)、內(nèi)外廣泛應(yīng)用于地質(zhì)調(diào)查[2]、資源勘查[3]、工程地質(zhì)[4]、水文地質(zhì)[5]、環(huán)境地質(zhì)等領(lǐng)域[6]。臨界阻尼狀態(tài)下局部導(dǎo)電體觀測(cè)電壓表達(dá)式對(duì)研究局部導(dǎo)電體在接收線圈上感應(yīng)電壓的衰減特征和接收線圈的響應(yīng)特性有重要的參考價(jià)值，在研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)，臨界阻尼狀態(tài)下局部導(dǎo)電體觀測(cè)電壓表達(dá)式存在兩種不同的推導(dǎo)結(jié)果，一種可在文獻(xiàn)[7-17]中查得，另外一種可在文獻(xiàn)[18-19]中查得，兩種表達(dá)式存在一個(gè)符號(hào)差異。為了探究原因，筆者對(duì)臨界阻尼狀態(tài)下局部導(dǎo)電體觀測(cè)電壓表達(dá)式重新進(jìn)行了推導(dǎo)。

1 電壓表達(dá)式

1.1 表達(dá)式推導(dǎo)

臨界阻尼狀態(tài)下局部導(dǎo)電體觀測(cè)電壓表達(dá)式存在兩種不同的結(jié)果，文獻(xiàn)[7-17]中的表達(dá)式為：

(1)

式中：

B=δ2+2δ/τ+1/τ2

(2)

(3)

A是和地質(zhì)體有關(guān)的常數(shù)；L為接收線圈電感；C為接收線圈分布電容；R為接收線圈匹配電阻；t為觀測(cè)時(shí)間；Vc為觀測(cè)電壓；τ為確定Vc(t)衰減速度的特性參數(shù)，稱為時(shí)間常數(shù)。

文獻(xiàn)[18-19]中的表達(dá)式為：

(4)

圖1 接收線圈等效電路圖

式中

B=δ2-2δ/τ+1/τ2

(5)

由于式(2)和式(5)存在一個(gè)正負(fù)號(hào)差異，為了驗(yàn)證式(2)與式(5)的正確，筆者查閱了大量國(guó)內(nèi)、外文獻(xiàn)，沒(méi)有查到關(guān)于該表達(dá)式完整的推導(dǎo)過(guò)程，因此對(duì)臨界阻尼狀態(tài)下局部導(dǎo)電體觀測(cè)電壓表達(dá)式進(jìn)行重新推導(dǎo)。

TEM接收線圈等效電路由內(nèi)阻、電感、分布電容、匹配電阻構(gòu)成。等效電路圖如圖1所示，電路圖中，Vi為地下地質(zhì)體在接收線圈上的感應(yīng)電壓，Vc為觀測(cè)電壓，r為線圈內(nèi)阻，L為線圈電感，C為分布電容，R為匹配電阻。

在電容支路中

(6)

(7)

(8)

對(duì)于圖1的等效電路，根據(jù)基爾霍夫定律得

Vi=Vr+VL+Vc

(9)

則由式(7)、式(8)、式(9)可得

(10)

式中

(11)

(12)

當(dāng)t=0時(shí)，Vi=0，iL(0-)=iL(0+)，電感電流不能突變，電感等效于開路，電容電壓不能突變，電容等效于短路。因此初始條件為：

Vc(0)=0

(13)

(14)

當(dāng)Vi=0時(shí)，式(10)的特征方程為：

(15)

當(dāng)線圈工作在臨界阻尼(δ=ωp)情況下，特征方程15)的兩個(gè)根分別為:

當(dāng)δ=ωp時(shí)，t1=t2=-δ,則Vi=0時(shí)齊次方程(10)的通解為：

Vc=(c1+c2t)e-δt

(16)

當(dāng)t≥tof時(shí)，局部導(dǎo)電體在接收線圈上的感應(yīng)電壓[8]

(17)

令

(18)

則當(dāng)t≥tof時(shí)，

Vi=Ae-t/τ

(19)

對(duì)于非齊次方程式10)，可寫成[8，15，19]

(20)

λ=-1/τ不是特征方程的根，設(shè)非齊次方程(20)的一個(gè)特解為b1則

Vc=b1e-t/τ

(21)

(22)

(23)

將式(21)、式(22)、式(23)代入式(20)得

(24)

則

(25)

故通解為

(26)

則

(27)

由式(13)、式(26)得

(28)

由式(14)、式27)得

(29)

故

(30)

整理得

(31)

令

(32)

則式31)可寫成

(33)

1.2 MATLAB軟件驗(yàn)證推導(dǎo)結(jié)果

用MATLAB求式20)中Vc表達(dá)式的程序如下：

dsolve('D2v+2*a*Dv+a^2*v-c*exp(-t/d)','Dv(0)=0','v(0)=0','t')

輸出結(jié)果為：

ans =

(c*d*t*exp(-t/d))/(a*d - 1)- (c*d*t *exp(-a*t))/(a*d - 1)- (c*d^2* exp(-a*t))/(a*d - 1)^2 + (c*d*exp(a*t - t/d)*exp(-a*t)*(d + t - a*d*t))/(a*d - 1)^2

式中：

整理得Vc表達(dá)式為：

(34)

令

(35)

則式34)可寫成

(36)

由MATLAB軟件推導(dǎo)的式(35)、式(36)可知，本文推導(dǎo)的式(32)、式(33)是正確的，本文推導(dǎo)的結(jié)果與文獻(xiàn)[18-19]中的表達(dá)式式(4)、式(5)一致，所以文獻(xiàn)[7-17]中的式(1)、式(2)是錯(cuò)誤的。

圖2 阻尼系數(shù)為20 kHz時(shí)計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

圖3 阻尼系數(shù)為35 kHz時(shí)計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

圖4 阻尼系數(shù)為50 kHz時(shí)計(jì)算結(jié)果對(duì)比圖

2 表達(dá)式(1)的誤差分析

由于式(1)被大量文獻(xiàn)引用，因此筆者對(duì)表達(dá)式(1)計(jì)算結(jié)果的影響進(jìn)行研究。由式(2)和式(5)可知，線圈阻尼系數(shù)δ和時(shí)間常數(shù)τ是導(dǎo)致表達(dá)式(1)和表達(dá)式(4)出現(xiàn)差異的兩個(gè)因素，因此對(duì)δ和τ對(duì)表達(dá)式計(jì)算結(jié)果的影響進(jìn)行探討。

2.1 線圈阻尼系數(shù)δ的影響

設(shè)定相關(guān)參數(shù)的值，并將其分別代入到式(1)、式(4)中,通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，當(dāng)時(shí)間常數(shù)τ的值一定時(shí)，隨著阻尼系數(shù)的減小，式(1)的計(jì)算結(jié)果與式(4)的計(jì)算結(jié)果相比，式(1)計(jì)算的誤差越來(lái)越大。當(dāng)阻尼系數(shù)在20 kHz～50 kHz(常用小線圈阻尼系數(shù)范圍[20])用式(1)計(jì)算的觀測(cè)電壓誤差達(dá)22 %～46 %，詳細(xì)計(jì)算結(jié)果見(jiàn)圖2、圖3、圖4，不同阻尼系數(shù)情況下用式(1)計(jì)算的觀測(cè)電壓相對(duì)誤差如表1所示。

表1 式(1)計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差

表2 式(1)計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差(δ=30 kHz)

表3 式(1)計(jì)算結(jié)果相對(duì)誤差(δ=3 000 kHz)

由圖2、圖3、圖4可知，式(1)和式(4)計(jì)算的觀測(cè)電壓曲線形態(tài)相似，但是用式(1)計(jì)算的觀測(cè)電壓值偏低。

由表1可知，隨著阻尼系數(shù)的減小，用式(1)計(jì)算的觀測(cè)電壓的誤差越來(lái)越大。

2.2 時(shí)間常數(shù)τ的影響

時(shí)間常數(shù)τ的表達(dá)式為[8]：

τ=μ0σa2/π

(37)

式中，μ0=4π×10-7H/m為空氣磁導(dǎo)率，σ為電導(dǎo)率，a為局部導(dǎo)電體的半徑。

由于要研究當(dāng)時(shí)間常數(shù)τ變化時(shí)，式(1)的計(jì)算結(jié)果與式(4)相比的誤差，且時(shí)間常數(shù)τ與局部導(dǎo)電體半徑呈正相關(guān)，所以取電導(dǎo)率σ為1 S/m，通過(guò)變化局部導(dǎo)電體半徑a的值來(lái)展開探討。

當(dāng)阻尼系數(shù)一定時(shí)，不斷變化局部導(dǎo)電體半徑，式1)計(jì)算的觀測(cè)電壓值的誤差如表2、表3所示。

由表2、表3可知，當(dāng)阻尼系數(shù)一定時(shí)，隨著時(shí)間常數(shù)τ的值的減小，表達(dá)式(1)計(jì)算的觀測(cè)電壓誤差越大。

3 結(jié)論

通過(guò)驗(yàn)證式(1)是錯(cuò)誤的,不建議使用,式(4)是正確的，建議使用；式(1)和式(4)計(jì)算的觀測(cè)電壓曲線形態(tài)相似；當(dāng)時(shí)間常數(shù)一定時(shí)，隨著阻尼系數(shù)的減小，式(1)計(jì)算的觀測(cè)電壓誤差越來(lái)越大；當(dāng)阻尼系數(shù)一定時(shí)，隨著時(shí)間常數(shù)的減小，式(1)計(jì)算的觀測(cè)電壓誤差越來(lái)越大。