高中數(shù)學(xué)章節(jié)起始課的教學(xué)實踐與思考

趙璇

摘要：章節(jié)起始課作為新的一章的第一節(jié)，不能簡單理解為第一節(jié)課，而應(yīng)發(fā)揮引領(lǐng)學(xué)習(xí)本章知識的作用，突出章節(jié)的核心知識和核心研究方法。本文通過對教學(xué)分析，設(shè)計《正弦定理》教學(xué)，展示設(shè)計意圖。

關(guān)鍵詞：章節(jié)起始課;正弦定理

隨著普通高中新課程改革的不斷推進，涌現(xiàn)出很多的新課型，章節(jié)起始課就是其中之一。筆者認為，章節(jié)起始課并不只是一章的第一節(jié)課，更需要搭建好這一章的框架，為本章學(xué)習(xí)做好基礎(chǔ)。作為一章內(nèi)容的開篇，章節(jié)起始課教學(xué)中，將要學(xué)習(xí)哪些知識？如何學(xué)？學(xué)了有什么用搭建好這一章的知識框架。章節(jié)起始課應(yīng)該講什么，怎么講是迫在眉睫的問題。筆者以普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)試驗教科書北師大版數(shù)學(xué)（必修5）第二章第一節(jié)的內(nèi)容《正弦定理》為例做了一些思考，敬請同行指正。

一、教學(xué)分析

（一）教材分析

《正弦定理》是北師大版高中數(shù)學(xué)（必修5）第二章第一節(jié)的內(nèi)容。教材第二章章頭故事為臺風(fēng)中心運動，對周圍城市是否造成影響。從實際問題出發(fā)，使學(xué)生體會解三角形在生活中的應(yīng)用，數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活。

本章與初中學(xué)過的解直角三角形有密切聯(lián)系，是從量化的角度處理三角形中的邊角關(guān)系。首先由實際問題引出直角三角形的邊角關(guān)系得出正弦定理的形式，猜想對于任意三角形都成立，然后組織學(xué)生小組討論用多種方法證明正弦定理。

（二）教學(xué)目標(biāo)

1. 從已有的三角形知識、正弦定理的應(yīng)用背景出發(fā)，感受數(shù)學(xué)源于生活，應(yīng)用于生活。培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)建模的能力。2.了解解三角形的概念，通過實例構(gòu)建章節(jié)框架，從整體上對本章內(nèi)容有宏觀認識。3.領(lǐng)悟定理發(fā)現(xiàn)的探索思路，學(xué)習(xí)由特殊到一般的思維方式并培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)。通過嘗試定理的證明，領(lǐng)悟分類討論和化歸的數(shù)學(xué)思想。4感受正弦定理的統(tǒng)一美、對稱美、簡潔美。體會正弦定理的科學(xué)價值和應(yīng)用價值。

（三）教學(xué)重難點

1.教學(xué)重點：正弦定理的猜想、提出。2.教學(xué)難點： 正弦定理的證明過程。

二、教學(xué)過程

（一）創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)興趣

1.創(chuàng)設(shè)情境 1：要測量漢城湖兩岸A，B兩個碼頭的距離。只有米尺和量角設(shè)備，不過河你能算出AB的距離嗎？

設(shè)計意圖：從學(xué)生生活環(huán)境的實際問題出發(fā)，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，體會數(shù)學(xué)源于生活，又回饋于生活。復(fù)習(xí)初中學(xué)習(xí)過的解直角三角及三角函數(shù)相關(guān)知識，為后續(xù)解三角形做鋪墊。

2.創(chuàng)設(shè)情境 2：若構(gòu)造直角三角形的C點剛好有個水坑，無法構(gòu)造直角三角形，不過河能計算AB的距離嗎？

設(shè)計意圖：通過問題從直角三角形到一般三角形的變化，使學(xué)生感受到從特殊到一般的思維方式。如何準(zhǔn)確又快速的求解此類問題，就是我們本章的主要內(nèi)容——解三角形。

3.構(gòu)建章節(jié)框架 課件展示：解三角形概念，強調(diào)三角形中的邊、角符號表示。

問題1：概念提出已知三角形中的幾個元素，求其他元素的過程稱為解三角形。類比于解直角三角形，解三角形中具體指已知幾個元素？已知的幾個元素有無特殊要求？

設(shè)計意圖：通過問題串的形式，激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生分析解三角形的問題類型。初步構(gòu)建章節(jié)框架。激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)本章興趣，了解本章學(xué)習(xí)目標(biāo)。

（二）探索研究，定理建構(gòu)

1.問題1：在Rt△ABC中，各邊、角之間存在何種數(shù)量關(guān)系？ 2.問題2：若將直角三角形放入圓中呢？與半徑有什么關(guān)系？

設(shè)計意圖：從已經(jīng)構(gòu)建的知識結(jié)構(gòu)為切入點，引導(dǎo)學(xué)生由直角三角形的邊角關(guān)系得到正弦定理的基本形式。再從直角三角形出發(fā)，思考此式能否推廣一般三角形。

3.問題3：上述結(jié)論是否可推廣到任意三角形？（微課展示）

設(shè)計意圖：學(xué)生猜想對任意三角形都成立。利用幾何畫板對猜想進行驗證，即節(jié)省了學(xué)生計算的時間又驗證了多個任意三角形。強調(diào)此環(huán)節(jié)只能作為對猜想的驗證，還需進一步證明。

3.小組討論，證明定理

1）任意的銳角三角形，都有嗎？ 2）任意的鈍角三角形，都有嗎？

學(xué)生活動：將討論結(jié)果展示在大白紙上，并懸掛于教室兩側(cè)黑板上。討論時間十分鐘。教師巡視學(xué)生小組討論情況，給予一定的指導(dǎo)，并組織各組展示成果。

學(xué)生展示：生1：作高法，生2：外接圓法，生3：向量法，學(xué)生之間相互質(zhì)疑，共同解決問題。

設(shè)計意圖：學(xué)生自主討論研究，得到正弦定理的不同證明方法。學(xué)生的邏輯推理核心素養(yǎng)得到發(fā)展，并且避免教師直接給出證明方法。學(xué)生展示環(huán)節(jié)培養(yǎng)語言表達能力和展示能力，提升自身綜合素質(zhì)。改變了傳統(tǒng)的證明過程，在探索過程中讓學(xué)生深刻體會邊角關(guān)系的真實存在。

4.定理生成：正弦定理數(shù)學(xué)符號、文字表述，公式特點。

設(shè)計意圖：在此環(huán)節(jié)完成定理的猜想—驗證—證明過程，給出定理的準(zhǔn)確、完整的敘述，完善學(xué)生知識體系，提升學(xué)生表達總結(jié)能力。

（三）剖析例題，升華概念

例1：如圖2，若測得a=48.1m，B=43 °， C=69 °，求AB。

設(shè)計意圖：此環(huán)節(jié)與問題導(dǎo)入遙相呼應(yīng)，通過解決本節(jié)的引入問題，體會正弦定理的巧妙應(yīng)用。感受數(shù)學(xué)在生活中無處不在，數(shù)學(xué)源于生活，又回饋于生活。

（四）課堂小結(jié)，思維提升

正弦定理能幫助我們解決什么問題？

師生互動得到圖1：

設(shè)計意圖：通過小結(jié)，梳理本章內(nèi)容，形成章節(jié)大框架，了解即將要學(xué)習(xí)哪些知識。學(xué)生能從中了解即將學(xué)習(xí)的知識和常用思想方法，吸引學(xué)生，使學(xué)生對章節(jié)起始課產(chǎn)生較高的興趣。

三、反思

本節(jié)課以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，基本完成了教學(xué)設(shè)計內(nèi)容。導(dǎo)課從生活實際出發(fā)，從直角三角形類比一般三角形，作為章節(jié)起始課，初步構(gòu)建了章節(jié)框架;在定理建構(gòu)方面，經(jīng)歷了發(fā)現(xiàn)、猜想、驗證、證明的過程，先由直角三角形的邊角關(guān)系變形出正弦定理的雛形，然后大膽猜想，驗證在任意三角形是否成立。在定理證明環(huán)節(jié)，給學(xué)生充足的自主探究時間。在學(xué)以致用方面和導(dǎo)入問題呼應(yīng)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)源于生活又服務(wù)于生活。通過小結(jié)，梳理完善章節(jié)框架，和導(dǎo)課遙相呼應(yīng)。

在以教學(xué)設(shè)計實施教學(xué)后，仍有一些方面需要改進：

（一）兩邊一角的情況下，三角形解的情況可能不唯一，而在課堂中沒有對此問題進行詳細講解，為何可解，解為如何，學(xué)生或許會只知其一不知其二，尤其程度略差地學(xué)生更可能會不求甚解，思考不深入，體會不深刻。

（二）從課堂效果來說，對課堂預(yù)設(shè)以外的情況處理不是特別理想，某位同學(xué)提出的錯誤方法沒能很好地解釋和利用。