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    從2020年高考江蘇卷第12題談求最值的方法

    2020-01-07 14:01:09俞新龍
    廣東教育·高中 2020年12期
    關(guān)鍵詞:元法高考題實(shí)數(shù)

    俞新龍

    真題:已知5x2y2+y4=1(x, y∈R),則x2 +y2的最小值是_________.

    本題是應(yīng)用基本不等式求最值類問(wèn)題,其做法可以是:(解法1)因?yàn)椋?x2+y2)y2=1,所以(5x2+y2)4y2=4,因此4=(5x2+y2)4y2 ≤[■]2 =■(x2+y2)2,故x2+y2≥■,于是得x2+y2的最小值是■. 但我們知道,本題不能直接使用基本不等式解題,還是需要進(jìn)行一定的配湊技巧,而配湊是學(xué)生的弱項(xiàng),因此,學(xué)生比較懼怕需要進(jìn)行類似處理的不等式最值問(wèn)題. 那么,能否從其他途徑來(lái)破解呢?我們認(rèn)為三角換元法、消元法和等差(等比)中項(xiàng)法是不錯(cuò)的選擇.

    一、三角換元法

    當(dāng)考題的條件或所求目標(biāo)式中有平方和結(jié)構(gòu)特征時(shí),一般就可以從三角換元法考慮解題,用三角換元法解題時(shí)只需要一步一步地計(jì)算而不需要解題技巧了. 例如本高考題可以有以下兩種做法:

    三角換元法1(解法2):注意到條件式5x2y2+y4=1,則可設(shè)5x2y2=cos2θ,y2=sinθ>0,所以x2+y2=■+sinθ=■+sinθ=■sinθ+■≥■.

    三角換元法2(解法3):注意到目標(biāo)式x2+y2是平方結(jié)構(gòu),不妨設(shè)x2+y2=t2,于是可設(shè)x=tcosθ,y=tsinθ,代入條件式得1=5t4cos2θ·sin2θ+t4·sin4θ=■t4sin22θ+t4(■)2=-■t4(2cos22θ+cos2θ)+■t4≤-■t4·(-■)+■t4=■t4,解得t2≥■,即x2+y2≥■.

    為便于熟練掌握該方法,下面我們?cè)購(gòu)囊韵赂鞣N例子來(lái)體驗(yàn).

    例1.已知實(shí)數(shù)x≥0,y≥0,滿足x2+■=1,則x■的最大值是_________.

    解析:可設(shè)x=cosθ,y=■sinθ,且θ∈[0,■],則x■=cosθ■=■=■=■≥■.

    例2.若實(shí)數(shù)x,y滿足x2+y2+xy=1,則x+y的最大值是_________.

    解析:因?yàn)閤2+y2+xy=(x+■)2+■y2=1,所以可設(shè)x+■=cosθ,■y=sinθ,解得x=cosθ-■sinθ,y=■=sinθ,故x+y=cosθ+■sinθ=■sin(θ+■)≤■.

    例3.若實(shí)數(shù)x,y滿足2x+2y=1,則x+y的最大值是_________.

    解析:可設(shè)2x=cos2θ,2y=sin2θ,即x=2log2cosθ,y=2log2sinθ,且θ∈[0,■],則x+y=2log2cosθ+2log2sinθ=2log2(sinθcosθ)=2log2(■sin2θ)≤2log2■=-2.

    例4.函數(shù)y=■+■(■

    解析:因?yàn)椋ā觯?+(■)2=4,所以可設(shè)■=2cosθ,■=2sinθ,且θ∈(0,■),于是y=2cosθ+2sinθ=2■sin(θ+■)≤2■.

    評(píng)注:三角換元法的實(shí)施是依據(jù)恒等式(rcosx)2+(rsinx)2=r2,這個(gè)恒等式的結(jié)構(gòu)題干中可能直接有也可能需要去發(fā)現(xiàn)(如例4),當(dāng)然根據(jù)問(wèn)題的具體情況可以限定角度x的范圍. 三角換元法的實(shí)施還需要學(xué)生掌握扎實(shí)的三角函數(shù)運(yùn)算的基本功.

    二、消元法

    消元法顧名思義就是通過(guò)想辦法減少變量的個(gè)數(shù)來(lái)解題.如本高考題我們可以如下求解:

    (解法4)設(shè)x2+y2=t>0,將x2=t-y2代入條件式并化簡(jiǎn)得4y4-5ty2+1=0,因?yàn)閥有解,所以△=25t2-16≥0,解得t≥■,即x2+y2≥■. 同樣地,為更有效掌握好消元法求最值,我們?cè)購(gòu)囊韵聦?shí)例來(lái)體驗(yàn).

    例5.已知x, y>0,則■的最小值為_(kāi)_________.

    解析:(思路1)因?yàn)槿我鈨蓚€(gè)非零實(shí)數(shù)必定具有正比例關(guān)系,所以不妨設(shè)y=kx(k>0),則■=■≥■=2■·■=2■·■=2■·■,當(dāng)k-1≤0時(shí)不符合,故考慮k-1>0時(shí),■=2■·■≥■,當(dāng)且僅當(dāng)(2+k+k2)x2=3,k-1=■,即k=3、x=■時(shí)等號(hào)成立,則■的最小值為■.

    (思路2)設(shè)x+y=t,則■=■=■(x-■t)2+■t+■≥■t+■≥■,當(dāng)且僅當(dāng)x=■t,■t=■,即t=■、x=■時(shí)等號(hào)成立,則■的最小值為■.

    例6.已知正實(shí)數(shù)a,b滿足■+■=1,則ab的最大值為_(kāi)____________.

    解析:類似不等式應(yīng)用中1的代換,有ab=ab[■+■]=■+■,可設(shè)b=λa(λ>0),故ab=■+■=1+■,令t=λ-1>-1,于是ab=1+■,當(dāng)-1<t≤0時(shí),ab≤1,t>0時(shí)ab=1+■≤1+■=2-■,當(dāng)且僅當(dāng)2t=■即t=■時(shí)取等號(hào),所以ab的最大值為2-■.

    例7.已知點(diǎn)P是直線y=x+1上的動(dòng)點(diǎn),點(diǎn)Q是拋物線y=x2上的動(dòng)點(diǎn). 設(shè)點(diǎn)M為線段PQ的中點(diǎn),O為原點(diǎn),則|OM|的最小值為_(kāi)____________.

    解析:設(shè)P(a, a+1),Q(b, b2),則M(■,■),故 |OM|2 =(■)2+(■)2,設(shè)a+b=t,于是|OM|2=■+(■)2=■=■(t+■)2+■(b2-b+1)2 =■(t+■)2+■[(b-■)2+■]2≥■·■,所以 |OM|≥■,則 |OM| 的最小值為■.

    評(píng)注:用基本不等式求最值是高中數(shù)學(xué)教學(xué)中著重強(qiáng)調(diào)的一個(gè)求最值問(wèn)題的方法,由此卻削弱了消元法思想在求最值中的應(yīng)用(尤其是在求雙變量最值問(wèn)題中情況更為嚴(yán)重),從而導(dǎo)致了一些雙變量最值問(wèn)題考生無(wú)法入手求解. 實(shí)際上,我們知道考生最熟悉的應(yīng)該是單變量,而消元法就是減元至一元的最有效的方法,因此,熟練掌握用消元法思想求雙變量最值是十分必要的. 當(dāng)我們進(jìn)行上述消元法思想解題時(shí)實(shí)際上還運(yùn)用了主元變換思想.

    三、等差(等比)中項(xiàng)法

    如果條件式中有和(或積)為常數(shù),則我們可以利用等差(等比)中項(xiàng)的關(guān)系來(lái)進(jìn)行求解,如本高考題就可以這樣解決:

    (解法5)因?yàn)?x2y2+y4=1,可設(shè)5x2y2=■-d,y4=■+d,則(x2+y2)2=x4+2x2y2+y4=■+■(1-y4)+y4=■+■(■+d)+■=■(■+d)+■+■≥■,所以x2+y2≥■.

    也可以從目標(biāo)式入手靈活解決:(解法6)設(shè)x2=t-d,y2=t+d,代入條件式得5(t-d)(t+d)+(t+d)2=1,4d2-2td-6t2+1=0,因?yàn)閐有解,所以△= 4t2-16(1-6t2)≥0,解得t≥■,則x2+y2=2t≥■.

    為便于掌握該方法求最值,同樣地請(qǐng)繼續(xù)體驗(yàn)以下例子.

    例8.已知實(shí)數(shù)x≥0,y≥0,滿足x2+■=1,則x■的最大值是_________.

    解析:設(shè)x2=■-d,■=■+d,-■≤d≤■,則x■=■=■=■≤■.

    例9.若實(shí)數(shù)x,y滿足2x+2y=1,則x+y的最大值是_________.

    解析:設(shè)2x=■-d,2y=■+d,-■

    例10.已知a>0,b>0,ab=8,則a的值為_(kāi)_____時(shí),log2 alog2 (2b)取到最大值.

    解析:設(shè)a=■q,b=■,q>0,則log2alog2(2b)=(log2q+■)(-log2q+■)=-(log2q)2+log2q+■≤4.

    例11.已知實(shí)數(shù)x,y滿足x2-4xy-5y2=5,則x2+2y2的最小值是_________.

    解析:因?yàn)閤2-4xy-5y2=(x-5y)(x+y)=5,設(shè)x-5y=■q,x+y=■,解得x=■(■+q),y=■(■-q),所以x2+2y2=■(■+q)2+■(■-q)2=■+■q2+■≥2■+■=■.

    評(píng)注:能用等差(等比)中項(xiàng)法解題的問(wèn)題具有十分明顯的和(或積)為定值、或能通過(guò)因式分解的形式轉(zhuǎn)化出來(lái)和(或積)為定值的特點(diǎn),當(dāng)然在后續(xù)計(jì)算過(guò)程中一定要注意仔細(xì).

    綜上所述,最值問(wèn)題的計(jì)算方法除了基本不等式(■≤■≤■≤■)外還有其他一些諸如三角換元法、消元法、等差(等比)中項(xiàng)法等方法,真可謂“條條道路通羅馬”,在具體問(wèn)題的解決過(guò)程中我們可以有選擇的使用.

    責(zé)任編輯 徐國(guó)堅(jiān)

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